精品解析：重庆市江北中学校2026-2027学年度高一上学期10月月考数学试题

重庆市江北中学校高2029届高一秋季学期10月月考数学试题 考试时长：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】为，. 故选：C. 3. 已知集合 ，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义及真子集的定义即可得解. 【详解】， 则， 所以的真子集个数为. 故选：A. 4. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可. 【详解】因为“，”是真命题，所以，解得. 故选：C. 5. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或， 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合交集和补集的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】，或， ， 又图中阴影部分所表示的集合是， 而，或， 即，或， 故选：D 6. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题得关于的不等式对一切实数恒成立，再对分两种情况讨论得解. 【详解】由题得关于的不等式对一切实数恒成立， 当时，恒成立，所以时满足已知； 当时，由题得且， 解之得. 综上所述，. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 已知，一元二次方程有一个正根，一个负根，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为一元二次方程有一个正根，一个负根， 所以， 因此由一定能推出，由不一定能推出， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 8. 已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对实数的取值进行分类讨论，再由解集中不含有整数列出不等式可得结果. 【详解】不等式可分解为， 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 当，不等式为，此时解集为空集，符合题意； 当时，不等式解集为，依题意可得，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．） 9. 设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A. M∩N＝{0，1} B. ＝{4} C. M∪N＝{0，1，3，4} D. ＝{4} 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集合运算的定义判断. 【详解】由题意知M∩N＝{0，1}，A正确；＝{2，4}，B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，C正确；)＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 的定义域为 D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：利用同一函数的定义进行判断；B：利用复合函数定义域的求解方法，列不等式计算；C：结合根式、分式有意义的限制条件，求解函数定义域； D：利用一元二次不等式的解集与二次函数及对应方程根的关系，借助韦达定理得到系数关系，代入求解新的一元二次不等式. 【详解】选项A：同一函数要求定义域、对应法则均相同.的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，A错误； 选项B：的定义域为，则需满足，解不等式得，即的定义域为，B正确； 选项C：有意义需满足且，等价于且，解得定义域为，C错误； 选项D：因为不等式的解集为，所以二次函数开口向下，即， 且该不等式对应的一元二次方程的两个实根为，. 由韦达定理得，解得. 代入不等式，得. 因为，两边同时除以，得，解得，D正确. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用基本不等式得，再解不等式即可；对B，根据基本不等式，易知等号不成立；对C，由代入式子中，再运用基本不等式处理即可；对D，由，即可得解. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号， ，解得，即，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以，又恒成立， 所以，即的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 13. 已知，求的取值范围______________. 【答案】 【解析】 【分析】先将表示成关于与的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设，则， 解得，则， 因， 则， 故， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 【答案】25 【解析】 【分析】由代入消去，整理得，设，则得，利用基本不等式即可求得. 【详解】由可得，代入中，可得， 设，则， 于是， 因，当且仅当时，等号成立， 即时，取得最小值25. 故答案为：25. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于通过代入消元后，需要将所得的分式的分子进行换元处理，即可利用基本不等式求其最值. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 【答案】（1），或 （2）或， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，可得集合B，根据交集、并集运算的概念，即可得答案. （2）先求得，，根据并集、交集运算的概念，即可得答案. 【小问1详解】 因为，解得或， 所以集合或， 所以，或 【小问2详解】 由（1）得，又或， 所以或， 16. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）由必要不充分条件可知集合是集合的真子集，再分、讨论，即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】（1）7； （2）①36；②. 【解析】 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题. 当且仅当，即时取等号； 【小问2详解】 ①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）①； ②存在实数，对任意时，有成立， 由①知，， 由，则， 即对任意成立， 则，解得， 则的取值范围为. （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）①由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； ②转化题目为对任意成立，结合一次函数的性质求解即可； （2）转化问题为解不等式，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 ①由题意，为方程的根，且， 则，解得； ②略 【小问2详解】 由，则， 即， 当时，不等式为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式为， 令，得或， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. （1）若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； （3）已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】（1）不具有性质 （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.   再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【小问1详解】 集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市江北中学校高2029届高一秋季学期10月月考数学试题 考试时长：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合 ，则的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 4. 若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设全集U为实数集，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. ，或， 6. 如果关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，一元二次方程有一个正根，一个负根，则p是q的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的按比例得分，有选错的得0分．） 9. 设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A. M∩N＝{0，1} B. ＝{4} C. M∪N＝{0，1，3，4} D. ＝{4} 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一函数 B. 已知函数的定义域为，则的定义域为 C. 的定义域为 D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则_________． 13. 已知，求的取值范围______________. 14. 已知均为正实数，若，则的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，. （1）求，； （2）求，. 16. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 解答下列各题. （1）若，求的最小值. （2）若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是， ①求的值， ②是否存在实数，对任意时，有成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）求关于的不等式的解集． 19. 已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. （1）若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； （2）若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； （3）已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $