专题01 反比例函数的概念的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建反比例函数概念专项训练，系统梳理核心知识点与易错点，通过六类题型实现从概念理解到综合应用的能力迁移，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心知识点5点、易错点6点|明确反比例函数定义、等价形式及k≠0等限制条件，归纳判定与列解析式方法|从概念本质出发，构建“定义→形式→应用”的逻辑链条| |题型归纳|6类题型，每类1典例+3变式|针对表格、图象、解析式等表示方式及参数问题，提炼对应解法|按“定义辨析→表示方法→参数求解→组合应用”递进| |压轴挑战|15道综合题|融合实际情境与函数性质，强化模型构建与推理能力|衔接中考命题趋势，实现基础到拔高的能力突破|

专题01 反比例函数的概念的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 题型二、反比例函数的表示方式—表格 题型三、反比例函数的表示方式—图象 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 题型五、反比例函数的定义求参 题型六、正比例与反比例组合函数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 1. 反比例函数的定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠ 0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围是不等于0的一切实数 2. 反比例函数的等价形式：除标准形式外，还可变形为y=kx-1（k≠ 0）、xy=k（k≠ 0），三种形式可以互相转化 3. 反比例函数中各量的要求：比例系数k是非零常数，自变量x不能为0，因变量y也不能为0 4. 根据实际问题列反比例函数解析式：先分析问题中的变量关系，确定等量关系，再整理得到符合反比例函数定义的形式，并明确自变量的实际取值范围 5. 判定反比例函数：先整理函数解析式，对照三种形式判断，确认比例系数非零、自变量次数为-1 常见易错点 1. 忽略反比例函数比例系数k ≠ 0的限制，误将k=0的一次函数判定为反比例函数 2. 混淆反比例函数的形式，误将形如y = （a≠0）、y = kx + b（b≠0）的函数判定为反比例函数 3. 遗忘反比例函数自变量的取值范围，忽略x≠0的要求，或者不考虑实际问题对自变量的额外限制 4. 判断y = (m-1)xm²-2这类含参数的函数类型时，漏同时满足“指数为-1”和“系数不为0”两个条件，只验证其中一个条件就得出结论 5. 将xy = k的形式错误变形，误整理为不符合反比例函数定义的形式，导致函数判定错误 6. 利用实际问题列解析式时，错误判断两个变量的比例关系，误将成正比例的关系写成反比例函数形式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 典例1 下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1-2下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 变式1-3反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 类型二、反比例函数的表示方式—表格 典例2 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 变式2-1若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 变式2-2已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 变式2-3给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 题型三、反比例函数的表示方式—图象 典例3 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 变式3-1下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 变式3-2两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 变式3-3小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 典例4 一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 变式4-1已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 变式4-2如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 变式4-3水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 题型五、反比例函数的定义求参 典例5 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 变式5-1已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 变式5-2若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 变式5-3已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 题型六、正比例与反比例组合函数 典例6 已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 变式6-1已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 变式6-2已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 变式6-3已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 2．已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 4．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 5．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 7．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“＞”，或“＜”或“＝”）． 8．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 10．新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 11．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 12．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 13．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 14．已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 15．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程： (1)下表是与的几组对应值：   求出表中的值； (2)根据表中数值描点，并画出函数图象；    (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________； (4)求出该函数图象与图象的交点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的概念的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 题型二、反比例函数的表示方式—表格 题型三、反比例函数的表示方式—图象 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 题型五、反比例函数的定义求参 题型六、正比例与反比例组合函数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 类别 具体内容 核心知识点 1. 反比例函数的定义：一般地，形如y=（k为常数，k≠ 0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围是不等于0的一切实数 2. 反比例函数的等价形式：除标准形式外，还可变形为y=kx-1（k≠ 0）、xy=k（k≠ 0），三种形式可以互相转化 3. 反比例函数中各量的要求：比例系数k是非零常数，自变量x不能为0，因变量y也不能为0 4. 根据实际问题列反比例函数解析式：先分析问题中的变量关系，确定等量关系，再整理得到符合反比例函数定义的形式，并明确自变量的实际取值范围 5. 判定反比例函数：先整理函数解析式，对照三种形式判断，确认比例系数非零、自变量次数为-1 常见易错点 1. 忽略反比例函数比例系数k ≠ 0的限制，误将k=0的一次函数判定为反比例函数 2. 混淆反比例函数的形式，误将形如y = （a≠0）、y = kx + b（b≠0）的函数判定为反比例函数 3. 遗忘反比例函数自变量的取值范围，忽略x≠0的要求，或者不考虑实际问题对自变量的额外限制 4. 判断y = (m-1)xm²-2这类含参数的函数类型时，漏同时满足“指数为-1”和“系数不为0”两个条件，只验证其中一个条件就得出结论 5. 将xy = k的形式错误变形，误整理为不符合反比例函数定义的形式，导致函数判定错误 6. 利用实际问题列解析式时，错误判断两个变量的比例关系，误将成正比例的关系写成反比例函数形式 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、反比例函数的定义及形式 典例1 下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 变式1-1在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． 变式1-2下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）（5），其中表示是的反比例函数的是___________（填入序号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，根据反比例函数的定义，形如 （ 为常数，）的函数是反比例函数．逐一判断各选项是否符合此形式． 【详解】解： ，是正比例函数，故不符合反比例函数形式； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，可化为 形式，其中 ，故是反比例函数； ，即 ，含有常数项，故不符合反比例函数形式； ，分母是 而非 ，故不符合反比例函数形式． 故答案为：． 变式1-3反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数， 对该式变形可得到另外两种表现形式， 将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）； 将两边同乘变形可得（为常数，）． 类型二、反比例函数的表示方式—表格 典例2 小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 变式2-1若x和y成反比例关系，则的值是（   ） x 2 a y 6 b A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据反比例关系得到求解即可； 【详解】 x和y成反比例关系，，， ， ，， ，， ． 变式2-2已知x、y是两个相关联的量，且它们的部分对应值如下表所示，若x与y成反比例关系，则a的值为______________． x a y 8 32 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数，掌握相关知识是解题的关键．根据反比例关系设，求出，，再将，代入即可求解． 【详解】解：由题意设， 当，时， ， 解得：， ， 当，时， ， 解得：， 故答案为：． 变式2-3给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积 0.2 0.3 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 100 75 … (1)从表格中得到： ①这间教室有_____； ②分别用（单位：平方米）和（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量，用式子表示与的关系为_____，与成_____比例关系； (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室，需要多少块？ 【答案】(1)①60；②，反 (2)240块 【分析】（1）根据教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量，可得与成反比例关系，再根据表格中的数据可得对应的关系式； （2）根据正方形面积计算公式可求出的值，再将其代入解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴这间教室有； ②∵教室的面积一定，且教室的面积等于每块地砖的面积乘以所需地砖的数量， ∴与成反比例关系，由表格中的数据可得，即，与成反比例关系． （2）解：5分米米， 每块方砖面积． 又， 当时，． 答：需要240块． 题型三、反比例函数的表示方式—图象 典例3 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（    ） A．当时， B．随的增大而减小 C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象 【答案】D 【详解】解：由图象得，当时，，故A正确； 由图象得，随的增大而减小，故B正确； 由图象得，的值都有唯一确定的的值与之对应， ∴是的函数，故C正确； 由图象得，当时，，即； 当时，，即； ∵ ∴图中曲线不是反比例函数的图象，故D错误． 变式3-1下列变量之间的关系不能用如图（第一象限内的反比例函数曲线）近似表示的是（   ） A．当压力F一定时，压强P与受力面积S之间的函数关系 B．当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间的函数关系 C．当行驶的路程s一定时，时间t与速度v的函数关系 D．当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间的函数关系 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．由，则当压力F一定时，压强P与受力面积S之间成反函数关系，即A选项不符合题意； B．由，则当物体的质量m一定时，物体的密度与体积V之间成反函数关系，即B选项不符合题意； C．由，则当行驶的路程s一定时，时间t与速度v成反函数关系，即C选项不符合题意； D．由，则当三角形的一条边长a一定时，它的面积S与这条边上的高h之间成正比例函数，即选项D符合题意． 变式3-2两个反比例函数，在第一象限内的图象如图所示，点、、在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是，，，纵坐标分别是1，3，5…，共2026个连续奇数，过点、、分别作y轴的平行线，与的图象的交点依次为，，，的长为________． 【答案】 【分析】根据题意先总结出的纵坐标为，根据，的关系，即可求解． 【详解】∵的纵坐标分别是1，3，5，是连续奇数， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为4051， ∵在反比例函数图象上， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∵在反比例函数图象上， ∴的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∴． 变式3-3小明探究琴弦振动频率与弦长的关系．他选取两根不同材质的琴弦（记为号弦，号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为（单位：）时，号弦的振动频率为（单位：），号弦的振动频率为（单位：），部分数据如下： 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当频率为时，对应号弦长与号弦长的差为________（结果保留整数）； (3)通过本次实验，小明对在实验条件下琴弦振动频率与弦长的一般关系作出如下推断： 同一根琴弦，弦长越大频率越低； 两根琴弦的弦长相同时，频率差应为定值； 两根琴弦的弦长相同时，频率比应为定值； 要使号弦发出的声音比号弦发出的声音高八度（号弦的频率是号弦的频率的倍），两根琴弦的弦长比应为定值． 其中所有合理推断的序号是________． 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）根据画函数图象的方法及步骤即可； （）根据函数图象进行求解即可； （）根据函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：根据表格，描点，连线， 画图象如图， （2）解：如图， 当时，对应号弦长为，号弦长为， ∴对应号弦长与号弦长的差为， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：对同一根琴弦，，越大越小，即弦长越大频率越低，推断合理； 弦长相同时，频率差，随变化而变化，不是定值，推断错误； 弦长相同时，频率比，是定值，推断合理； 若，则，化简得，弦长比为定值，推断合理； 故答案为：． 题型四、反比例函数的表示方式—解析式 典例4 一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 变式4-1已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 变式4-2如图所示的是一面墙（可利用的最大长度为），现打算沿墙围一个面积为的矩形花圃．设花圃的长为，宽为，则关于的函数表达式是_________，自变量的取值范围是_________． 【答案】， 【分析】此题考查根据实际问题列函数关系式，理解题意掌握长方形的面积公式是解题的关键．根据长方形的面积长宽，可得，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为求得x的取值范围． 【详解】解：解：由题意得，即． ∵围墙可利用的最大长度为， ∴， 故答案为：，． 变式4-3水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 题型五、反比例函数的定义求参 典例5 若反比例函数的图象经过点，则该函数图象还经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， 则该反比例函数图象上的点满足， A选项：，不符合要求； B选项：，不符合要求； C选项：，不符合要求； D选项：，符合要求． 变式5-1已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．15 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式得：， 解得：． 故选：A． 变式5-2若是y关于x的反比例函数的关系式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解：由反比例函数的定义可知，， ∴． 变式5-3已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 题型六、正比例与反比例组合函数 典例6 已知，并且与成正比例，与成反比例．当，当，；求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，设，，则有，把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式 【详解】解：设，，则， 把和，代入得： ，解得， ∴． 变式6-1已知，其中与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求关于的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，掌握反比例数函数与正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数和反比例函数的定义，设函数关系式，再把当时；当时，，代入，即可求解． 【详解】解：∵与成反比例，与成正比列， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴， 即． 变式6-2已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，． (1)求y与x的函数关系式： (2)求时，y的值． 【答案】(1)； (2)时，． 【分析】本题考查的知识点有正比例关系、反比例关系，函数解析式的求法，确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． （1）由与成正比例关系，与x成反比例关系．分别设，并把、代入中，然后把所给两组数分别代入求出、，即可求出与的函数关系式． （2）把代入（1）中的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， 则 ， 依题意得 ， 解得 ， ； （2）解：当时，． 变式6-3已知，并且与x成正比例与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求当时的函数值． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数． （1）设，则，然后利用待定系数法即可求得； （2）把代入（1）求得函数解析式求解． 【详解】（1）解：设， 则， 根据题意得：， 解得：， 则函数解析式是：； （2）解：当时，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．函数，当时，函数值y为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查已知函数解析式求函数值，将给定的自变量的值代入解析式计算即可． 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ 将代入解析式得， 因此函数值为3， 故选：A． 2．已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出和，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∴． 3．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 4．已知点，为反比例函数图象上的两个不同的点，，则的值为（ ） A．0 B．正数 C．负数 D．非负数 【答案】C 【分析】利用反比例函数解析式得到，的表达式，代入所求分式化简，再根据已知判断化简结果的符号即可． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴，即原式的值为负数． 5．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于点，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，则，结合轴可得，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，作轴于点， ∵点的纵坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 6．若，且x只能取整数，则y的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据的正负分类讨论，确定最小值的范围，再结合为整数的条件，求出的最小值． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴当为正整数时，； 当为负整数时，， ∵， ∴图象在第三象限随的增大而减小， ∴当时，y有最小值，此时． 7．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“＞”，或“＜”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入反比例函数解析式，分别表示出和，计算后结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将代入，得 ， 将代入，得 ， 则， ， ，即． 8．点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ， 且， ， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 【答案】 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 10．新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的倍（），纵坐标不变得到点，则称点为点的“倍横变点”，所有“倍横变点”构成的函数称为原函数的“倍横变函数”．例如：函数图象上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． （1）点在一次函数的图象上，点是点的“倍横变点”，则点的坐标为_____； （2）点在反比例函数的图象上，点是点的“倍横变点”，若线段的中点在直线上，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题属于新定义题型，考查一次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键． （1）将代入确定，再由题意即可求解； （2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可． 【详解】解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点， 故答案为：； 设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点， 故答案为：． 11．写出下列各问题中的函数关系式，指出是哪种函数，并确定其中自变量的取值范围： (1)在的匀速运动中，运动路程是时间的函数； (2)某学校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长是宽的函数． 【答案】(1) ，是正比例函数，自变量取值范围为 (2) ，是反比例函数，自变量取值范围为 【分析】（1）根据“路程=速度乘时间”即可得出运动路程是时间的函数关系式，再根据正比例函数的定义解答即可； （2）根据长方形的面积公式即可得出花圃的长是宽的函数关系式，再根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】（1）解：根据路程=速度×时间，可得，该式符合正比例函数的形式， 因此是的正比例函数， 运动时间为非负数，因此自变量的取值范围是． （2）解：∵长方形面积=长×宽，可得， 变形得，该式符合反比例函数的形式， 因此是的反比例函数， 长方形的宽为正数，因此自变量的取值范围是． 12．某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输天数之间的关系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 …… (1)这批货物共有多少吨？ (2)用表示运输天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示它们的关系． (3)与成反比例关系吗？如果成，请求出表格中的值． 【答案】(1) 500吨 (2) (3) 成反比例关系， 【分析】本题考查了反比例关系的实际应用，解题的关键是根据“货物总量每天运输吨数运输天数”确定总量，并分析变量间的关系． （1）用每天运输吨数乘对应天数计算货物总量； （2）根据总量公式变形得到与的关系式； （3）依据反比例关系的定义判断，再代入总量求的值． 【详解】（1）解：（吨）． 答：这批货物共有500吨． （2）解：由，得. （3）解：∵（定值）， ∴与成反比例关系． 当时，． 13．已知函数． (1)当为何值时，该函数是一次函数？ (2)当为何值时，该函数是正比例函数？ (3)当为何值时，该函数是反比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是一次函数 (2)当时，该函数是正比例函数 (3)当时，该函数是反比例函数 【分析】本题考查根据正比例函数，一次函数，反比例函数的定义求参数的值，熟练掌握相关定义，是解题的关键： （1）根据一次函数的定义，得到，进行求解即可； （2）根据正比例函数的定义，得到，进行求解即可； （3）根据反比例函数的定义，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得， 即当时，该函数是一次函数． （2）由题意，得，解得， 即当时，该函数是正比例函数． （3）由题意，得，解得， 即当时，该函数是反比例函数． 14．已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)求时的函数值． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可； （2）将代入（1）中求值即可． 此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，， 则， 根据题意，得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，． 15．小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，下面是小东的探究过程： (1)下表是与的几组对应值：   求出表中的值； (2)根据表中数值描点，并画出函数图象；    (3)观察画出的图象，写出这个函数的一条性质：______________； (4)求出该函数图象与图象的交点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，随的增大而增大，（答案不唯一） (4) 【分析】本题考查了函数的图象，根据图表画出函数的图象是解题的关键． （1）代入即可求得的值； （2）描点、连线、用平滑的曲线作出图象即可； （3）结合函数的图象提出一条性质即可； （4）解方程组即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴的值为； （2）解：描点连线，函数图象如图 （3）解：观察图象得：当时，随的增大而增大，（答案不唯一）； 故答案为：当时，随的增大而增大，（答案不唯一）； （4）解：解方程组解得： ∴该函数图象与图象的交点坐标为． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $