4.5 相似三角形判定定理的证明 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理的证明，通过复习已学判定定理和平行线分线段成比例基本事实导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步深入定理证明过程。 特色在于以严谨推理为主线，通过辅助线构造、全等与相似转化培养学生推理能力和几何直观，结合小组展示、议一议等互动环节提升数学语言表达能力。例题解析与小结对比相似全等条件，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学流程与互动设计。

第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 学习目标 了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力． 【教学目标】 了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力． 我们学过的相似三角形的判定定理有哪些？平行线分线段成比例的基本事实及其推论的内容是什么？ 复习引入 【复习引入】 师生活动：教师出示问题，学生根据学过的内容回答． 3 A B C A′ B′ C′ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A′ ， ∠B =∠B′ ∴△ABC∽△A′B′C′ 几何语言： 你能证明吗？ 可要仔细哟！ 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′， A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE＝∠B， ∠AED＝∠C， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） F A B C A′ B′ C′ D E 过点D作AC的平行线，交BC于点F， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE＝CF. 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知：如图2，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， . 求证： △ABC∽△A′B′C′. C′ A B C A′ B′ D E 图2 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′， 过D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠ADE=∠B， ∠AED=∠C， C′ A B C A′ B′ 图2 D E 8 小组展示 我提问 我回答 我补充 我质疑 提疑惑：你有什么疑惑？ 越展越优秀 教师讲评 重点 难点 知识点1：判定定理1，2，3的证明. 知识点2：在证明过程中构造辅助线 A B C A′ B′ C′ 求证 ：△ABC∽△A'B'C' D E 证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′， 过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则∠B＝∠ADE， ∠C＝∠AED， 已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△ADE （两角分别相等的两个三角形相似） A B C A′ B′ C′ D E 而∠A＝∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE． ∵ ，AD=A′B′，AE=A′C′， 而∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴ ． 探究新知 教师引导学生完成证明过程． 13 ∴ ． ∴ ． ∴△ADE≌△A'B'C'． ∴△ABC∽△A'B'C'． ∴ ． ∴DE=B'C'． 又 ，AD=A'B'， 探究新知 设计意图：通过学生亲身经历证明过程，让他们发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识，同时让学生学会合理地添加辅助线． 14 A B C A′ B′ C′ D E 而∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△ABC∽△A'B'C' 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD ∽ △ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 相似三角形判定定理的运用 2 典例精析 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： . 相似 相似 相似 练一练 1.如下图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ） ① ② ③ ④ ①③ 课堂练习 G 3.2 C 3.2 50° ) 4 A B 2 1.6 50° ) E D F 上述判定方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？ 两边成比例且一边的对角相等的两三角形不一定相似. 【议一议】 下面每组的两个三角形是否相似？请说说你的理由： 3.5 D F E 2.5 2 C A 4 5 5 E F B 4 7 A C B 4 5 ⑴ ⑵ 【做一做】 判断方法 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件 1 两角分别相等 两个角和一边对应相等 2 两边成比例且夹角相等 两边对应相等，夹角相等 3 三边成比例 三边对应相等   D 2.（2021•红桥模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和 AC的中点，若S△ADE=5，则S△ABC等于（　　） A．30 B．25 C．22.5 D．20 D $