第二章有理数及其运算——有理数的加减法讲义 2026-2027学年人教版数学七年级上册

【有理数的加减法】讲义（学生版） 班级：____________　　姓名：____________　　日期：____________ 一、课堂目标 · 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能熟练、准确地进行有理数的加法运算； · 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，会把减法转化为加法，体会化归思想； · 能运用加法的交换律与结合律进行简便运算，提升运算能力与数感； · 能借助数轴理解加减运算的过程，在探究中体会数形结合思想，感受数学与生活的联系。 二、知识讲解 1. 有理数的加法法则 【知识点】用数轴探究加法 规定数轴上向右为正、向左为负。用一个小球在数轴上的左右运动来研究加法，把两次运动的结果用算式表示出来： · 先向右移动 个单位，再向右移动 个单位：，两次一共向右移动 个单位； · 先向左移动 个单位，再向左移动 个单位：，两次一共向左移动 个单位； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后落在原点右边 个单位处； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后落在原点左边 个单位处； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后回到原点； · 先向左移动 个单位，第二次原地不动：，最后落在原点左边 个单位处。 小球两次移动与加法结果的对应关系：同号同向相加、异号反向相加、互为相反数回到原点 【知识点】有理数的加法法则 · 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； · 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； · 互为相反数的两个数相加得 ；一个数同 相加，仍得这个数。 【知识点】运算步骤（一看、二定、三算） · 一看——看两个加数的符号是否相同； · 二定——确定和的符号（同号取同号，异号取绝对值较大者的符号）； · 三算——求和的绝对值（同号把绝对值相加，异号用较大绝对值减较小绝对值）。 例题 1　1. 计算：（1）；　（2）。 1. 计算：。 1. 若 ，，求 的值。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  练习 1　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）；　（4）。 1. 计算：。 1. 若两个有理数的和是 ，则这两个数互为 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  2. 有理数的减法法则 【知识点】减法的意义与减法法则 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算。 例如某城市某天的气温为 ℃ ℃，这一天的温差是多少？用算式表示为 ，也就是减去 相当于加上 ，于是有： 即减去一个数，等于加上这个数的相反数。加减法运算的本质，就是把所有的减法都转化为加法，再用加法法则计算。 气温从零下 3 ℃ 升到 4 ℃，温差等于 4 减负 3，即减去一个数等于加上这个数的相反数 例题 2　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）；　（4）。 1. 计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  练习 2　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）。 1. 比 小 的数是 ______。 1. 判断：减去一个负数，等于加上这个数的相反数。（　） 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  3. 加减混合运算与加法运算律 【知识点】加法运算律 · 加法交换律：； · 加法结合律：。 【知识点】加减混合运算的步骤与简算技巧 · 第一步：把减法统一成加法（减法化加法）； · 第二步：运用加法运算律，把互为相反数的、符号相同的、分母相同（或能通分）的、能凑整的数先相加； · 第三步：按加法法则计算结果。 用交换律与结合律把能凑整的数、互为相反数的数重新分组，使计算化繁为简 例题 3　1. 计算：。 1. 简便计算：。 1. 计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  练习 3　1. 简便计算：。 1. 计算：。 1. 计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  三、方法总结 【知识点】常用结论 · 加减混合运算的统一策略：先把所有减法化加法，写成「和式」后再按加法法则计算； · 简便运算的四个先后：互为相反数的先加、符号相同的先加、分母相同（或能通分）的先加、能凑整的先加； · 数轴上表示 、 的两点间的距离为 ，它正是把减法结果取了绝对值，所以「右数减左数」求距离与有理数减法是一回事。 【易错】 ① 「减去一个数」等于加上这个数的相反数，符号只变一次即可，但括号里负数的相反数变号后容易写错（如把 写成 ）。 ② 异号两数相加时，符号跟绝对值大的数走、绝对值相减；「符号跟谁走」和「谁减谁」顺序颠倒，是本课最常见的失分点。 ③ 省略加号的和式（如 ）中，每一项都要带它自己的符号参与运算，把 当成 是最典型的错误。 四、小测验 1.　计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  2.　计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  3.　 与 的和是 ______，它们的差的绝对值是 ______。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  4.　简便计算：。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  5.　某地一天的最高气温为 ℃，最低气温为 ℃，求这一天的温差。 　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  　　  学科网（北京）股份有限公司 $ 【有理数的加减法】讲义（教师版） 一、课堂目标 · 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能熟练、准确地进行有理数的加法运算； · 理解有理数减法的意义，掌握有理数减法法则，会把减法转化为加法，体会化归思想； · 能运用加法的交换律与结合律进行简便运算，提升运算能力与数感； · 能借助数轴理解加减运算的过程，在探究中体会数形结合思想，感受数学与生活的联系。 二、知识讲解 1. 有理数的加法法则 【知识点】用数轴探究加法 规定数轴上向右为正、向左为负。用一个小球在数轴上的左右运动来研究加法，把两次运动的结果用算式表示出来： · 先向右移动 个单位，再向右移动 个单位：，两次一共向右移动 个单位； · 先向左移动 个单位，再向左移动 个单位：，两次一共向左移动 个单位； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后落在原点右边 个单位处； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后落在原点左边 个单位处； · 先向右移动 个单位，再向左移动 个单位：，最后回到原点； · 先向左移动 个单位，第二次原地不动：，最后落在原点左边 个单位处。 小球两次移动与加法结果的对应关系：同号同向相加、异号反向相加、互为相反数回到原点 【知识点】有理数的加法法则 · 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； · 异号两数相加（绝对值不相等）：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； · 互为相反数的两个数相加得 ；一个数同 相加，仍得这个数。 【知识点】运算步骤（一看、二定、三算） · 一看——看两个加数的符号是否相同； · 二定——确定和的符号（同号取同号，异号取绝对值较大者的符号）； · 三算——求和的绝对值（同号把绝对值相加，异号用较大绝对值减较小绝对值）。 例题 1　1. 计算：（1）；　（2）。 1. 计算：。 1. 若 ，，求 的值。 【答案】1.（1）；　（2）。　2. （即 ）。　3. 、、、。 【解析】1.（1）同号两数相加，取负号，绝对值相加：； （2）异号两数相加，因为 ，所以取负号，用较大绝对值减较小绝对值：。 1. 同号两数相加：。 1. 由 得 ，由 得 。两两组合：，，，。 练习 1　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）；　（4）。 1. 计算：。 1. 若两个有理数的和是 ，则这两个数互为 ______。 【答案】1.（1）；　（2）；　（3）；　（4）。　2. 。　3. 相反数。 【解析】1.（1）同号相加：； （2）异号相加，，取负号：； （3）互为相反数相加得 ； （4）一个数同 相加仍得这个数，故为 。 1. 原式 。 1. 由加法法则，互为相反数的两个数相加得 ，故这两个数互为相反数。 2. 有理数的减法法则 【知识点】减法的意义与减法法则 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算叫做减法，减法是加法的逆运算。 例如某城市某天的气温为 ℃ ℃，这一天的温差是多少？用算式表示为 ，也就是减去 相当于加上 ，于是有： 即减去一个数，等于加上这个数的相反数。加减法运算的本质，就是把所有的减法都转化为加法，再用加法法则计算。 气温从零下 3 ℃ 升到 4 ℃，温差等于 4 减负 3，即减去一个数等于加上这个数的相反数 例题 2　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）；　（4）。 1. 计算：。 【答案】1.（1）；　（2）；　（3）；　（4）。　2. 。 【解析】1.（1）； （2）； （3）； （4）。 1. 原式 。 练习 2　1. 计算：（1）；　（2）；　（3）。 1. 比 小 的数是 ______。 1. 判断：减去一个负数，等于加上这个数的相反数。（　） 【答案】1.（1）；　（2）；　（3）。　2. 。　3. 错误。 【解析】1.（1）； （2）； （3）。 1. 由 ，故比 小 的数是 。 1. 减去一个负数，等于加上这个负数的相反数，即「减负等于加正」，所以这句话本身说法不完整、按教材表述应为「减去一个数等于加上这个数的相反数」，判为错误。 3. 加减混合运算与加法运算律 【知识点】加法运算律 · 加法交换律：； · 加法结合律：。 【知识点】加减混合运算的步骤与简算技巧 · 第一步：把减法统一成加法（减法化加法）； · 第二步：运用加法运算律，把互为相反数的、符号相同的、分母相同（或能通分）的、能凑整的数先相加； · 第三步：按加法法则计算结果。 用交换律与结合律把能凑整的数、互为相反数的数重新分组，使计算化繁为简 例题 3　1. 计算：。 1. 简便计算：。 1. 计算：。 【答案】1. 。　2. 。　3. 。 【解析】1. 减法化加法：原式 。 1. 凑整与相反数结合：原式 。 1. 原式 。 练习 3　1. 简便计算：。 1. 计算：。 1. 计算：。 【答案】1. 。　2. 。　3. 。 【解析】1. 互为相反数先结合：原式 。 1. 减法化加法：原式 。 1. 分母相同先结合：原式 。 三、方法总结 【知识点】常用结论 · 加减混合运算的统一策略：先把所有减法化加法，写成「和式」后再按加法法则计算； · 简便运算的四个先后：互为相反数的先加、符号相同的先加、分母相同（或能通分）的先加、能凑整的先加； · 数轴上表示 、 的两点间的距离为 ，它正是把减法结果取了绝对值，所以「右数减左数」求距离与有理数减法是一回事。 【易错】 ① 「减去一个数」等于加上这个数的相反数，符号只变一次即可，但括号里负数的相反数变号后容易写错（如把 写成 ）。 ② 异号两数相加时，符号跟绝对值大的数走、绝对值相减；「符号跟谁走」和「谁减谁」顺序颠倒，是本课最常见的失分点。 ③ 省略加号的和式（如 ）中，每一项都要带它自己的符号参与运算，把 当成 是最典型的错误。 四、小测验 1.　计算：。 【答案】。 【解析】减法化加法：原式 。 2.　计算：。 【答案】。 【解析】先化简绝对值：原式 。 3.　 与 的和是 ______，它们的差的绝对值是 ______。 【答案】；。 【解析】和：； 差：，其绝对值为 。 4.　简便计算：。 【答案】。 【解析】凑整结合：原式 。 5.　某地一天的最高气温为 ℃，最低气温为 ℃，求这一天的温差。 【答案】℃。 【解析】温差 最高气温 最低气温 （℃）。 学科网（北京）股份有限公司 $