精品解析：江苏南通大学附属中学2026-2027学年高三第一学期阶段测试数学试题

南通大学附属中学2026-2027学年度高三第一学期阶段测试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线可以表示圆 B. 当时，曲线为双曲线，渐近线为 C. 若表示双曲线，则或 D. 当时，该曲线的焦点坐标为和 10. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 13. 已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为___________. 14. 对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”：______；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 17. 如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，. （1）求证：平面平面ABC； （2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值. 18. 著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知，对于函数，，设集合，，记. （1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； （2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； （3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通大学附属中学2026-2027学年度高三第一学期阶段测试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案. 【详解】， 又，所以，得. 故选：C. 2. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误； 对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误； 对于选项C，因为，所以， 可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到， 所以，选项C正确； 对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误； 3. 已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由代入即可求. 【详解】设抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知， 因为点到轴的距离为9，即， 所以， 解得. 故选：D 4. 设是一个三次函数，为其导函数.图中所示的是的图像的一部分.则的极大值与极小值分别是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】易知，有三个零点 因为为二次函数，所以，它有两个零点 由图像易知，当时，； 当时，，故是极小值 类似地可知，是极大值. 故答案为C 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， ，故有. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆台上下底半径与母线求出高，由判定圆台存在内切球，内切球半径等于圆台高的一半；再分别套用公式算出圆台全面积与内切球表面积，最后作比化简得到结果． 【详解】 由题可知圆台的高为， 该圆台的内切球半径为， 所以圆台的表面积为， 球的表面积为， 所以此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为． 7. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线可以表示圆 B. 当时，曲线为双曲线，渐近线为 C. 若表示双曲线，则或 D. 当时，该曲线的焦点坐标为和 【答案】AC 【解析】 【分析】根据曲线方程的特点及圆、椭圆、双曲线的标准方程一一分析选项可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若，则椭圆的焦点在轴上，坐标为和，D不正确. 故选：AC. 10. 如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法逐一判断各选项即可. 【详解】因为平面，底面是正方形， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系. 设，则、、、、， 因为、分别是、的中点，所以、. 设，其中，则，，. 选项A：，所以，故A正确； 选项B：，.设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 若平面，则，解得. 此时为中点，且不在平面内，所以存在点使平面，故B正确； 选项C：若直线与所成的角为， . 整理得，因为，方程无解，故C错误； 选项D：易知平面的一个法向量为，且， 则点到平面的距离为， 平面的一个法向量为，则点到平面的距离为， 故点到平面和平面的距离之和为，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解则可对A判断求解；令，可得即可对B判断求解；利用赋值法令，可得，然后再化简可得即可对C判断求解；由题可求得，再结合周期为，即可对D求解判断. 【详解】A：令，，可得，解得， 所以，故A正确； B：由题可得函数的定义域为，令，则得， 即，所以为偶函数，故B错误； C：令，即，即①， 将替换可得②， +②得，则， 所以，故C正确； D：令，则，因，所以； 由，所以当时，， 当时，，当时，， 令，，则，解得，所以， 所以在一个周期内， 因，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得这条渐近线的斜率； 双曲线的渐近线为； ，，得； ，，； . 13. 已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案. 【详解】把直线化为 ，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值. 故答案为：. 14. 对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”：______；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】根据给定定义列出方程求解；求出函数图象关于原点对称的函数图象解析式，再建立方程，利用导数求出方程有解的范围即可. 【详解】设函数的一对“局部对称点”为， 则，即，解得或， 所以函数的一对“局部对称点”为和； 根据局部奇函数的定义，需存在使得， 不妨设，则，可得方程，即， 问题转化为方程在上有解. 令，求导得 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，， 当，且时，， ，当时，，当时， 因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为：和； 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． 【小问2详解】 因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） 若时，在上单调递减； 若时，在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 【解析】 【分析】（1）求导可得的解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证. 【小问1详解】 由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，AB是外接圆的直径，是边长为2的等边三角形，E，F分别是PC，PB的中点，，. （1）求证：平面平面ABC； （2）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：由题意知， 则，所以. 又，所以，所以， 又，所以平面PAC， 又平面ABC，所以平面平面ABC. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用直径所对圆周角为直角和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用线面角的向量法进行求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以C为坐标原点，CA，CB在直线分别为x轴，y轴， 过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面AEF的法向量为，则 则，取，得. 设直线AB与平面AEF所成的角为，则， 所以直线AB与平面AEF所成角的正弦值为. 18. 著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为， 设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得，设， 由韦达定理得， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可； （2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅱ） ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号. 所以面积的最大值为. 19. 已知，对于函数，，设集合，，记. （1）若函数，请判断中元素的个数，并说明理由； （2）设，函数，若，求的值以及曲线在点处的切线方程； （3）设，函数，若对于任意的，皆有成立，求的取值范围. 【答案】（1）有2个元素，理由如下： 由. 当时，； 当时，. 所以有2个元素. （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求的解即可得到答案. （2）根据两曲线的位置关系，先求的值，再结合导数的几何意义求曲线的切线方程. （3）先把问题转化成恒成立，再求函数的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 将代入圆， 由相切. 此时，， 又，所以，所以， 切线方程，即. 【小问3详解】 对于任意的，皆有成立，即函数的图象与圆系：无交点，所以恒成立. 因为，，所以，. 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且. 由. 当时，设，则，所以在上单调递增， 所以. 即当时，； 又，所以. 所以. 设，，则， 所以在上单调递增，所以. 由. 综上，实数的取值范围为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $