精品解析：重庆市渝东九校2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试题

高2029届10月质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，，则a的取值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 3. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知关于x的方程有两个正根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，x，y同号且满足恒成立，则a的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每小题四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得6分，部分选对得部分分，不选或错选得0分） 9. 下列表述正确的（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数a，b满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ） A. ，此方程必有两个不同的实根 B. ，使得此方程只有一个实根 C. 若方程有两个不同的根，且满足，则或 D. 若时该方程有两个不同的根，则或且 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 不等式的解集是_____________． 13. 设集合，则A的真子集的个数为_____________． 14. 已知，关于x的不等式的解集中有且仅有3个连续整数，则这3个连续整数之和为____________，a的取值范围为_____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，. （1）若，求，； （2）若，求a的取值范围． 16. 求解下列两问： （1）已知：，，求的取值范围； （2）已知：，，比较M与N的大小． 17. 已知二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为，，且该二次函数的最小值是． （1）求二次函数的解析式； （2）解关于x不等式． 18. 如图，某花园要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100的十字形地域. 计划在正方形上建一座花坛，造价为2200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为220元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/. 设总造价为M（单位：元），长为x（单位：m)． （1）求M关于x的函数表达式； （2）求当x为何值时，M最小？并求出这个最小值． 19. 已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. （1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； （2）若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2029届10月质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2. 已知集合，，，则a的取值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】由， 可得或， 当时，不符合元素互异性，舍去， 当时，解得或（舍去） 时，，，符合， 故a的取值为0. 3. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，若，，满足，但，错误. 选项B，若，，满足，但，错误. 选项C，若，则，错误. 选项D，因为，所以由可知，正确. 4. 已知关于x的方程有两个正根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】关于x的方程有两个正根， 可得：，解得：， 故a的取值范围是. 5. 已知，则是成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是成立的充要条件， 故选：C 6. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为 则且关于的方程的根为，， 则，解之得， 故等价于， 等价于，等价于， 解得， 故的解集为. 7. 已知全集，集合，，，则阴影部分对应的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由韦恩图可知，图中阴影部分表示的集合为， 由题可得，， 故，或， 故. 8. 已知，x，y同号且满足恒成立，则a的最小值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出左边式子的最小值，令最小值大于等于 36，解不等式得到的范围，进而求出的最小值. 【详解】, 由, 同号，可知 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号， 故， 不等式 恒成立，只需， 即， 因为 ，故 ，因此 ，解得 ，即 ， 所以 的最小值为 . 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分，每小题四个选项中，每题有两项或两项以上的正确答案，选对得6分，部分选对得部分分，不选或错选得0分） 9. 下列表述正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为是含元素0的集合，故A不正确，B正确， 不含任何元素，故C错误， 是任何集合的子集，故D正确. 10. 已知正数a，b满足，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式、的替换、举反例等方法逐一判断. 【详解】由题知，，且. 选项A：，当时等号成立，A正确. 选项B：， ，当时等号成立，B正确. 选项C：， 当即时等号成立，C正确. 选项D：当时，，D错误. 11. 已知关于x的方程，下列说法正确的是（ ） A. ，此方程必有两个不同的实根 B. ，使得此方程只有一个实根 C. 若方程有两个不同的根，且满足，则或 D. 若时该方程有两个不同的根，则或且 【答案】BCD 【解析】 【分析】令即可判断AB选项；根据韦达定理可算出C选项；解方程，再根据题意列不等式即可求出D选项. 【详解】关于的方程，当时，方程为，有唯一根，故A错误，B正确； 当时，， 令方程的根为，根据韦达定理可知， 则， 若，则，解得或，故C正确； 方程，可知两个根分别为， 要让两个不同根都落在内， 只需且， 当时，得； 当时，得. 因此或且​，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 不等式的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，，令，， ，，，不等式的解集为. 13. 设集合，则A的真子集的个数为_____________． 【答案】7 【解析】 【详解】， 故A的真子集的个数为 14. 已知，关于x的不等式的解集中有且仅有3个连续整数，则这3个连续整数之和为____________，a的取值范围为_____________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【详解】由题意，，即， 设不等式的解集为，则，， 则， 因为不等式解集中有且仅有3个整数，所以， 即，解得， 所以的对称轴满足， 而，即离对称轴距离最近的整数只有3， 所以三个整数解为2，3，4， 所以，解得． 故答案为：9，． 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，. （1）若，求，； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合和，再由补集与交集的定义求解. （2）由转化为，将集合的不等式因式分解，根据两根与的大小关系对分类讨论，结合子集定义列不等式组求解. 【小问1详解】 当时，，解得，故. 由，解得，故. 所以；或. 【小问2详解】 由，得. ， 当时，解集中的元素均非负数(或)，而且，故，不合题意； 当时，，解得，即. 要使，需满足，解得. 综上所述，. 16. 求解下列两问： （1）已知：，，求的取值范围； （2）已知：，，比较M与N的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将目标式表示为已知不等式左侧整式的线性组合，再利用不等式的同向可加性求解； （2）利用作差法，将进行配方，判断其与的大小关系，进而比较与的大小. 【小问1详解】 设. 由对应系数相等得，解得. 所以. 由，得； 由，得. 两式相加得，即. 【小问2详解】 ， 即，故. 17. 已知二次函数的图像与x轴的两个交点坐标分别为，，且该二次函数的最小值是． （1）求二次函数的解析式； （2）解关于x不等式． 【答案】（1） （2）当时，，当时，，当时， 【解析】 【小问1详解】 由题意得设，为其对称轴， ，，此时，，， 【小问2详解】 由（1）可知，即， 当时，， 当时，， 当时，. 18. 如图，某花园要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100的十字形地域. 计划在正方形上建一座花坛，造价为2200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为220元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/. 设总造价为M（单位：元），长为x（单位：m)． （1）求M关于x的函数表达式； （2）求当x为何值时，M最小？并求出这个最小值． 【答案】（1）M （2）m，元. 【解析】 【小问1详解】 设，则 则 【小问2详解】 由（1）知 元，此时，m， 故当m时，M最小，最小值为元. 19. 已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质. （1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由； （2）若时， ①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由； ②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值. 【答案】（1）集合不具有性质，集合具有性质，理由如下： 当时，， 不具有性质， 因为对于集合中任意不大于的正整数，都可以找到该集合中两个元素，使得成立， 具有性质. 取，对于该集合中任意一对元素，，都有， 所以集合不具有性质，集合具有性质. （2）①集合具有性质，理由如下： 若时，则， 如果集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 因为，任取，其中， 因为，则，从而，即，所以， 由集合S具有性质，知存在不大于的正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 在集合中任取一对元素，， 其中，则由， 所以集合一定具有性质. ②，证明如下： 设集合有个元素，由①知：若集合S具有性质P，那么集合一定具有性质， 任给，，则和中必有一个不超过， 因此集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，由集合S具有性质P， 知存在正整数，使得对于中的任意一对元素都有， 于是一定有，又， 即，则集合中至少有个元素不在集合中， 因此，所以，解得：， 当时，取， 对于集合中任意两个元素都有，即集合S具有性质P，而此时集合中有个元素， 因此集合S中元素个数的最大值是. 【解析】 【分析】（1）当时，，由题中所给新定义直接判断即可. （2）若时，则，①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可证明；②设集合有个元素，由①知： 任给，，则和中必有一个不超过，所以集合和集合中必有一个集合中至少存在一半的元素不超过，然后利用性质的定义进行分析可得，即解不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是理解一个具有性质的含义，以及集合之间包含关系的判断，要求有较强的抽象思维能力，以及对数的分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $