专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（9类必考点）讲义-2026-2027学年高一上学期数学必考点分类人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点导航】 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对不等式因式分解得，解得， 因为，可得， 又，所以. 2．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）（多选）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】ACD 【分析】首先求出已知一元二次不等式的解集，根据“充分不必要条件”等价于“对应的集合是原解集的真子集”这一原则，分别判断各选项对应的集合是否为的真子集即可. 【详解】因不等式，则其解集为或， 依题意，要使选项对应的范围是集合的真子集. 对于A：因是集合 的真子集，故A正确； 对于B：或显然不是集合的真子集，故B错误； 对于C：因是集合 的真子集，故C正确； 对于D：或是集合 的真子集，故D正确. 3．（26-27高一·全国·课后作业）求不等式3x2+5x－2>0的解集. 【答案】或 【分析】不等式左边因式分解后，把不等式转化为两个一元一次不等式组求解． 【详解】将原不等式可以转化为：（x+2）(3x-1)>0 即：或 解得或 所以不等式的解集：或． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，解题方法是降次，利用因式分解转化为一元一次不等式组． 4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）因式分解后，结合一元二次方程的根可得解集； （2）化二次项系数为正，然后由判别式判断可得答案． 【详解】（1）原不等式化为，解得或， 所以原不等式解集为或； （2）原不等式化为，又， 所以原不等式无解，解集为． 5．（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）等价于， 解得， 所以不等式的解集为； （2）对于， 因为， 所以不等式的解集为； （3）等价于 解得或， 所以不等式的解集或. 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）关于的不等式有3个不同的整数解，则满足条件的所有整数的乘积为（    ） A．-20 B．-15 C．-12 D．-8 【答案】B 【分析】先对二次不等式因式分解，分类讨论两根大小确定解集范围，结合整数解个数约束确定整数的取值，最终计算符合条件的的乘积. 【详解】关于的不等式等价于， 当即时，，不等式解集为空集，不符合题意； 当 即时，不等式解集为，若存在3个不同的整数解，则3个不同的整数解为，那么，此时的整数为； 当即时，不等式解集为，若存在3个不同的整数解，则3个不同的整数解为，那么，此时的整数为； 综上所述，满足条件的所有整数的乘积为. 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，； 当，即时，，则，只含一个元素，符合题意； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得； 综上所述，. 3．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，解该不等式； (2)当时，解该不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为，则， 解得，则不等式的解集为. （2）原不等式可化为， 对应的一元二次方程的根为． ①当时，，不等式的解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，，不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 4．（26-27高一上·陕西汉中·阶段检测）解关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时解集为，当时解集为 (2)当时解集为；当时解集为； 当时解集为或；当时解集为； 当时解集为或. 【分析】（1）看判别式从而确定的范围，进而求解； （2）根据根的情况以及参数的分类讨论，进而求解。 【详解】（1）对应方程的判别式， 当时，，不等式解集为； 当时，，方程两根为，， 则不等式解集为 （2）原不等式因式分解可得， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，解得或，即解集为或； 当时，解得或，即解集为或.. 综上所述：当时解集为； 当时解集为； 当时解集为或； 当时解集为； 当时解集为或. 5．（26-27高一上·广西南宁·阶段检测）求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【详解】（1）不等式化简得，， 所以该不等式解集为. （2）不等式化简得，， 所以该不等式解集为. （3）不等式化简得，， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）因式分解可得，解出即可得； （2）去掉绝对值后可得，解出即可得. 【详解】（1）， 故或， 即该不等式解集为或； （2）由可得，解得， 即该不等式解集为. 2．（25-26高一上·四川雅安·阶段检测）解不等式： (1)； (2). (3)； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用十字相乘法因式分解，然后可解； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得. 【详解】（1）由得，解得， 所以不等式的解集为. （2），解得， 所以，原不等式的解集为. （3）或， 解得或， 所以，原不等式的解集为. 3．（26-27高一上·陕西咸阳·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1） 化简解一元二次不等式； （2）先判断分母的正负情况再化简解一元二次不等式； （3）对进行讨论，确定绝对值里面符号，化简变形即可求解. 【详解】（1）由题意知可变形为， 解不等式可得或； （2）由题意知， 则可变行为， 化简，可变行为， 解之可得； （3）当时，原不等式可化简为， 解之可得， 当时，原不等式可化简为， 解之可得， 综上可得或. 4．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2). (3) 【详解】（1）因为 ， 故 无解，解集为 . （2）原不等式化为 ，即 ， 即， 解得, 故原不等式的解集为 （3）不等式等价于下列不等式组的并集： 或或， 解不等式组，得，即； 解不等式组，得，得； 解不等式组，得，得 综上，不等式的解集为. 5．（2.2.3一元二次不等式的解法—课后作业（提升版））解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或且 【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解法求解即可. （3）利用平方法解绝对值不等式即可得解. （4）利用分式不等式，结合完全平方公式即可得解； 【详解】（1）由，得， ，得， 所以原不等式的解集为. （2）由，得， 得恒成立， 所以原不等式的解集为. （3）因为， 所以，即， 所以，即，解得或， 故原不等式的解集为或. （4）因为， 所以，即，则， 所以，解得或且， 故原不等式的解集为或且. 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次不等式的解集为，则关于x的一元二次方程的两个根为，即，，，利用基本不等式求解. 【详解】关于x的一元二次不等式的解集为， 则关于x的一元二次方程的两个根为， 即，，， 则， 当且仅当即时等号成立，故的最小值是. 2．（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知不等式的解集中有且仅有一个整数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】构造开口向上的二次函数，由韦达定理判断两根异号，确定区间内唯一整数只能是，因此只需保证在解集内、不在解集内，列出的不等式组求解，再排除的情况，得到参数取值范围． 【详解】设，抛物线开口向上， 对于方程，判别式恒成立， 方程有两个不等实根、， 当时，不等式的解集为，区间内无整数，舍去， 当时，，所以，， 又，说明， 由题知内仅有一个整数，这个整数只能是， 所以必须保证，整数和均不在内， 所以， 结合，解得， 综上，的取值范围为． 4．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用韦达定理得出的参数之间的关系，再由分式不等式解法即可求得结果. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为可知： 1和3是方程的两根，且； 由韦达定理可得，即， 则不等式即为， 所以，可得，即， 所以，解得或； 因此不等式的解集为. 5．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）二次函数． (1)若不等式的解集为，求a，b的值 (2)若函数的图象经过点，且a，b为正数，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由解集的两端点是方程的两根，把二次式写成因式分解的形式后比较系数； （2）由图象过点得，再用"1的代换"把展开成，最后用基本不等式求最小值并验证等号. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以、是方程的两个根，且二次项系数为， 所以，比较系数得，. （2）由图象经过点得，即. 由常值代换得 ， 当且仅当，即时取等号， 此时结合得、，满足， 所以的最小值为. 【考点5：二次函数的图象分析与判断】 1．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）（多选）如图所示的是一元二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线，则以下选项中正确的为（    ）    A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由二次函数的图像与性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】结合图像，当时，，即，故A错误； 因为图像与轴交于两点，所以，即，故B正确； 因为抛物线过点，对称轴为直线，则抛物线与轴另一个交点为，于是有，故C正确； 对称轴为，即，所以， 根据抛物线开口向下，知，则，即，故D正确． 故选：BCD． 2．（26-27高一上·甘肃·阶段检测）（多选）如图，一元二次函数的图象与轴交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由图象开口方向确定 的符号；由图象与 轴交于 、 两点，设 展开，把 、 都用 表示，再逐项判断四个结论. 【详解】设 ，则 ，. 因为图象开口向上，所以 . 对于 A，，判断错误. 对于 B，，判断正确. 对于 C，，判断正确. 对于 D，，判断正确. 3．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 4．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）（多选）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：其中结论正确的是（   ）    A． B．方程的两个根是 C． D．当时，的取值范围是 【答案】AB 【分析】选项A，由图得到二次函数与轴有两个交点，故，即可判断A的正误；选项B，根据二次函数对称轴为，结合二次函数与轴的一个交点为，即可求出另一个交点的坐标，即可判断B的正误；选项C，利用选项B的结果，根据韦达定理得，从而有，即可判断C；选项D，根据图象判断，结合选项C，可求出的取值范围，据此对D进行判断. 【详解】对于选项A，由图知，抛物线与有两个交点， 则，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，则另一个交点为， 所以程的两个根是，故选项B正确， 对于选项C，由选项B知，得到，所以，故选项C错误， 对于选项D，由选项C知，由图易知， 由，即，得到，解得，所以选项D错误， 故选：AB. 5．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ） A． B．关于的不等式的解集为 C．当且仅当时，取最小值 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】A结合图形得出的正负性即可；B根据即可；C利用基本不等式求解最小值；D分别求出两个函数的最值，即可得出，求解即可. 【详解】由图可知，，，故， 则，故A错误； 即，即， 得，故B正确； ， 等号成立时，即，故C正确； 当时有最小值， 当时有最小值， 故当两者最小值相同时，得或， 因为，所以，故D正确. 【考点6：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，且是方程的两根， 所以，即， 则可化为，得或， 故不等式的解集为. 2．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，再结合韦达定理得到，，，从而代入目标不等式，化简即可求解． 【详解】由不等式的解集是， 则和是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以将不等式化为， 整理得，解得， 所以不等式的解集为． 3．（26-27高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．关于的不等式的解集为 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次方程根的关系，结合韦达定理求出的关系，逐一判断各选项即可. 【详解】已知关于的不等式的解集为，可得二次函数开口向下， 且方程的两根为、， 因此有， 解得，对各选项逐一判断： A选项：由推导可知，故A错误； B选项：代入，得，因，故，故B错误； C选项：将代入不等式，得，由于，得， 整理为，即，解得，所以解集为，故C正确； D选项：代入，得，故D错误 4．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】D 【分析】根据不等式的解集为即可判断的正负；根据韦达定理得出和关于的关系式，把代入得到，根据关于的不等式的解集为且即可判断的正负；将和关于的关系式代入，再根据的正负即可求出的解集；将和关于的关系式代入，消去，解一元二次不等式即可得出答案. 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和3，且，故A错误； 对于B，把代入得， 因为关于的不等式的解集为且， 所以，故B错误； 对于C，由韦达定理得，解得， 把代入得， 因为，解得，故C错误； 对于D，把代入，得， 因为，所以，即， 解得解集为，故D正确. 5．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据仅有两个整数的条件列出不等式可判断D． 【详解】对于A，由于不等式的解集为或， 则，且和是方程的两个根，故A正确， 由韦达定理得，解得， 对于B，可变为，故， 解得或，故B错误， 对于C，， 当，即时等号成立，所以的最大值为，故C正确， 对于D，不等式可化为，即， 因为，所以， 显然在上述范围中，要使原不等式只有两个整数解， 则只可能是或， 若整数解为，则，此时，故不止这两个整数解，矛盾， 因此整数解为，则，解得，故D正确． 【考点7：一元二次不等式恒成立问题】 1．（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将不等式解集为空转化为对应式子恒小于0，分两种情况，结合一次、二次函数性质求解后取并集. 【详解】由题意得，不等式解集为， 等价于对任意，恒成立，分两类讨论： 当时，恒成立，符合题意； 当时，是真命题， 则，解得， 综上，的取值范围为. 2．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到命题“，”为真命题的充要条件，然后利用充分不必要条件集合间的关系确定选项. 【详解】“，”为真命题的充要条件为 情况一：； 情况二：当时，恒成立， 所以命题“，”为真命题的充分必要条件为. 因为要求充分不必要条件，设充分不必要条件所对应的集合为， 所以真包含于，只有A满足条件 3．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，函数值无上界，必然存在使得，不符合题意； 当时，二次函数开口向下，要使不等式对一切实数恒成立，需二次函数图象恒在轴下方，与轴无交点， 即判别， 解得. 综上，实数的取值范围为. 4．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 【答案】 【分析】最高次项系数含参数，必须先讨论 ； 时要求开口向下且判别式小于 0． 【详解】①当 时， 恒成立，符合； ②当 时，需 且 ， 解得 ． 综上所述，． 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设m为实数，.若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________； 【答案】 【详解】若，则的解集不为，不符合题意； 若，则，得， 故m的取值范围是 【考点8：一元二次不等式有解问题】 1．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，关于的不等式有解， 即不等式有解，令，则， ， 当时，y的最小值为， ． 2．（26-27高一上·湖南岳阳·阶段检测）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，命题“”是真命题， 根据二次函数的性质，可得， 即，解得或， 所以实数的取值范围是或. 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，且，若恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值为，再由恒成立，转化为不等式恒成立，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，实数，，且， 可得， 当且仅当时，即等号成立，即的最小值为， 又由恒成立，即恒成立， 即恒成立，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，一元二次不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力. 4．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】采用分离参数法，将参数与变量分离，把“不等式有解”转化为求最值问题. 【详解】由，，得， 因为恒成立，所以， 当时，关于的不等式有解，即， 又因为，， 且，当且仅当，即时取等号， 则，所以，即实数的取值范围是. 5．（26-27高一上·黑龙江双鸭山·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，根据均值不等式以及“1”的妙用求的最大值，再解一元二次不等式得出结果. 【详解】依题意可得，存在，使不等式有解， 设， ， 当时，即时取等号. 所以. 所以，即，解得或. 实数k的取值范围为. 故答案为：. 【考点9：一元二次不等式的实际应用】 1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 3．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. (1)若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】(1). (2)将水池的池底设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为 元. 【详解】（1）设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得 ，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以， 所以水池的宽的最大值为. （2）设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的池底设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为 元. 4．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． (2)在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 【答案】(1) (2)当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元 【详解】（1）甲队整体报价为：元 要求，即，化简得 由于，则不等式化为， 解得，， 所以前面墙体长的取值范围为． （2）甲队整体报价： 当且仅当，即，解得（满足）时等号成立， 所以当仓库前面墙体的长度为6米时，甲工程队的整体报价最低，为57600元． 5．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． (1)当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； (2)求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 【答案】(1) (2)绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 【分析】（1）根据已知得出人行道的占地面积为，进而得出不等式，求解不等式，即可得出答案； （2）根据基本不等式求解面积，即可得出的最小值. 【详解】（1）设矩形绿地的南北侧边长为米，则东西侧边长为米． 由题意可知，包含人行道的大矩形南北侧边长为米，东西侧边长为米． 设人行道的占地面积为S，则：， ，， 由题意得，即：，， ，，， 所以不等式的解集为，即的取值范围为． （2）由（1）知，因为， 由基本不等式得：， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以，， 由于，所以绿地的长对应东西侧边长，宽对应南北侧边长， 绿地的长约为米、宽约为米时，才能使人行道的占地面积最小． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点导航】 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）（多选）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 3．（26-27高一·全国·课后作业）求不等式3x2+5x－2>0的解集. 4．（26-27高一上·河南郑州·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2) 5．（26-27高一上·陕西渭南·阶段检测）求下列不等式的解集： (1)； (2) (3)； 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）关于的不等式有3个不同的整数解，则满足条件的所有整数的乘积为（    ） A．-20 B．-15 C．-12 D．-8 2．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，解该不等式； (2)当时，解该不等式． 4．（26-27高一上·陕西汉中·阶段检测）解关于的不等式： (1)； (2)． 5．（26-27高一上·广西南宁·阶段检测）求下列不等式的解集 (1)； (2)； (3). 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2). 2．（25-26高一上·四川雅安·阶段检测）解不等式： (1)； (2). (3)； 3．（26-27高一上·陕西咸阳·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 4．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 5．（2.2.3一元二次不等式的解法—课后作业（提升版））解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4). 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·广东湛江·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知不等式的解集中有且仅有一个整数，则的取值范围为________． 4．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 5．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）二次函数． (1)若不等式的解集为，求a，b的值 (2)若函数的图象经过点，且a，b为正数，求的最小值． 【考点5：二次函数的图象分析与判断】 1．（26-27高一上·河南驻马店·阶段检测）（多选）如图所示的是一元二次函数图象的一部分，图象过点，且对称轴为直线，则以下选项中正确的为（    ）    A． B． C． D． 2．（26-27高一上·甘肃·阶段检测）（多选）如图，一元二次函数的图象与轴交于，两点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 4．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）（多选）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：其中结论正确的是（   ）    A． B．方程的两个根是 C． D．当时，的取值范围是 5．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（   ） A． B．关于的不等式的解集为 C．当且仅当时，取最小值 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的取值范围为 【考点6：一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系】 1．（26-27高一上·北京朝阳·阶段检测）关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．关于的不等式的解集为 D． 4．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D．关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【考点7：一元二次不等式恒成立问题】 1．（26-27高一上·福建漳州·阶段检测）若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）若不等式 对一切实数都成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 4．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）若对于一切 ，都有 成立，则实数 的取值范围为_______． 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设m为实数，.若不等式的解集为，则m的取值范围是_______________； 【考点8：一元二次不等式有解问题】 1．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·湖南岳阳·阶段检测）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A．或 B． C． D．或 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，且，若恒成立，则的取值范围是______. 4．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是__________． 5．（26-27高一上·黑龙江双鸭山·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且存在，使不等式有解，则实数k的取值范围为______． 【考点9：一元二次不等式的实际应用】 1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 3．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为3200 m3，深为2 m. (1)若水池的长比宽至少多60 m，求水池的宽的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池的长和宽能使总造价最低? 最低总造价是多少? 4．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）某物流公司为了扩大业务量，计划建造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．仓库的背面靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)设仓库前面墙体的长为米（），甲工程队的整体报价为元．若该物流公司计划投入的建造资金不超过60000元，求前面墙体长的取值范围． (2)在（1）的条件下，当仓库前面墙体的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？ 5．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）某小区计划建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地外南北两侧人行道宽，东西两侧人行道宽，如图所示．设矩形绿地的南北侧边长为米． (1)当人行道的占地面积不大于时，求的取值范围； (2)求绿地的长、宽分别为多少米时，才能使人行道的占地面积最小．（结果精确到）． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $