第二章 有理数的运算 单元复习讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第二章《有理数的运算》五星版单元复习讲义 人教版（2024）七年级数学上册 · 第二章 有理数的运算（约14课时） 对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》· 基础巩固—能力提升—综合应用三层进阶 含：综合与实践项目（家庭用电量统计与阶梯电价、进位制探究）· 月考加油站 · 上好复习课 · AI辅助学习 · 完整答案解析 项目 内容 单元范围 2.1 有理数的加法与减法；2.2 有理数的乘法与除法；2.3 有理数的乘方（含科学记数法、近似数）；数学活动；综合与实践（进位制认识与探究） 核心素养 运算能力、数感、推理能力、应用意识（用运算律简化计算，用运算解决实际问题） 本单元不涉及 代数式、整式、一元一次方程（分别在第3、4、5章学习）；绝对值等概念已在第一章掌握 课标对接 “数与代数”领域核心内容，运算能力是初中数学最重要的基础能力之一；综合与实践按项目式学习设计（见第四部分） 单元知识导航 本单元的知识主线：学会加、减、乘、除四种基本运算 → 学习乘方 → 用运算律简化计算 → 用科学记数法与近似数规范表达“大数”和“近似数” → 综合与实践（进位制）。全单元围绕“符号与运算顺序”展开，是初中阶段运算能力的第一课。 图1　第二章《有理数的运算》知识网络 减法可以转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数），除法可以转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数），这样四种运算就“统一”为两种运算，计算时要注意符号： 图2　有理数加法：(-3)＋5＝2 图3　有理数减法：3－5＝3＋(-5)＝-2 知识清单速记 概念 要点 易错提醒 加法法则 同号相加取相同的符号，把绝对值相加；异号相加取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数和为0 先定符号，再算绝对值 减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数 a－b＝a＋(-b)，不要漏掉“变号” 乘法法则 两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 多个因数相乘，看负因数的个数定符号 除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；0不能作除数 两数相除，同号得正、异号得负 乘方 n个相同因数a相乘记作aⁿ；正数的任何次幂为正，负数的奇次幂为负、偶次幂为正 -2²与(-2)²的底数不同，结果不同 运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的 同级运算从左到右依次进行 运算律 加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律 用运算律可把“凑整”“约分”的先算 科学记数法 把数写成a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数 a必须满足1≤|a|＜10 近似数 用四舍五入法取近似值；精确到哪一位看它后面那一位 如3.14159精确到0.01是3.14 图4　乘方的意义：2⁴＝2×2×2×2 一、基础巩固（概念过关） A1（选择·★）计算：(-3)＋5＝（　） A．2　B．-2　C．8　D．-8 A2（选择·★）计算：(-6)－(-4)＝（　） A．-10　B．-2　C．2　D．10 A3（填空·★）计算：(-5)×(-4)＝＿＿；(-6)×3＝＿＿；(-12)÷(-3)＝＿＿。 A4（填空·★）计算：-2²＝＿＿；(-2)²＝＿＿；(-1)的2026次方＝＿＿。 A5（填空·★）用科学记数法表示：5 600 000＝＿＿；130 000 000＝＿＿。 图5　科学记数法（A5） A6（选择·★）下列计算正确的是（　） A．(-2)²＝-4　B．-2²＝4　C．-(-2)²＝-4　D．(-2)³＝8 A7（填空·★）计算：(-3)＋(-5)＝＿＿；3＋(-7)＝＿＿；(-2)＋2＝＿＿。 A8（填空·★）计算：(-8)÷4＝＿＿；(-15)÷(-5)＝＿＿；0÷(-7)＝＿＿。 A9（填空·★）3.14159精确到0.01是＿＿；精确到千分位是＿＿。 图6　近似数与精确度（A9） A10（填空·★）计算：(-6)÷3×(-2)＝＿＿；(-2)＋3×(-4)＝＿＿。 二、能力提升（方法进阶） B1（简便·★★）用运算律简便计算：(-7)×125×(-8)。 B2（混合·★★）计算：(-2)³＋(-3)×[(-4)²－13]。 B3（应用·★★）某地一天内气温变化：早晨气温-3℃，中午比早晨升高9℃，晚上又比中午降低7℃，求晚上的气温。 B4（多解·★★）若|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求a＋b的值。 B5（规律·★★）观察：1＝1²，1＋3＝2²，1＋3＋5＝3²，1＋3＋5＋7＝4²，……，则1＋3＋5＋…＋19＝＿＿。 B6（探究·★★）若(-2)ⁿ＝64，则n＝＿＿；若(-2)ⁿ＝-32，则n＝＿＿。 三、综合应用（素养落地） C1（跨学科·财经·★★）小明的银行账户原有余额1000元，8月份发生5笔收支（存入记为正、取出记为负，单位：元）：+500，-300，+200，-150，-260。 (1) 8月份共存入多少元？共取出多少元？ (2) 8月末账户余额是多少元？ C2（跨学科·地理·★★）某山山脚气温是5℃，山顶气温是-7℃，山脚与山顶的温差是多少℃？ C3（应用·统计·★★★）某公司一周7天的盈亏情况（盈利记为正、亏损记为负，单位：万元）为：+2.5，-1.2，+3.1，-0.8，+1.4，-2.6，+0.9。求这一周公司的总盈亏。 C4（跨学科·信息科技·★★★）光在真空中的速度约为3×10⁸米/秒，地球到月球的平均距离约为3.84×10⁸米，光从月球到达地球大约需要多少秒？ 综合与实践 · 项目式学习（一）家庭用电量统计与阶梯电价 【项目名称】家庭用电量统计与阶梯电价 任务1　数据收集：连续记录家庭7天的用电量（单位：度，即千瓦时），并用有理数表示“与前一天相比的增减量”（例如“比前一天多用3度记作+3”）。 任务2　统计计算：用有理数运算求这7天的用电总量与平均每天用电量。 任务3　阶梯电价：某地居民用电实行阶梯电价——第一档：每月0～260度，每度0.56元；第二档：261～600度，每度0.61元；第三档：600度以上，每度0.86元。若某月用电320度，计算该月电费。 任务4　成果分享：制作一张家庭用电统计表，写一段3～5句的分析与节约用电建议，在班级交流。 课标对接：“综合与实践”领域重在解决真实问题，本项目融合财经（电费计算）、科学（用电量统计）与信息科技（数据整理，可借助AI工具辅助制表计算）。 图7　阶梯电价分段示意（综合与实践） 评价维度 分值 评价标准 数据记录规范 20 记录完整、单位明确、正负数使用正确 运算与计算 30 总量、日均、电费计算正确，运算律运用合理 图表呈现 20 统计表或图形清晰，数据标注准确 分析与建议 20 结论有数据支撑，节约建议具体可行 合作与反思 10 小组分工明确，有过程记录与反思 综合与实践 · 专题探究（二）进位制认识 教材综合与实践“进位制的认识与探究”：生活中常用十进制（满十进一），电子计算机内部使用二进制（满二进一）。把二进制数按“位权”展开，就能化成十进制数。 图8　二进制数按位权展开（综合与实践） 延伸思考：十进制数13用二进制怎样表示？方法是用2反复去除：13÷2＝6余1，6÷2＝3余0，3÷2＝1余1，1÷2＝0余1，把余数从下往上写，得1101，即13＝1101（二进制）。你还可以继续探究八进制、十六进制的表示方法。 四、月考加油站 （一）本单元复习清单（必会5条） 序号 过关标准 1 会按法则进行有理数的加、减、乘、除运算，能正确确定结果的符号 2 会把减法转化为加法、把除法转化为乘法（0不能作除数） 3 会进行乘方运算，分清-2²与(-2)²的区别，能按正确顺序进行混合运算 4 会用科学记数法表示大数（1≤|a|＜10） 5 会用四舍五入法取近似数，能说出精确到哪一位 （二）月考仿真小测（限时20分钟，满分80分，每题10分） M1（填空·★）(-3)＋(-7)＝＿＿；(-3)－(-7)＝＿＿。 M2（选择·★）计算(-2)×(-3)×(-1)的值为（　） A．6　B．-6　C．2　D．-2 M3（填空·★）(-2)³＝＿＿；(-2)²＝＿＿。 M4（选择·★）计算(-2)×(-5)＋3×(-4)＝（　） A．22　B．-22　C．-2　D．2 M5（填空·★★）用科学记数法表示：3 080 000＝＿＿。 M6（填空·★★）3.14159精确到十分位是＿＿；精确到0.01是＿＿。 M7（计算·★★）计算：(-2)²×3－(-4)÷2。 M8（应用·★★）某冷库温度上午9时是-4℃，中午上升5℃，傍晚又下降3℃，傍晚冷库的温度是多少℃？ 五、上好复习课 · 方法指引 【复习方法】 1．画知识树：合上书本，独立画出本单元知识树（加法、减法、乘法、除法、乘方、科学记数法、近似数、运算顺序），再对照课本补漏。 2．错题归因：把错题分成三类——符号错、顺序错、概念不清；每类找出1道典型题重做并口述理由。 3．一题多解：同一道混合运算题，分别用“常规顺序”和“运算律简化”各做一遍，互相验证，体会运算律的价值。 4．限时训练：月考仿真小测按20分钟限时完成，对照答案自评，记录丢分类型，复习时重点突破。 衔接展望：运算能力是后续所有代数学习的地基——第三章代数式、第四章整式的加减、第五章一元一次方程都要用到本单元的运算规则；到九年级学习二次函数时，代入求值、配方等每一步都离不开“符号与运算顺序”的基本功。 六、AI辅助学习 · 运算错因诊断 本单元错题大多集中在“符号”和“运算顺序”，用AI工具做“错因诊断”时，建议按“四步门诊法”操作： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题和你的过程发给AI工具（如豆包），请它指出错在“符号”还是“顺序” 不发送真实姓名、学校等隐私信息 2 变式 请AI出3道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己算，再对照答案 3 核查 把AI的分析对照课本法则逐条检验（如“异号相加先定符号”） 发现疑点及时请教老师 4 归档 把错因与变式整理进错题本，标注“符号/顺序/概念”类别 AI答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 七、易错辨析（丢分点清零） 易错点 错例与反例 正确理解 符号错误 算成(-3)＋5＝-8 异号相加取绝对值较大的加数的符号：|-5|＞|3|，结果为正，(-3)＋5＝2 -2²与(-2)²混淆 把-2²算成4 -2²表示2²的相反数，等于-4；(-2)²表示两个-2相乘，等于4 0作除数 把(-8)÷0算成0 0不能作除数，任何数除以0都没有意义 运算顺序错 算成(-2)＋3×2＝-10 先乘除后加减：(-2)＋3×2＝-2＋6＝4 科学记数法a的范围 把5600000写成56×10⁵ 科学记数法要求1≤|a|＜10，应写成5.6×10⁶ 近似数看错数位 把3.14159精确到0.01算成3.141 精确到0.01看千分位（第3位小数）5，向百分位进1，得3.14 八、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤与错误原因，帮助自评自纠。 （一）基础巩固 A1　A。解析：异号两数相加，取绝对值较大的加数5的符号（正），用较大的绝对值减去较小的绝对值：5－3＝2，所以(-3)＋5＝2。 A2　B。解析：减法转化为加法：(-6)－(-4)＝(-6)＋4＝-2。 A3　20；-18；4。解析：同号得正：(-5)×(-4)＝20；异号得负：(-6)×3＝-18；同号得正：(-12)÷(-3)＝4。 A4　-4；4；1。解析：-2²＝-(2×2)＝-4；(-2)²＝(-2)×(-2)＝4；(-1)的偶次幂为1，所以(-1)²⁰²⁶＝1。 A5　5.6×10⁶；1.3×10⁸。解析：5 600 000的小数点向左移动6位得5.6，所以是5.6×10⁶；130 000 000向左移动8位得1.3，即1.3×10⁸。 A6　C。解析：A错，(-2)²＝4；B错，-2²＝-4；C对，-(-2)²＝-4；D错，(-2)³＝-8。 A7　-8；-4；0。解析：同号相加取负号、绝对值相加：(-3)＋(-5)＝-8；异号相加减：3＋(-7)＝-4；互为相反数的两数和为0。 A8　-2；3；0。解析：(-8)÷4＝-2（异号得负）；(-15)÷(-5)＝3（同号得正）；0除以任何非零数都得0。 A9　3.14；3.142。解析：精确到0.01（百分位）看千分位5，进1得3.14；精确到千分位看万分位5，进1得3.142。 A10　4；-14。解析：(-6)÷3×(-2)＝(-2)×(-2)＝4（同级运算从左到右）；(-2)＋3×(-4)＝-2＋(-12)＝-14（先乘除后加减）。 （二）能力提升 B1　7000。解析：利用乘法交换律、结合律先算“凑整”：125×(-8)＝-1000，(-7)×125×(-8)＝(-7)×(-1000)＝7000。 B2　-17。解析：(-2)³＝-8，(-4)²＝16，(-4)²－13＝3，原式＝-8＋(-3)×3＝-8＋(-9)＝-17。 B3　-1℃。解析：-3＋9＝6（℃），6－7＝-1（℃），即晚上气温是-1℃。 B4　-1或-5。解析：|a|＝3得a＝3或-3，|b|＝2得b＝2或-2；满足a＜b的只有a＝-3：当b＝2时a＋b＝-1；当b＝-2时a＋b＝-5。所以a＋b＝-1或-5。 B5　100。解析：1到19共有10个连续奇数，前n个连续奇数的和等于n²，所以1＋3＋5＋…＋19＝10²＝100。 B6　6；5。解析：2⁶＝64，负数的偶次幂为正，所以(-2)⁶＝64，n＝6；2⁵＝32，负数的奇次幂为负，所以(-2)⁵＝-32，n＝5。 （三）综合应用 C1　(1) 共存入700元，共取出710元。(2) 990元。解析：存入500＋200＝700（元）；取出300＋150＋260＝710（元）；月末余额1000＋700－710＝990（元）。 C2　12℃。解析：温差＝山脚气温－山顶气温＝5－(-7)＝5＋7＝12（℃）。 C3　盈利3.3万元。解析：2.5－1.2＋3.1－0.8＋1.4－2.6＋0.9＝(2.5＋3.1＋1.4＋0.9)－(1.2＋0.8＋2.6)＝7.9－4.6＝3.3（万元）。 C4　1.28秒。解析：时间＝距离÷速度，3.84×10⁸÷(3×10⁸)＝(3.84÷3)×(10⁸÷10⁸)＝1.28×1＝1.28（秒）。 （四）月考仿真小测 M1　-10；4。解析：(-3)＋(-7)＝-10；(-3)－(-7)＝(-3)＋7＝4。 M2　B。解析：三个负因数，积为负：(-2)×(-3)×(-1)＝-(2×3×1)＝-6。 M3　-8；4。解析：(-2)³＝-8（奇次幂为负）；(-2)²＝4（偶次幂为正）。 M4　C。解析：(-2)×(-5)＝10，3×(-4)＝-12，10＋(-12)＝-2。 M5　3.08×10⁶。解析：小数点向左移动6位得3.08，满足1≤3.08＜10，所以是3.08×10⁶。 M6　3.1；3.14。解析：精确到十分位看百分位4，舍去得3.1；精确到0.01看千分位5，进1得3.14。 M7　14。解析：(-2)²×3－(-4)÷2＝4×3－(-2)＝12＋2＝14。 M8　-2℃。解析：-4＋5－3＝-2（℃），即傍晚冷库温度是-2℃。 说明：本讲义题目为原创命制，情境数据（气温、账户收支、电费等）为教学示例数据；对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $