3.3抛物线教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·选择性必修第一册　第3章 3.3　抛物线 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　抛物线的定义与四种标准方程 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.3.1 抛物线及其标准方程 正文，含由焦点、准线建系求方程的“探究”栏目；课后练习中由标准方程求焦点、准线以及由焦点、准线求标准方程的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 平面内与一个定点 和一条定直线 （）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 叫焦点，定直线 叫准线。设焦点到准线的距离为 （，称为焦准距），取顶点为原点、对称轴为坐标轴，可得四种标准方程： · ：焦点 ，准线 ，开口向右； · ：焦点 ，准线 ，开口向左； · ：焦点 ，准线 ，开口向上； · ：焦点 ，准线 ，开口向下。 其中 的几何意义是焦点到准线的距离；对 ，焦点到顶点的距离为 ，通径长为 （通径见条目三）。若抛物线写成 （），化为 ，则焦点为 ，准线为 。 图 1　开口水平的两类标准方程： 与 图 2　开口竖直的两类标准方程： 与 （3）推导证明 以 为例。取顶点为原点 ，对称轴为 轴，焦点 ，准线 。设抛物线上任意一点 ，由定义 ，即 两边平方并展开： 化简得 。反过来，以方程 的解为坐标的点到 与到 的距离相等，故方程就是所求轨迹的方程。其余三种形式由关于坐标轴、原点的对称性或旋转坐标轴得到。 （4）适用条件与易错提醒 · 定义中必须 ；若 ，到 与到 距离相等的点的轨迹是过 且垂直于 的直线，不是抛物线。 · 恒为正，表示焦点到准线的距离；在 中焦点坐标是 ，不是 。 · 判断焦点位置看一次项：一次项是 则焦点在 轴上，一次项是 则焦点在 轴上；一次项系数的正负决定开口方向，不能看二次项系数的正负。 · 由已知点求标准方程时，若对称轴只说是“坐标轴”，必须分焦点在 轴、 轴两种情况讨论，否则会漏解。 · 不是标准形式，必须先化为 再读焦点、准线；直接套 的公式是常见错误。 · 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；离心率 （到焦点距离与到准线距离之比为 ），不要与椭圆、双曲线的离心率混淆。 （5）考点定位与命题角度 以选填为主，考“由定义判断轨迹或求方程”“由标准方程求焦点、准线”“由焦点、准线、焦准距求标准方程”“含参方程表示抛物线的条件”。常见设问是给焦点或准线求方程、给抛物线上一点求 、把 化为标准形式。难度基础到中档。近年真题：2020 全国Ⅰ卷·理 4（由焦半径与到 轴距离求 ）、2023 全国乙卷·理 13（点在抛物线上，求到准线距离）、2021 新高考Ⅱ卷·3（焦点到直线距离求 ）。 （6）方法归纳 · 第一步　定位置：由焦点所在坐标轴、开口方向或准线方程，确定四种标准形式中的哪一种。 · 第二步　设方程：设为 或 （），未知量只有 。 · 第三步　列方程：把焦点坐标、准线方程、焦准距或抛物线上一点的坐标代入。 · 第四步　解出 并回验：确认 、开口方向与焦点位置一致；若对称轴未定，写出所有满足条件的方程。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） （1）已知抛物线的标准方程是 ，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是 ，求它的标准方程。 解析 （1）由 得 ，，焦点在 轴正半轴上。焦点坐标为 ，准线方程为 。 （2）焦点在 轴负半轴上，设标准方程为 （）。由 得 ，故所求方程为 。 例题 2（教材原题改编） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点 ，求它的标准方程。 解析 点 在第二象限，抛物线可能开口向左或向上。 若焦点在 轴上，设 （）。代入 ：，，得 。 若焦点在 轴上，设 （）。代入 ：，，得 。 故所求标准方程为 或 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） （改编自 2020 全国Ⅰ卷·理 4）已知 为抛物线 （）上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知抛物线 ，求它的焦点坐标和准线方程。 条目二　焦点弦的性质与焦半径公式 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质 正文中由定义得到的焦半径公式，以及“过焦点的直线与抛物线相交”的焦点弦问题；课后习题中关于焦半径、焦点弦长、焦点弦端点坐标关系的题目。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 以 （）为例，焦点 ，准线 。 · 焦半径：设 在抛物线上，则 。其余三种形式： 时 ； 时 ； 时 。 · 焦点弦：设过 的直线交抛物线于 ，直线的倾斜角为 （），则 · 端点坐标关系：，。 · 倒数和：。 · 乘积：，且 。 图 3　焦点弦 与焦半径：，（ 为准线上的垂足） （3）推导证明 焦半径：由抛物线定义， 等于 到准线 的距离，而 的横坐标为 ，故 。其余三种由对称性得到。 焦点弦：设过 的直线为 （，包含直线垂直于 轴的情形 ）。代入 ： 即 由韦达定理 ，。于是 若直线的倾斜角为 ，则 ，故 。 端点坐标关系： 倒数和：由 ，， 而分母 故倒数和为 。 乘积：由上式分母 ，得 。 （4）适用条件与易错提醒 · 焦半径公式的符号随开口方向变化，记不住时直接用“到焦点的距离等于到准线的距离”转化，最稳。 · 中的 是焦点弦的倾斜角，不是斜率；用斜率 时写成 （），竖直情形单独取 。 · 中的 是线段长度，必须为正；若题目给的是向量关系，先判断 的先后顺序并转成长度。 · 、 只适用于 的焦点弦；换成 或 时值会改变，不能照搬。 · 过焦点的水平直线 与抛物线只交于顶点，不构成焦点弦，不能代 。 · 焦点弦的两个端点必须在抛物线上；过抛物线内部其他点的弦不具备这些定值性质。 （5）考点定位与命题角度 选填高频，考焦半径、焦点弦长、焦点弦端点的定值关系、倒数和为定值，也常与向量、面积、圆结合。常见设问：给焦半径或焦点弦长求 、给 与 的关系求弦长、求 、求 或 。难度基础到中档，解答题中常作第二问的计算基础。近年真题：2020 新高考Ⅰ卷·13（斜率为 的焦点弦长）、2021 新高考Ⅰ卷·14（竖直焦半径与垂直条件求准线）、2021 北京·12（焦半径与三角形面积）、2022 新高考Ⅱ卷·10（焦点弦与距离关系）。 （6）方法归纳 · 第一步　设点：设 ，写出 、。 · 第二步　设线：过焦点设 ，可统一处理斜率存在与不存在的情形。 · 第三步　联立韦达：代入 ，得 ，写出 、，再求 、。 · 第四步　选公式：弦长用 或 ；定值用 ；面积用 等。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 斜率为 的直线经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，求线段 的长。 解析 由 得 ，焦点 。直线方程为 。代入 ： 即 。设 ，则 。由焦点弦长公式 例题 2（教材原题改编） 过抛物线 （）的焦点 的直线交抛物线于 两点，若 ，，求 和 。 解析 由焦点弦的倒数和公式 得 ，即 ，故 。于是 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） （改编自 2021 北京·12）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 。若 ，求点 的横坐标及 的面积。 变式 2-2（优质模拟改编） 过抛物线 （）的焦点 的直线交抛物线于 两点，若 是关于 的方程 的两个根，求 。 条目三　通径与焦点弦的最值、定点 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.3.2 抛物线的简单几何性质 正文中的“通径”（过焦点且垂直于对称轴的弦）；课后习题与章末复习参考题中关于焦点弦最短、以焦点弦为直径的圆与准线相切、过原点互相垂直的两弦所在直线过定点等问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 以 （）为例，焦点 ，准线 。 · 通径：过 且垂直于对称轴的弦叫通径，端点 ，长 。 · 最短焦点弦：若焦点弦 的倾斜角为 ，则 ，当且仅当 时取等号，即通径是所有焦点弦中最短的。 · 圆与准线相切：以焦点弦 为直径的圆与准线 相切。 · 切线交点：过 分别作抛物线的切线，两切线互相垂直，且交点 在准线 上。 · 定点：若 是抛物线上异于原点的两点，且 （ 为原点），则直线 过定点 ；反之，过 的直线与抛物线交于 ，则 。 图 4　以焦点弦 为直径的圆与准线切于 ， 处的切线也交于 （3）推导证明 通径：令 ，代入 得 ，，故通径长为 。 最短性：由条目二的焦点弦长公式 ，而 ，故 ，等号在 （）时成立。 圆与准线相切：设 ， 的中点为 。由焦半径 ，，得 点 到准线 的距离为 故以 为直径的圆（圆心 ，半径 ）与准线相切。 切线交点：设 在 上。过 的切线方程为 ，过 的切线方程为 （可由设切线、联立抛物线并令判别式为 得到）。联立两式，利用 ，可得交点 的纵坐标 、横坐标 又焦点弦满足 ，故 ，即 在准线上。两切线斜率分别为 、，乘积 故两切线互相垂直。 定点：设直线 的方程为 （不含水平直线；水平情形另行验证）。代入 ： 由韦达定理 。又 ，故 ，即 而 ，代入得 即 。因 异于原点，，故 。于是 ，，直线 过定点 。反之，把 代回，同样得到 ，从而 ，即 。 （4）适用条件与易错提醒 · 通径长是 ，不是 ；焦点到准线的距离才是 ，焦点到顶点的距离是 。 · “通径是最短焦点弦”只对过焦点的弦成立；不过焦点的弦不能套这个结论。 · 以焦点弦为直径的圆与准线相切，这是一条只对焦点弦成立的性质；一般弦的圆不一定与准线相切。 · 两切线交点 在准线上，但 不是焦点；两切线互相垂直，不要与“切线垂直于焦点弦”混淆。 · 定点 的条件是 ，不是“任意焦点弦都过 ”；焦点弦过的是 。 · 对 ，定点变为 ；对 ，定点变为 。换方程后要重新推导，不能统一写 。 · 用 设直线时，要单独检查水平直线 （与抛物线只有一个交点，不构成弦）和竖直线 （仍可代入验证）。 （5）考点定位与命题角度 选填与解答题均可出现。选填常考通径长、焦点弦长的最小值、以焦点弦为直径的圆与准线的位置关系、切线交点位置；解答题常把定点、定值、面积最值放在第二问。常见设问：求通径长、求焦点弦长的最小值、证明圆与准线相切、证明两切线垂直或交点在准线上、证明 时直线过定点。难度中档到压轴。近年真题：2023 新高考Ⅱ卷·10（焦点弦、以焦点弦为直径的圆与准线相切）、2024 新课标Ⅱ卷·10（抛物线与圆的切线）、2020 新高考Ⅰ卷·13（焦点弦长）。 （6）方法归纳 · 第一步　判类型：先分清是通径、焦点弦、过定点的弦还是一般弦，确认能不能用焦点弦结论。 · 第二步　设直线：焦点弦设 ；过定点的弦设 ；并单独检查水平、竖直情形。 · 第三步　联立韦达：得到 、，再转成 、。 · 第四步　翻译条件：长度、垂直、圆相切、切线、定点分别用弦长公式、数量积、点到直线距离、切线方程、韦达定理消参；求最值时写出等号条件。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 求抛物线 的通径长，并求以该通径为直径的圆的方程。 解析 由 得 ，焦点 ，准线 。通径为过 且垂直于 轴的弦，令 ，得 ，。故通径长为 ，端点 。以 为直径的圆圆心为 ，半径为 ，方程为 该圆与准线 相切。 例题 2（教材原题改编） 过抛物线 （）的焦点 的直线与抛物线交于 两点，若 ，且 的倾斜角为 ，求 及以 为直径的圆的方程。 解析 由焦点弦长公式 得 ，。