精品解析：重庆市长寿中学校2026-2027学年高一上学期第一次段考数学试题

高2026级第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，根据交集的定义求即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数解析式代入即可求解. 【详解】因为 所以， 故. 故选：B. 5. 设，则“”是“”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】把，转化为，把转化为，由推不出，，得“”是“”的必要而不充分条件． 【详解】，， ，， 推不出， “”是“”的必要而不充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案. 【详解】为真命题， 故需满足，解得， 故使命题p为假命题的实数的取值范围为. 故选：C 7. 已知函数，则函数f（x）的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先令，从中求得，从而求得，这里需要注意自变量的取值范围，最后求得结果. 【详解】令，可得， 从而有，其中， 所以有，故选D. 【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有换元法求函数解析式，在求解的过程中，需要注意的是要时刻关注函数的定义域. 8. 若关于的不等式解集为，则下列结论错误的是（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，为方程的两根，由韦达定理得到两根之和，两根之积，得到不等式，求出解集；B选项，配方求出最小值；CD选项，变形得到，由基本不等式求出最大值，得到答案. 【详解】A选项，由题意得为方程的两根， 故， ，解得，A正确； B选项，， 当且仅当时，等号成立，B正确； CD选项，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为，C正确，D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系，结合集合的基本性质逐一判断即可选出不正确的关系. 【详解】选项A：集合中含有元素，因此关系正确. 选项B：空集是任意集合的子集，因此关系正确. 选项C：自然数集包含0和1，因此中所有元素都属于，关系正确. 选项D：是有理数集，是无理数，不属于有理数集，因此关系错误. 10. 下列函数中，是同一函数的有（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即A错误； 对于B，两函数的定义域都是，对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为，故不是同一函数，即C错误； 对于D，两函数的定义域都是，因， 则两函数的对应法则相同，值域也相同，故是同一函数，即D正确. 故选：BD. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最大值1 B. 若，则有最小值2 C. 若正实数满足，则的最小值是9 D. 若正实数满足，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB由基本不等式即可判断，对于C，由条件得到，由乘1法可判断，对于D，由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，，当且仅当时，取等号，正确； 对于B，，， 当即时，取等号，结合，故等号不成立，错误； 对于C，由得， 所以， 当且仅当取等号，正确； 对于D，由得：， 所以.， 当且仅当时取等号，正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为， 则在中，，解得， 令，解得， 综上所述定义域为. 13. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，然后转化为，求解即可. 【详解】，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若正实数满足，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由且知：， ∴当且仅当时等号成立，即时等号成立. 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）已知．试求的取值范围； （2）比较代数式与的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质可得； （2）作差配方可得. 【详解】（1）由可知， 所以， 所以； （2）， 所以． 16. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集和并集的概念可求出结果； （2）由得，再分类讨论是否为空集，根据子集关系列式可求出结果. 【小问1详解】 ∵，， ∴当时，则，所以， 或，又， 所以或. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴当时，则有，即，满足题意； 当时，则有，即， 可得，解得：. 综上所述，的范围为或. 17. 为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产（万件），需另投入可变成本万元，在年产量不超过8万件时，（万元）；在年产量超过8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为10万件时利润最大，最大利润为15万元． 【解析】 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，则． 故． 【小问2详解】 当时，， 则当时，取得最大值，最大值为； 当时，，当且仅当，即时，等号成立． 故，即有， 当且仅当时，取得最大值，最大值为． 故当年产量为10万件时，利润最大，最大利润为15万元． 18. 已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求和的值； （2）若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （i）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解. （2）（i）按与的大小分类求解不等式；（ii）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【小问1详解】 依题意，是方程的两根，且，则， 所以. 【小问2详解】 （i）当时，， 当时，解得；当时，解得；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （ii）恒成立， 而，则，即，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意把代入式中可求值； （2）将代入方程可求解； （3）由已知条件可得，利用基本不等式求出的最小值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 原方程可化为： 即： ，即，解得：． 【小问3详解】 ，当且仅当，即时，等号成立， 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. 或 D. 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 5. 设，则“”是“”的　　 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数f（x）的表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式解集为，则下列结论错误的是（ ） A. 的解集为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，是同一函数的有（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则有最大值1 B. 若，则有最小值2 C. 若正实数满足，则的最小值是9 D. 若正实数满足，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 13. 不等式的解集为______. 14. 若正实数满足，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （1）已知．试求的取值范围； （2）比较代数式与的大小． 16. 设集合， （1）若时，求， （2）若，求的取值范围. 17. 为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产（万件），需另投入可变成本万元，在年产量不超过8万件时，（万元）；在年产量超过8万件时，（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量万件的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）； （2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知二次函数. （1）若不等式的解集为，求和的值； （2）若. （i）解关于的不等式； （ii）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 例如，已知，求证：． 证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征． 请根据上述材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解方程； （3）若正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $