专题08 圆的对称性专项训练（九大题型27道题）-2026-2027学年苏科版九年级上册数学《典例全解·题型通关》

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 圆的对称性（九大题型27道题） 目录 知识点一利用弧、弦、圆心角的关系求解 1 知识点二利用弧、弦、圆心角的关系求证 2 知识点三求圆弧的度数 3 知识点四利用垂径定理求值 4 知识点五利用垂径定理求平行弦问题 4 知识点六利用垂径定理求同心圆问题 5 知识点七利用垂径定理求解其他问题 6 知识点八垂径定理的推论 7 知识点九垂径定理的实际应用 8 知识点一利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，，则______． 3．如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 知识点二利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，点是上的一点，点是弧的中点，连接，．若，，则______． 6．如图，点，，，在上，．求证：． 知识点三求圆弧的度数 7．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； (2)在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 知识点四利用垂径定理求值 10．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 11．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 12．如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 知识点五利用垂径定理求平行弦问题 13．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 15．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 知识点六利用垂径定理求同心圆问题 16．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 17．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 18．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 知识点七利用垂径定理求解其他问题 19．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 20．如图，是直径所在的直线，且平分，，，则：①；②；③；④，其中结论正确的是________（填写序号）． 21．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 知识点八垂径定理的推论 22．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．如图，为的直径，，，则的度数为______． 24．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 知识点九垂径定理的实际应用 25．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 26．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 27．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题08 圆的对称性（九大题型27道题） 目录 知识点一利用弧、弦、圆心角的关系求解 1 知识点二利用弧、弦、圆心角的关系求证 3 知识点三求圆弧的度数 6 知识点四利用垂径定理求值 8 知识点五利用垂径定理求平行弦问题 11 知识点六利用垂径定理求同心圆问题 14 知识点七利用垂径定理求解其他问题 16 知识点八垂径定理的推论 20 知识点九垂径定理的实际应用 22 知识点一利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．在同一个圆中，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】作的中点，连接、，将弧的倍数关系转化为等弧，利用等弧对等弦得到相等线段，再结合三角形三边关系比较大小． 【详解】解：如图，作的中点，连接、． ， ． ． 在中，， ，即． 2．如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 3．如图，在中，且，垂足为D．若，，求的半径． 【答案】5 【分析】过点作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， ， ， 是的平分线， ， ， 设的半径为，则， ， ， 在中利用勾股定理得， 即， 解得． 知识点二利用弧、弦、圆心角的关系求证 4．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 5．如图，是的直径，点是上的一点，点是弧的中点，连接，．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，弧、弦、圆心角的性质，直径所对圆周角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆中的相关性质是解题的关键．连接，，，，，连接交于点，先证明，，设，在与中利用勾股定理列式求出，再利用勾股定理求出，得出，利用直径所对圆周角为得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，，，连接交于点， ∵点是弧的中点， ∴， 又∵， ∴，， 设， 则， 在与中，得， 得， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 【分析】由点，，，在上，且弦，得弧，由 ，得，进而得到线段． 【详解】略 知识点三求圆弧的度数 7．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 8．在中，弦等于圆半径的倍，即，则该弦所对的弧的度数为__________． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理逆定理求出圆心角的度数，再分劣弧和优弧两种情况计算弧的度数． 【详解】解：根据题意画出图形，如下图所示， ，， ， ， 由勾股定理逆定理，可得是直角三角形，． 一条弦对应两条弧，弧的度数等于它所对圆心角的度数， 当弦对劣弧时，劣弧的度数为；当弦对优弧时，优弧的度数为， 该弦所对的弧的度数为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)请利用无刻度的直尺找出外接圆圆心P的位置； (2)在（1）的条件下求中所对圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点； （2）利用（1）和已知条件可知网格中每个小格都是边长为1的正方形，用勾股定理的逆运用即可知道． 【详解】（1）解：作线段和线段的垂直平分线，交点即为圆心P，图略； （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为可知：网格中每个小格都是边长为1的正方形， 连接、，如下图所示： 根据图中可知：点P的坐标为， 利用网格，可知：，，， ， 是直角三角形，且， 在（1）的条件下中所对圆心角的度数为． 知识点四利用垂径定理求值 10．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，若，，则的长为（     ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】连接，根据圆的性质和勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，，垂足为， ∴， ∴， ∴． 11．如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 12．如图，在中，弦与直径相交于点E，，且，，求的长． 【答案】 【分析】先求解，过作于F，连接，进一步结合含的直角三角形的性质与勾股定理求解即可. 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 过作于F，连接，如图所示： ∴， ∵， ， ，， ∵， ， . 知识点五利用垂径定理求平行弦问题 13．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 14．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为_______． 【答案】 或 【分析】分圆心在弦与的同侧和异侧两种情况，结合垂径定理和勾股定理分别求出圆心到两条弦的距离，再根据线段的和差计算弦之间的距离即可. 【详解】解：的直径为， 的半径为， 当圆心在弦和的同侧时， 连接，，过点作于点，延长交于点， ， ， 由垂径定理得，，， 在中，由勾股定理得：； 在中，由勾股定理得：； ； 当圆心在弦和的异侧时， 同理可得，， . 综上：与之间的距离为或. 15．如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 知识点六利用垂径定理求同心圆问题 16．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，点P为切点，且，，连结交小圆于点E，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理、扇形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由大圆的弦与小圆相切可得，再根据垂径定理得，进而推出是等腰直角三角形，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：大圆的弦与小圆相切， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 扇形的面积． 故选：C． 17．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 18．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 知识点七利用垂径定理求解其他问题 19．如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键． 20．如图，是直径所在的直线，且平分，，，则：①；②；③；④，其中结论正确的是________（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查圆综合，涉及角平分线性质、三角形全等的判定与性质、弦和弧的关系、垂径定理、圆周角定理等知识，灵活运用圆的性质进行证明是解决问题的关键． 【详解】解：是直径所在的直线，且平分，，， ， 连接，如图所示： 在和中， ， ， ，， ，， 由垂径定理可得， ，①正确； ， ，则，②正确； 连接，如图所示： 由题意可知，， ， ， ， ，③正确； 对于④，题中条件无法给予证明，故④不正确； 故答案为：①②③． 21．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 如图，点O即为所求．    (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于点D，连接，．    ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 知识点八垂径定理的推论 22．下列4个说法中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③任何一条直径都是圆的对称轴；④相等的圆心角所对的弧相等；正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】需关注各圆相关结论的适用前提，结合定义判断说法的正确性． 【详解】解：①直径是经过圆心的弦，故①正确； ②平分弦的直径垂直于弦的前提是被平分的弦不是直径，该说法缺少此前提，故②错误； ③圆的对称轴是直径所在的直线，直径是线段，不是对称轴，故③错误； ④相等的圆心角所对的弧相等的前提是在同圆或等圆中，该说法缺少此前提，故④错误； 综上，正确的说法共个． 23．如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 24．如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 知识点九垂径定理的实际应用 25．如图，圆弧形桥拱的跨度，拱高．则拱桥的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为O,半径为，则，，由垂径定理得，再由勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心为O,半径为，则，，由题意得， ， 在中，由勾股定理得，即：， 解得， 拱桥的半径为． 26．化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为________． 【答案】 【分析】过点作，延长交于点，根据垂径定理可知，利用勾股定理求出，可得． 【详解】解：如下图所示，过点作，延长交于点， 液面宽的长为， ， ， ， ． 27．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为多少？ 【答案】25m 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理的应用，连接，根据垂径定理得到，，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：连接，则点O、C、D共线． ∵D是的中点， ∴， ∴． 设半径为r，得，， 解得， 答：这段弯路所在圆的半径为25m． 学科网（北京）股份有限公司 $