故抛物线为 ，焦点 ，直线 的斜率为 ，方程为 。 代入 ： 即 。设 ，则 。又 ，，故 的中点 为 ，半径 。故以 为直径的圆为 圆心到准线 的距离为 ，等于半径，故该圆与准线相切。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） （改编自 2023 新高考Ⅱ卷·10）设 为坐标原点，直线 过抛物线 （）的焦点，且与 交于 两点， 为 的准线。判断下列结论是否正确： A. ； B. ； C. 以 为直径的圆与 相切； D. 为等腰三角形。 变式 3-2（优质模拟改编） 已知 是抛物线 上异于原点的两点，且 。 （1）证明直线 过定点，并求出该定点； （2）若直线 的斜率为 ，求 。 条目四　抛物线的实际应用与光学性质 （1）教材出处 选择性必修第一册 第三章 3.3.1 例 2 的卫星接收天线问题（平行波束经抛物线反射聚集到焦点），以及 3.3 节后的实际应用例题与习题中的抛物线形拱桥、隧道问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 · 光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过焦点。 · 卫星接收天线：轴截面为抛物线，平行于对称轴的波束经反射聚集到焦点，信号接收器应放在焦点处。 · 拱桥、隧道建模：以拱顶为原点、对称轴为 轴，开口向下时设 （）；若跨度为 、拱高为 ，则端点坐标为 ，代入得 。焦点到拱顶的距离为 。 · 卫星天线建模：以顶点为原点、对称轴为 轴，开口向右时设 （）；若口径（直径）为 、深度为 ，则边缘点坐标为 ，代入得 。焦点到顶点的距离为 。 图 5　抛物线的光学性质：切线 是 的垂直平分线，焦点光线 反射后平行于对称轴 （3）推导证明 光学性质的证明：以 为例，设 （）在抛物线上，焦点 ，准线 。过 作 ，垂足 。 由定义 ，故 在 的垂直平分线上。又 设过 的切线为 ，代入 并令判别式为 ，解得 ，故切线斜率为 。两者乘积为 ，故切线与 垂直。于是过 的切线就是 的垂直平分线。因此 是 关于切线的对称点，焦点光线 经切线反射后落在直线 上；而 垂直于准线，故反射光线平行于对称轴。反之，平行于对称轴的光线经反射后沿 方向，必过焦点。 时 为顶点，结论显然成立。 拱桥建模：以拱顶为原点、竖直向下为 轴负方向，设 （）。跨度端点 在抛物线上，故 得 ，焦点为 ，焦点到拱顶的距离为 。 卫星天线建模：以顶点为原点、对称轴为 轴，设 （）。口径边缘点 在抛物线上，故 得 ，焦点为 ，焦点到顶点的距离为 。 （4）适用条件与易错提醒 · 光学性质的前提是理想抛物面（或抛物线截面），且光线平行于对称轴或从焦点发出；实际天线有尺寸、衍射等误差，高考模型按理想情形处理。 · 反射定律中的角是相对法线（垂直于切线）而言；证明时用“切线是 的垂直平分线”更直接，不要误把切线当成法线。 · 拱桥建模时，“跨度”是两端支点的水平距离，“拱高”是拱顶到跨度线的竖直距离；不要把拱高当成 ，也不要把半跨度当成 。 · 建系方式不同，方程不同，但 的几何意义不变；写方程前先确定顶点、对称轴和开口方向。 · 求车辆、船只能否通过时，要比较车宽边缘处的净高，不能只看拱顶高度；同时注意水面升降后对应的 坐标。 · 卫星天线的“口径”是直径，“深度”是顶点到口径平面的距离；边缘点坐标是 ，不要写成 。 · 实际问题中变量有范围限制（如 在跨度内、 在水面以上），求最值时不能忽略定义域。 （5）考点定位与命题角度 实际应用题多以选填或解答题第一问出现，考“建立坐标系—设标准方程—代入点求 —回答实际量”；光学性质多以选填出现，考“反射光线过焦点或平行于对称轴”的判断与证明。常见设问：求抛物线方程、求焦点位置、求拱高或跨度、判断船只是否能通过、求光线反射后的交点或直线方程。难度基础到中档。真题中直接考拱桥建模的代表是 2012 陕西高考的抛物线形拱桥题；卫星天线模型以教材 3.3.1 例 2 为标准，模拟题中常以“口径、深度求焦点到顶点距离”的形式出现。 （6）方法归纳 · 第一步　建系：以拱顶或天线顶点为原点，对称轴为坐标轴，按开口方向设 或 。 · 第二步　找点：把跨度、拱高、口径、深度转成抛物线上一点的坐标（常用半跨度、半口径）。 · 第三步　求 ：代入标准方程解出 ，写出方程与焦点坐标。 · 第四步　回到实际：把所求的 或 转成宽度、高度、距离；光学问题先由反射性质确定反射光线所在直线，再与抛物线联立。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 一种卫星接收天线的轴截面为抛物线，平行于对称轴的卫星波束经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径（直径）为 ，深度为 。建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。 解析 以天线顶点为原点、对称轴为 轴，开口向右，设抛物线方程为 （）。口径半径为 ，深度为 ，故边缘点为 。代入： 即 ，。故抛物线方程为 焦点坐标为 。即信号接收器应放在距顶点 的焦点处。 例题 2（教材原题改编） 某抛物线形拱桥的拱顶离水面 时，水面宽 。以拱顶为原点、对称轴为 轴建立坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；若水位上升 ，求此时水面的宽度。 解析 设抛物线方程为 （）。水面宽 ，半宽为 ，水面离拱顶 ，故点 在抛物线上。代入： 得 。故抛物线方程为 焦点为 。 水位上升 后，水面到拱顶的距离为 ，即 。代入 ，得 。故水面宽度为 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） （改编自 2012 陕西高考·抛物线形拱桥题）如图，一座抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 。水位下降 后，求水面的宽度。 变式 4-2（优质模拟改编） 某卫星接收天线的轴截面为抛物线，平行于对称轴的波束经反射聚集到焦点。已知天线的口径（直径）为 ，深度为 ，求该抛物线焦点到顶点的距离。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：设焦点为 ，由抛物线定义 。已知 ，，故 ，，。 变式 1-2 答案与解析 答案：焦点 ，准线 。 解析： 化为 ，与 比较得 ，。焦点为 ，准线为 。 变式 2-1 答案与解析 答案： 的横坐标为 ， 的面积为 。 解析：由 得 ，焦点 ，准线 。设 ，由焦半径 ，得 。于是 ，。 为 在 轴上的垂足，故 ，。所以 变式 2-2 答案与解析 答案：。 解析：由方程 得两根为 ，即 分别为 。由焦点弦倒数和公式 得 ，故 。 变式 3-1 答案与解析 答案：A、C 正确，B、D 错误。 解析：直线 与 轴交于 ，故焦点 ，，，A 正确。此时 ，准线 。代入 ： 即 ，解得 或 。对应 或 。故 B 错误（原题 B 给的是 ）。以 为直径的圆圆心为 的中点，圆心到准线的距离等于 （条目三），故圆与准线相切，C 正确。计算 ，，，三边不等，D 错误。 变式 3-2 答案与解析 答案：（1）定点 ；（2）。 解析：（1）设 ，直线 的方程为 。代入 ： 故 。由 得 。而 ，故 因 异于原点，，故 。于是 ，，直线 过定点 。 （2）直线 的斜率为 ，过 ，故方程为 。代入 ： 即 。设两根为 ，则 ，。故 变式 4-1 答案与解析 答案：。 解析：以拱顶为原点、对称轴为 轴，设 （）。水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 ，故点 在抛物线上。代入： 得 ，抛物线方程为 。水位下降 后，，代入得 ，。故水面宽度为 。 变式 4-2 答案与解析 答案：。 解析：以天线顶点为原点、对称轴为 轴，设 （）。口径半径 ，深度 ，故边缘点 在抛物线上。代入： 得 。焦点到顶点的距离为 。 人教A版·选择性必修第一册　第3章 3.3 抛物线　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $