4.3等比数列教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.3　等比数列 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　等比数列的定义、通项公式与 q≠0 的限制 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.3.1 等比数列的概念 正文：等比数列的定义、公比 的取值限制、通项公式的推导；课后练习中由首项与公比求指定项、由两项求公比的题目；正文“探究”栏目中等比数列与指数型函数的联系。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母 表示，且 。用符号表示： 由此可得通项公式 以及任意两项之间的关系 由通项还可读出： 时各项同号； 时相邻项异号，数列为摆动数列； 时为非零常数列。当 且 时，点 落在指数型函数 的图象上。 图 1　等比数列的散点： 时落在指数型曲线上， 时正负交替（，两标记重合） （3）推导证明 由定义，当 时， 将以上 个等式相乘，左边逐项约去 ，得 ，即 当 时，右边 ，公式也成立。 由 与 相除，得 ，即 。 因为 且 ，由通项可知对任意 都有 。反过来，若允许 ，则 ，而 无意义，等比数列的定义无法继续，所以定义中必须规定 。 由 可知： 时所有项同号， 时相邻项异号。再比较 的符号，即可得到 时递增， 时递减等结论。 （4）适用条件与易错提醒 · 且 ，故等比数列中任何一项都不为 ；不能用含 的数列（如 ）冒充等比数列。 · 定义要求“从第 项起，每一项与前一项的比”都为同一常数；只验证前两项或前几项相等，不能说明整个数列是等比数列。 · 公比可以为负数（摆动数列），也可以为 （非零常数列）；不要默认 。 · 非零常数列既是等差数列（公差 ）又是等比数列（公比 ）；“既是等差又是等比”并不矛盾。 · 已知 与 的关系求 时，要先确认 才能作商；若递推式形如 ，需说明 是非零常数。 · 通项 中，指数是 不是 ；由 求 时，指数差是 ，不要写成 。 · 等比数列的单调性不能只看 ：还要看 的符号， 且 时数列递减。 · 判断“某数列是否为等比数列”时，若 或存在零项，直接否定。 （5）考点定位与命题角度 选填为主，考“由基本量求项、求公比”“判断数列是否为等比数列”“等比数列的单调性”；解答题常在第一步证明某数列为等比数列，再求通项。难度基础到中档。近年真题：2022 全国乙卷·理 8（由前 项和与 求 ）、2023 全国甲卷·理 5（正项等比数列，由 与 的关系求 ）、2024 全国甲卷·理 18（由 与 的关系求通项）。 （6）方法归纳 · 第一步　定基本量：设首项为 、公比为 （），把条件都写成 的方程。 · 第二步　列方程：用 或 ，两项相除可消去 。 · 第三步　解方程：注意 的符号与取舍（正项数列取 ；摆动数列可取 ）。 · 第四步　回验：检查 、各项非零，并把结果代回原条件。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知等比数列 中，，，求公比 与通项公式。 解析 由 得 ，即 ，故 。于是 例题 2（教材原题改编） 已知等比数列 中，，，求 、 及 。 解析 由 得 ，即 ，故 。又 ，所以 ，。于是 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2022 全国乙卷·理 8）已知等比数列 的前 项和为 ，，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知等比数列 的各项均为正数，，，求 。 条目二　等比中项与下标和相等的性质 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.3.1 等比数列的概念 正文中等比中项的定义，以及“连续三项成等比”的讨论；4.3.1 课后习题与 4.3 复习参考题中由下标和求值、由方程两根求等比中项的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（等比中项）；下标和性质为习题结论。 如果在 与 中间插入一个数 ，使 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。由 得 因此只有 时， 与 才有实数等比中项；此时两个中项互为相反数。 在等比数列 中，从第 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项： 更一般地，若 （），则 特别地，取 、、，得 。 （3）推导证明 设 成等比数列，则 。因为 都不为 ，交叉相乘得 ，所以 。当 时， 无实数解；当 时， 中至少一个为 ，比值无意义。因此只有同号的两个非零数才有实数等比中项。 设 ，则 当 时，两式相等，这就是下标和性质。取 、、，即得 。 反之，由 约去 后得到 。当 时该式恒成立；当 且 与 同奇偶时也成立。因此不能由乘积相等反推下标和相等。 （4）适用条件与易错提醒 · 只有同号的两个非零数才有实数等比中项；异号时 ，无实数解。 · 等比中项有两个 ，除非题目限定 的符号；等差中项只有一个，两者不要混淆。 · 由 不能反推 成等比数列：若 ，则 或 为 ，比值无意义；必须强调 非零。 · 下标和性质要求各项非零、下标为正整数；使用前先确认数列是等比数列。 · 下标和性质反之不成立：常数列 中 ，但 ； 时也会出现类似情形。 · 不要把等比数列的“下标和”与等差数列的“下标和”混淆：等差是 ，等比是乘积相等。 · 连续三项的关系 中， 与 同号；开方时要由数列的符号确定正负。 · 若 是方程的两根，先用韦达定理得 ，再用 求中项，最后结合数列的符号取舍。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，考“求等比中项”“由下标和性质求值、求项”“等比数列与方程根的关系”“正项等比数列取对数后成等差数列”。难度基础到中档。近年真题：2023 全国乙卷·理 15（由 、 求 ）。 （6）方法归纳 · 第一步　看下标：把已知与所求的项的下标相加，寻找 。 · 第二步　化项：用 把分散的项集中到同一个下标，或用 。 · 第三步　定符号：由正项、奇数项同号等条件确定开方的正负。 · 第四步　回验：把求出的项代回原式，检查是否满足所有条件。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求 与 的等比中项。 解析 设等比中项为 ，则 ，故 。所以 与 的等比中项为 或 。 例题 2（教材原题改编） 已知等比数列 中，、 是方程 的两个根，且 ，求 。 解析 由韦达定理 ，。解方程得 或 ；因 ，故 ，。由下标和性质，，所以 ，。又 ，故 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2023 全国乙卷·理 15）已知等比数列 满足 ，，求 。 变式 2-2（优质模拟改编） 已知正项等比数列 中，、 是方程 的两个根，求 。 条目三　前 n 项和公式的分类讨论 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.3.2 等比数列的前 n 项和公式 正文：错位相减法的推导、 与 两种情形的公式；例 7 中由 求 的基本量问题；课后练习与习题中由 求 、含参数 求和的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设等比数列 的首项为 ，公比为 ，前 项和为 。当 时， 当 时， 两式各有用途：已知 用前者，已知 用后者。 当 时，记 ，则 即 ，所以 是公比为 的等比数列。反过来，若 （，，）且 为等比数列，则必有 。 （3）推导证明 当 时，写出 两式相减，中间 项抵消： 故 。当 时，。 由 得 ，代入上式得 当 时，把 写成 令 ，则 ，即 ，故 是公比为 的等比数列。 又 （），且 ，所以 对 都成立。若 ，则 ，而通项公式在 处给出 ；两者相等当且仅当 。 （4）适用条件与易错提醒 · 用 前必须先判断 是否为 ； 时公式分母为 ，不能使用。 · 题目含参数 时，必须分 与 讨论；由条件解出 后，若 也满足，不要漏解。 · 已知 求 时， 只对 成立， 必须单独用 ，最后回验 。 · 由 判断等比数列时，必须检验 ；只看到“指数型”就下结论会错。 · 等比数列前 项和 在 时可能正负交替，不能直接用于单调性、最值；需按 的奇偶讨论。 · 若 且 ，则不是等比数列；只有非零常数列才有 。 · 使用 时， 是第 项，不是前 项和；不要把 与 混用。 · 由 求出的通项若在 处不满足，应分段写；若题目要求统一公式，需额外的首项条件。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，考“求 ”“由 求 、求 ”“含参数求和”“ 的函数特征”；解答题常作求和第一步或与通项综合。难度基础到中档。近年真题：2023 全国甲卷·理 5（，，求 ）、2023 新课标Ⅱ卷·第 8 题（，，求 ）、2024 全国甲卷·理 18（，求通项与 的和）。 （6）方法归纳 · 第一步　判 ：先看公比是否为 （或是否可能为 ），必要时分类。 · 第二步　选公式： 用 ； 用 或 。 · 第三步　列方程：把已知的 、、 代入，注意“知三求二”。 · 第四步　回验：由 求 时回验 ；含参数时回验 的情形。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知等比数列 中，，，，求 。 解析 因为 ，所以 由 得 ，即 ，所以 ，，。 例题 2（教材原题改编） 已知等比数列 的前 项和 ，求实数 ，并求通项公式 。 解析 由 。当 时， 若 为等比数列，则 必须等于 时的通项值 ，故 ，。此时 ，且 ，回验成立。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2023 全国甲卷·理 5）设等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，，求 。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知等比数列 的前 项和 ，求实数 及通项公式 。 条目四　错位相减法与片段和成等比 （1）教材出处 选择性必修第二册 第四章 4.3.2 等比数列的前 n 项和公式 正文：用错位相减法推导前 项和公式；4.3 习题 T3(2) 中“等差乘等比”型数列求和；4.3.2 习题与复习参考题中涉及 、、 关系的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式（错位相减法）；片段和性质由前 项和公式直接推出。 错位相减法：若 是等差数列， 是公比 的等比数列，求 时，写出 与 ，两式错位相减，中间部分化为等比数列求和。一般地， 若 的公差为 ，则 右边除首末两项外是等比数列的和，求出后再除以 。 片段和成等比：设等比数列 的前 项和为 。若 ，则 成等比数列，公比为 。事实上， （3）推导证明 错位相减的推导见上式：把 与 的相同项对齐，相减后中间 项合并为 ，它们是等比数列，公比为 ，项数为 。用等比数列求和公式算出 再代回即可。 片段和方面，因为 同理 。所以三段（以及更多段）依次为 ，当 时构成公比为 的等比数列。 当 时，， 当且仅当 。对实数 ，这只可能在 且 为偶数时发生；因此 时必有 。当 时 。所以 是片段和成等比的充分条件（ 也包含在内）。 若 且 为奇数，三段为 ，仍成等比（公比 ）；若 为偶数，则 ，各段全为 ，不构成等比数列。 （4）适用条件与易错提醒 · 错位相减时，两式必须“错位对齐”： 的每一项比 的对应项向右错一位；相减后中间项的项数是 ，不是 。 · 相减后最后一项的符号容易错： 中，最后的 不能漏；首项 也不能漏。 · 错位相减只适用于“等差乘等比”结构，且等比部分的公比 ； 时直接分组求和，不需错位。 · 若等比部分的公比为负，乘 后符号交替，仍可错位相减，但要小心符号。 · 片段和性质要求 ； 且 为偶数时 ，片段和全为 ，不能称为等比数列。 · 片段和的公比是 ，不是 ；求 时不要误用 。 · 由片段和反求 时，注意 的正负（正项数列取正；未限定符号时可能有两解）。 · 用错位相减求出的 要回验 （尤其含参数时）。 （5）考点定位与命题角度 解答题高频，考“等差乘等比”型求和（错位相减），常与通项、不等式综合；选填考片段和、 与 的关系。难度中档到压轴。近年真题：2023 全国甲卷·理 17（错位相减求和）、2024 全国甲卷·理 18（由 与 的关系求通项并求和）、2023 新课标Ⅱ卷·第 8 题（由片段和求 ）、2025 全国一卷·第 13 题（正项等比数列，、 求公比）。 （6）方法归纳 · 第一步　识别结构：通项是否为“等差乘等比”；若是，记等比部分的公比为 。 · 第二步　写两式：写出 的展开式（至少前三项与末项），两边乘 得 ，注意错位。 · 第三步　相减：，首项、末项单独保留，中间 项用等比求和。 · 第四步　化简回验：除以 ，整理； 时回验，含参数时讨论 。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求数列 的前 项和（对 与 分类）。 解析 当 时， 当 时，设 ，则 两式相减，中间 抵消，得 所以 例题 2（教材原题改编） 求数列 的前 项和。 解析 设 ，则 相减： 其中 所以 故 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2025 全国一卷·第 13 题）已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，求公比 。 变式 4-2（优质模拟改编） 求数列 的前 项和。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：设公比为 。由 得 ；由 得 。两式相除： 因 ，且 ，约去后得 ，即 ，，故 。代入 得 ，。所以 。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：因为 为等比数列，所以 。由 得 ；又各项均为正数，故 。于是 由 ， 得 ，所以 。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：由下标和性质，（因为 ）。又 ，且等比数列各项不为 ，所以 。设公比为 ，则 故 。于是 。 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：由韦达定理 ，，所以 分别为 和 。由下标和性质，，故 ，。又正项数列，，所以 。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：若 ，则 ，，不成立，故 。由 得 两边乘 并除以 ： 整理：，即 ，。因 ，，得 ，。所以 变式 3-2 答案与解析 答案：，。 解析：。当 时， 若 为等比数列，则 必须等于 时的通项值 ，所以 ，。此时 ，，回验成立。 变式 4-1 答案与解析 答案：。 解析：设前 项和为 ，前 项和为 。由片段和性质， 即 ，。因为各项均为正数，，所以 。 变式 4-2 答案与解析 答案：。 解析：设 ，则 两式相减： 其中 ，所以 故 。 人教A版·选择性必修第二册　第4章 4.3 等比数列　第 1 页　共 1 页 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