3.2 探索三角形相似的条件 第2课时 课件)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2 探索三角形相似的条件 北师版九年级上册 第三章　图形的相似 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 1 情景导入 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？ 1.5cm 3cm 1cm 2cm 不一定 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 我们先来考虑增加一角相等的情况. 一个角相等 两边成比例 + ＝ 两边成比例且有一角相等 a. 两边成比例且夹角相等 b. 两边成比例且其中一边的对角相等 探究新知 ①任意画△ABC和△A′B′C′ ； ②使∠A′ = ∠A，且 ； ③设法比较∠B与∠B′的大小，∠B = ∠B′ 吗？由此可以推出∠C = ∠C′ 吗？为什么？ ④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？与你周围的同学交流。 ⑤改变k值的大小，再试一试，并与同伴进行交流。 A B C A′ B′ C′ △ABC∽△A′B′C′ 操作·交流 三角形相似的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 几何语言： 在 △ABC 和 △A'B'C‘ 中， ∴△ABC∽△A'B'C' ∵ ，∠A＝∠A'， A B C A′ B′ C′ 例 如图，在 △ABC 中，D，E分别是的边 AC 和 AB上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长。 A B C D E 解：∵AE = 1.5，AC = 2， ∵∠EAD = ∠CAB， ∴△ADE∽△ABC （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∵BC =3， 例 如图，在 △ABC 中，D，E分别是的边 AC 和 AB上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长。 A B C D E 如果 △ABC 与 △A′B′C′ 两边成比例，且其中一组边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？你能利用全等与相似的关系说明理由吗？与同伴进行交流。 50° 4 A B C 3.2 2 50° E D F 1.6 两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似。 思考·交流 1.下列选项中与△ABC相似的是( ) C A　　 B C　　 D 随堂练习 A.∠ABP＝∠C B.∠APB＝∠ABC C.AP∶AB＝AB∶AC D.AB∶BP＝AC∶CB 2.如图，点P在△ABC的边AC上，下列条件中不能判定△ABP∽△ACB的是( ) D 3.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使 △ABC与△ADE相似，可以补充下列条件中的( ) A. B. C. D. C 4.如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点.若在AB边上取一点F，当BF＝　 　时，△CBF∽△CDE.  　1.8　 对应边确定→对应边不确定 在上面题目中，若在射线BA上取一点F，当BF＝ 　 　时，△CBF与△CDE相似.  　1.8或20　 5.如图是一种雨伞的截面图，AB，AC为伞骨，OE，OF为支撑杆，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭.当AB＝3AE，AD＝3AO，且OE＝40 cm时，B，D两点间的距离等于　 　.  　120 cm　 6.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF. 证明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2， ∴BC＝3＋6＝9. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°. ∵，∴△ABE∽△ECF. 7.如图，△EBC，△CDB，△DEB均在正方形网格中，其中与△ABC相似的是　 .  △DEB　 8.如图，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm.点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点C出发沿CA以2 cm/s的速度向点A移动.如果两点同时出发，经过　 　s后，△APQ与△ABC相似.  3或 求运动时间→求边长 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形 与△ABC相似，则AQ的长为　 .  3或　 证明：∵∠1＝∠2，∠COD＝∠BOA， ∴△COD∽△BOA，∴， 变形，得. 又∵∠BOC＝∠AOD，∴△AOD∽△BOC. 9.如图，在四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O.已知∠1＝∠2，求证：△AOD∽△BOC. 解：相似.理由如下： ∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线， ∴BD＝CD，BE＝DE， ∴BE＝BD，BD＝BC. 又∵AB＝BD，∴. ∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA. 10.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD.判断△ABE与△CBA是否相似，并说明理由. 11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，E是△ABC内任意一点，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF，探究AF与BE的数量关系，并说明理由. 解：.理由如下： ∵△CEF是等腰直角三角形， ∴∠ECF＝45°，. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BCA＝45°，， ∴∠ACF＝∠BCE，， ∴△CAF∽△CBE，∴. 一个角相等 两边成比例 + ＝ 两边成比例且有一角相等 a. 两边成比例且夹角相等 b. 两边成比例且其中一边的对角相等 相似 不相似 课堂小结 几何语言： 在 △ABC 和 △A'B'C‘ 中， ∴△ABC∽△A'B'C' ∵ ，∠A＝∠A'， A B C A′ B′ C′ a. 两边成比例且夹角相等 课堂小结 $