湖南长沙市长沙县第一中学2026-2027学年高一上学期第一次素质检测数学试题

长沙县一中2026年高一第一次素质检测数学试卷 时量：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每题5分，共40分） 1．设集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D．3．设，，则有（ ） A． B． C． D． 4．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．若不等式对一切都成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题（每小题有多个正确答案，部分选对得分段分，选错误答案得0分，每题6分，共18分） 9．下列命题中，正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知，，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 11．已知定义在的函数同时满足以下四个条件：①函数的对称轴是直线，②，当时，都有，③，④的图象是连续不断的．则下列选项成立的有（ ） A． B．，，使得 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．函数的定义域是______． 13．已知关于x的方程有两个实根，，满足，则实数______． 14．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（写出必要的解答步骤，共77分） 15．（满分13分）设集合，； （1）用列举法表示集合A； （2）若是的充分条件，求实数m的值； 16．（满分15分）若二次函数的图象的对称轴为，，最小值为-1，且． （1）求的解析式； （2）若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围． 17．（满分15分）（1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 18．（满分17分）某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车x万台（）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为（单位：亿元），（其中，利润=销售收入-总成本） （1）写出年利润（亿元）关于年产量x（万台）的函数解析式； （2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润． 19．（满分17分）设函数的定义域为M，且区间．若函数在区间I上单调递增，则称函数在区间I上具有性质A；若函数在区间I上单调递增，则称函数在区间I上具有性质B． （1）试证明：“函数在区间I上具有性质B”是“函数在区间I上单调递增”的充分不必要条件； （2）若函数在区间上具有性质A，求实数k的取值范围； （3）若函数在区间上同时具有性质A和性质B，求实数a的取值范围． 参考答案 1．D【详解】由题意知，，则，解得，此时； 又，所以，此时有，，所以，故选：D 2．D【详解】由，解得：，所以或．选D． 3．A【详解】，∴． 故选：A． 4．B【详解】由， 所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B 5．A【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是． 6．C【详解】对于A选项，函数的定义域为R，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，A选项中的两个函数不相等； 对于B选项，对于函数，有，解得， 对于函数，有，解得或， 函数的定义域为，函数的定义域为， 这两个函数的定义域不相同，B选项中的两个函数不相等； 对于C选项，函数、的定义域均为R， 且，C选项中的两个函数相等； 对于D选项，函数的定义域为，的定义域为R， 这两个函数的定义域不相同，D选项中的两个函数不相等．故选：C． 7．C【详解】解：因为不等式对一切等价于恒成立，设，易得在为减函数， 所以，即，即，即a的取值范围是，故选C． 8．A【详解】 当且仅当，取等号，即，结合， 可得时，取得最小值5．故选：A． 9．BD【详解】对于A，取，，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，，，满足，，但是，C错误； 对于D，由，，得，D正确．故选：BD 10．ACD【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确；B选项，，故，故B错误． C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ，其中，，，故，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，D正确．故选：ACD 11．ABD【详解】①函数的对称轴是直线，可得函数的对称轴是直线，即函数为偶函数；②，当时，都有， 当时，，即函数在上单调递减， 再根据①其为偶函数，函数在上单调递增； A．，A正确； B．函数在上单调递减，在上单调递增，的图象是连续不断的，故函数在时取最小值，不妨设最小值为M，即，，使得，B正确； C．不等式，则，解得或，C错误； D．不等式，得或，解得或，故解集为，D正确；故选：ABD． 12． 【详解】由题意，函数有意义， 则，解得且，所以函数的定义域为． 13．【详解】方程中，，而，是该方程的两个实根， 于是，，由，得， 即，解得，所以实数．故答案为：±2 14． 【详解】试题分析：∵，∴， 又∵在上单调递增，∴，即实数a的取值范围是． 15．【详解】（1）集合，即； （2）由已知，， 若是的充分条件，则， 情形一：若，则，故满足题意； 情形二：若，则，故满足题意； 情形三：若且，则存在，但，这与矛盾，故此情形不符合题意； 综上所述，满足题意的m的值为1或2 16．【详解】（1）由为二次函数，可设 ∵图象的对称轴为，最小值为-1，且， ∴，∴，∴． （2）∵，即在上有解， 又∵当时，有最大值12，∴， ∴实数m的取值范围为． 17．【详解】（1）由，，则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为； （2）由，则，则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为6； （3）由，，则， 当且仅当、，即时，等号成立，即的最小值为． 18．【详解】（1）当时，销售收入为亿元（每台售价20万元，x万台）， 总成本为固定研发成本20亿元加上其它成本亿元， 根据利润=销售收入-总成本，可， 当时，销售收入为亿元，总成本为亿元， 则， 所以． （2）当时，，图象开口向下，对称轴为， 但，所以在这个区间上函数单调递增，所以亿元， 当时，根据基本不等式有， 当且仅当，即取等号， 所以亿元，当且仅当，即取等号， 因为，所以当年产量为6万台时，该企业获利最大，最大年利润为39亿元． 19．【详解】（1）证明：若函数在区间I上具有性质B， 对任意且，由条件可知 变形可得，即， 所以在区间I上单调递增，即充分性成立； 若函数位区间I上单调递增，如在任意区间I上单调递增， 但，故不符合性质B，即必要性不成立； 所以“在区间I上具有性质B”是“在区间I上单调递增”的充分不必要条件． （2）若具有性质A，即可知在区间上单调递增． 对任意，且， 则， 因为，则， 可得恒成立，则，所以实数k的取值范围是． （3）由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增； 由条件可知，具有性质B，即在区间上单调递增； 由对勾函数可知：的增区间为，， 的增区间为，， 要使得条件成立，需要或，解得或， 所以实数a的取值范围是或． 学科网（北京）股份有限公司 $