第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义围绕“一元二次函数、方程和不等式”构建知识体系，通过知识框架图梳理核心内容，用对比表格呈现不等式性质、基本不等式等要点，清晰展现概念、性质与题型的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“情境化与分层化”练习设计，如典例1-2加油站加油方案比较，培养应用意识与数学思维，典例2-3结合基本不等式求最值，强化运算能力与推理意识。题型覆盖选择、填空、解答，帮助不同学生巩固方法，教师可据此实施精准复习教学。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 一元二次函数、方程和不等式 知识归纳与题型总结 题型01 等式性质与不等式性质 一、不等关系： 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 二、比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 a＜b 或 3、 等式的基本关系 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 4、 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【典例1-1】“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若，取，，则不满足，所以充分性不成立； 必要性：若，则，，， 原不等式两边同时乘得，，则必要性成立，所以仅C选项正确. 【典例1-2】甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 【典例1-3】（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质推导即可. 【详解】由可得，故A对. 由可得，故B错. 由，可得，，所以，故C错. 由，可得，，所以， 即，所以，故D对. 题型02 基本不等式 一、两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 二、基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【典例2-1】（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】ABD 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 【典例2-2】（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项 A：由，当且仅当时取等号.A 正确. 选项 B：由基本不等式，当且仅当时取等号.B 正确. 选项 C：因，故，不可能有.C 错误. 选项 D：由，将所求式乘：， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，结合，得. 因此.D 正确. 【典例2-3】（多选）若正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 二、分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 三、一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 四、三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【典例3-1】（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【答案】ABD 【详解】不等式即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确； 不等式即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 由关于x的不等式 的解集为知， 方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得， 故，即，即， 即的解集是，D正确. 【典例3-2】已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）设，，求出未知系数；（2）利用换元法和基本不等式求解. 【详解】（1）设，，， 因为，故， 所以， 故，解得， 故二次函数为； （2）当时，， 令， 故， 由基本不等式得，当且仅当，即，时，等号成立， 故．  即最大值为1 【典例3-3】已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，即，解得. 所以不等式的解集为. 2．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 3．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 4．“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 5．已知，，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，将变形成，直接用基本不等式即可.对于B，将完全平方，再利用基本不等式即可.对于C，根据基本不等式可直接求解.对于D，常数代换法，根据选项中的分母，先将题干的式子凑成分母的形式，再将两个多项式相乘，利用基本不等式即可求范围. 【详解】对于A，根据基本不等式， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，A选项正确. 对于B，. 根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为，，所以，B选项正确. 对于C，根据基本不等式，，当且仅当，即时等号成立， 所以，C选项错误. 对于D，因为， 所以，即， . 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，D选项正确. 6．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】正实数，满足， 则有 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 7．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即， 而， 则， 即，得，所以. 二、多选题 9．（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，，，则的最小值9 B．若，，，则的最大值9 C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，B，C，D，分别用均值不等式依次判断，注意取等条件即可. 【详解】对于A，因为，，则， 当且仅当时取等号，A错误. 对于B，因为，，则， 当且仅当时取等号，B正确. 对于C，，则， 当且仅当即时取等号，C正确. 对于D，， 当且仅当即时取等号，D正确. 10．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 11．（多选）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用变量大小顺序，结合放缩系数，构造不等式求范围，判断选项A, B；结合，采用增量换元统一变量判断选项C，D． 【详解】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 三、填空题 12．已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】/ 【分析】利用均值不等式可求实数的最大值. 【详解】因为，故，故， 而，故， 故，当且仅当时等号成立， 故，故实数的最大值是. 13．已知，，则的取值范围为_____________________． 【答案】 【分析】先将变形为，再分别求出和的范围，利用同向不等式的可加性，即可得到的取值范围. 【详解】将原式变形： . 因为，所以 ①； 又，所以， 所以 ②； 将①和②相加可得， ，即， 故的取值范围为. 14．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 【答案】 【分析】由正数条件得，作比值换元，将约束条件与目标不等式全部转化为关于的不等式，恒成立问题转化为求式子最小值，借助换元和基本不等式求解. 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则， 要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 四、解答题 15．设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】因为：，使得不等式成立为真命题， 当时，不等式化为，为假命题，不符合题意； 当时，函数开口向上， 则，使得不等式成立，为真命题，符合题意； 当时，需满足，解得. 综上所述，的取值范围为. 16．求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 17．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于，且小于. 【详解】设花卉带的宽度应为，则， 即，化简得 解得，又因为，所以， 所以花卉带的宽度应大于等于，且小于. 18．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 【答案】 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围． 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，． 19．若，求证：． 【答案】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式推理得证. 【详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第2章 一元二次函数、方程和不等式 知识归纳与题型总结 题型01 等式性质与不等式性质 一、不等关系： 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 二、比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 a＜b 或 3、 等式的基本关系 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 4、 不等式的性质 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【典例1-1】“”是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（     ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【典例1-3】（多选）若，，则下列不等式中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型02 基本不等式 一、两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 二、基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【典例2-1】（多选）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【典例2-2】（多选）若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（多选）若正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 二、分式、高次、绝对值不等式的解法 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 三、一元二次不等式恒成立、存在性问题 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 四、三个“二次”的关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 注：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆>0 ∆=0 ∆<0 y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 注：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【典例3-1】（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【典例3-2】已知是二次函数，且满足． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值； 【典例3-3】已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 4．“，”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 7．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．，设，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）下列结论正确的是（ ） A．若，，，则的最小值9 B．若，，，则的最大值9 C．若，则 D． 10．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A． B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（多选）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 12．已知不等式对任意满足的实数恒成立，则实数的最大值是______． 13．已知，，则的取值范围为_____________________． 14．设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 四、解答题 15．设，命题：，使得不等式成立，若为真命题，求的取值范围. 16．求关于的不等式的解集 17．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 18．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，求这批台灯的销售价格的取值范围？ 19．若，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $