精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

10月 月考测试 一、单选题 1. 复数z满足，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 4. 函数（，）的图象过定点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多选题 9. 下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 10. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 三、填空题 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 13. 已知抛物线的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于轴，则AF的长度为____________. 14. 等比数列的首项为，公比.设表示这个数列的前n项的积，则当______时，有最大值. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 16. 如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 17. 在周长为的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度做匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向做匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知厘米，厘米，求的长度． 18. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 19. 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． （1）判断是否为数表，并求的值； （2）若数表满足，求中各数之和的最小值； （3）证明：对任意数表，存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10月 月考测试 一、单选题 1. 复数z满足，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求出复数，再求模长即可求解. 【详解】由已知得：， 所以，. 故选：C． 2. 设全集，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案． 【详解】全集，， ，又， 则． 故选：B． 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，最后求中的系数即可求解. 【详解】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 4. 函数（，）的图象过定点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质求函数所过的定点坐标. 【详解】令，则，此时，故定点的坐标为. 故选：C 5. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 6. 若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，每段递增且保证分界点处满足递增函数的要求即可得解. 【详解】当时，单调递增且值域为， 而在上单调递增， 则在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，满足题设； 当时，在上单调递增，此时只需，即； 综上，. 故选：A 7. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得是定义在上的偶函数，然后求导得，即可判断在上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果. 【详解】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以是定义在上的偶函数， 又， 当时，，则，所以在单调递增， 又，则， 且，则不等式可化为 ，即， 且是定义在上的偶函数，在单调递增， 则，即，即， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD. 【详解】令，，，所以； 令，，则． 令，得，故为偶函数．A错误， 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得，故，解得，且．B错误， 若，则，C正确， 若，则，， ，所以，故D错误， 故选：C． 二、多选题 9. 下列可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据特征数的特点选择. 【详解】可以反映总体数据集中趋势的统计特征数为平均数、中位数、众数； 方差反映的是总体数据的离散程度. 故选：BCD. 10. 《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要》中明确提出要创新实施文化惠民工程，提升基层综合性文化服务中心功能，广泛开展群众性文化活动.某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程，在两村的村民中进行满意度测评，满分100分，规定：得分不低于80分的为“高度满意”，得分低于60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布，其中，，，则（ ） A. X对应的正态曲线比Y对应的正态曲线更扁平 B. 甲村的平均分低于乙村的平均分 C. 甲村的高度满意率与不满意率相等 D. 乙村的高度满意率比不满意率大 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，曲线越扁平，方差较大，判断A错误；B选项，求出两村的平均分，比较出大小；CD选项，由正态分布曲线的对称性判断. 【详解】A选项，曲线越扁平，说明评分越分散，方差较大， 因为，所以Y对应的正态曲线比X对应的正态曲线更扁平，A错误； B选项，甲村的平均分为70，乙村的平均分为75，故B正确； C选项，因为甲村的平均分为70，由对称性知，C正确； D选项，因为乙村的平均分为75，由对称性知，D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ） A. 的斜率为 B. 是锐角三角形 C. 四边形的面积是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即， 设， 则，可得∥x轴， 因为，即， 可知为等边三角形，即， 且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确； 则直线， 联立方程，解得或， 即，，则， 可得， 在中，，且， 可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确； 四边形的面积为，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法 （1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解； （3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用． 三、填空题 12. 的二项展开式中含的项的系数为______（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式来求指定项系数即可. 【详解】展开式中的第二项为， 所以含的项的系数为， 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于轴，则AF的长度为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意分别设出点的坐标，根据可建立变量之间的等式，再根据A、B、F在一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得结果. 【详解】解：因为抛物线，所以， 根据题意不妨设，，， 因为，所以， 即，解得，即①， 因为A、B、F三点共线，所以， 即，即，即②， ①除以②可得，，即，即， 将代入①中可得,即， 解得（舍）或，所以， 代入中可得，所以. 故答案为：3 14. 等比数列的首项为，公比.设表示这个数列的前n项的积，则当______时，有最大值. 【答案】12 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求出，再与作商化简后，判断出与1的关系，可得到单调性和取最大值时的值． 【详解】由题意，， 当为奇数时，，当为偶数时，， ， 所以， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又，， 所以当时，有最大值. 故答案为：12. 四、解答题 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 16. 如图，在直角梯形中，，，，，于，沿将折起，使得点到点的位置，使，，分别是棱，的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）根据题意，沿将折起后，， 平面，则平面， 因平面，则，由左图易得矩形，故，故，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线线垂直证明平面，再由线面垂直得，证明，即得； （2）由题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，平面，则， 故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系(如图). 则， 因，分别是棱，的中点，则， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取； 因， 设平面的法向量为， 则，故可取. 设平面和平面的夹角为， 则. 即平面和平面的夹角的余弦值为. 17. 在周长为的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度做匀速圆周运动．甲球从A点出发按逆时针方向运动，乙球从B点出发按顺时针方向运动，两球相遇于C点相遇后，两球各自反方向做匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的2倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于D点．已知厘米，厘米，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】设，甲球第一次运动速度为，乙球第一次运动速度，从而得甲球第二次运动速度为，乙球第二次运动速度为，由题意计算出的长，根据两次相遇的时间相等，构造两次相遇时的方程，求解方程组即可得，从而可得. 【详解】如图，设，甲球第一次运动速度为， 乙球第一次运动速度，则甲球第二次运动速度为， 乙球第二次运动速度为， 由题意，，，圆的周长为， 所以，， 由两次运动相遇时间相同可得， 化简得，即， 解得或，因为甲、乙两球速度不相等， 所以不符合条件，可得 所以，的长度为. 18. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 由底面为矩形，有，而，平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，平面，所以平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，而平面， 所以得证． （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 因为，设，（）， 则，，点是的中点，所以， 由，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面所成二面角的大小为， 则，解得（负值舍去）． 所以， ． 19. 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． （1）判断是否为数表，并求的值； （2）若数表满足，求中各数之和的最小值； （3）证明：对任意数表，存在，使得． 【答案】（1）是； （2） （3） 由于数表中共个数字， 必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为 当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以. 所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点， 即存在 使得， 所以， 则命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可； （2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值， 进行最小值求和即可； （3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明. 【小问1详解】 是数表， 【小问2详解】 由题可知. 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $