河南周口市沈丘县石槽乡中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年九年级数学第一次月考 考试时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．3x + 2 = 0 B．x + y² = -2 C．x² + 2x = x² - 1 D．x² = 7x 2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式计算正确的是（ ） A． + = B．2 + = 2 C． × = 6 D． ÷ = 2 5．小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为60cm，80cm，则它的面积为（ ） A．1400 cm² B．2400 cm² C．2800 cm² D．4000 cm² 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。若∠AOB = 60°，AB = ，则BC长是（ ） A．2 B．3 C．2 D．4 7．k为实数，则关于x的一元二次方程 x² - (k + 1)x + k = 0 的根的情况是（ ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 8．一元二次方程 2x² - 6x - 5 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ 的值是（ ） A．-3 B．3 C．- D． 9．某商场九月份营业额为20万元，十一月份营业额达到28.8万元，设每月平均增长率为x，则列方程正确的是（ ） A．20(1 + x) = 28.8 B．20(1 + 2x) = 28.8 C．20(1 + x)² = 28.8 D．20 + 20(1 + x) + 20(1 + x)² = 28.8 10．如图1，在矩形ABCD中，E是BD上一定点，点P从B点出发，沿BA、AD两边匀速运动，运动到点D停止，设点P运动的路程为x，PE的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中F、G分别是两段曲线的最低点。下列选项正确的是（ ） A．AD = 8 B．F点坐标为（5，） C．PE的最小值为 D．点M的横坐标为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程 (x - 3)² = 4 的解是____________。 12．已知： = = ，且 a - 2b + 3c = 4，那么 a =____________。 13．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a =____________。 14．已知m是方程 x² - 2x - 1 = 0 的一个根，则代数式 2m² - 4m + 2026 =____________。 15．如图，在矩形ABCD中，AD = 15cm，AB = 28cm，动点P从点A开始沿AB边以3cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动。点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s。当线段PQ的长为17cm时，t的值为____________。 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本题满分10分）计算： （1） - + ； （2）( - 2) × - 6 17．（本题满分10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，F是边BC上一点，EF ∥ CD。求证：四边形ABFE是菱形。 18．（本题满分12分）已知关于x的一元二次方程：x² - (2k + 1)x + k² + k = 0。 （1）求证：无论k取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程其中一个根为2，求k的值。 19．（本题满分12分）某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售192袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到300袋。 （1）求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率。 （2）已知该农产品每袋进价25元，原售价为每袋40元，该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加20袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利3250元？ 20．（本题满分15分）已知△ABC的三边a、b、c，其中a = 4，b、c是关于x的一元二次方程 x² - 10x + m = 0 两个实数根。 （1）若△ABC是以a为腰的等腰三角形，求m的值； （2）若△ABC是以a为底边的等腰三角形，求m的值，并求此时三角形周长。 21．（本题满分16分）如果关于x的一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为"邻根方程"，例如：一元二次方程 x² + x = 0 的两个根是 x₁ = 0，x₂ = -1，则方程 x² + x = 0 是"邻根方程"。 （1）判断方程 x² + 4x - 5 = 0 是否是"邻根方程"，并说明理由； （2）已知关于x的方程 x² - (m - 1)x - m = 0（m是常数）是"邻根方程"，求m的值； （3）若关于x的方程 ax² + bx + 1 = 0（a、b是常数，且a > 0）是"邻根方程"，试求出代数式 2a - b² 的最大值。 答案与详细解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．D 解析：一元二次方程必须满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程。 A是一元一次方程；B含两个未知数；C化简后为2x = -1，是一元一次方程；D即x² - 7x = 0，符合定义。 2．D 解析：四条线段成比例，即两线段的比等于另两线段的比。2:3 = 4:6，故选D。 3．B 解析：最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数。 A： = 2，不是；B：是最简；C：不是；D：不是。 4．D 解析：二次根式加减实质是合并同类二次根式。 A：不是同类，不能合并；B：不是同类，不能合并；C：× = ≠ 6；D：÷ = 2，正确。 5．B 解析：菱形面积等于两条对角线乘积的一半。S = × 60 × 80 = 2400 cm²。 6．B 解析：矩形对角线相等且互相平分，OA = OB。 ∵ ∠AOB = 60°，OA = OB，∴ △AOB是等边三角形，OA = OB = AB = 。 ∴ AC = 2。在Rt△ABC中，BC = = 3。 7．A 解析：Δ = (k+1)² - 4k = (k - 1)² ≥ 0。∴ 必有实根。 8．B 解析：韦达定理，x₁ + x₂ = -b/a = = 3。 9．C 解析：经过两个月增长，九月份20万，十一月份20(1+x)² = 28.8。 10．B 解析：动点问题，结合两段运动分析PE长度变化。F点坐标为（5，）。 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．x₁ = 5，x₂ = 1 解析：直接开平方，x - 3 = ±2，得x₁ = 5，x₂ = 1。 12．a = 解析：设比值为k，a = 2k，b = 5k，c = 6k。代入得10k = 4，k = ，a = 。 13．a = 4 解析：同类二次根式被开方数相同，2a - 1 = 7，a = 4。 14．2028 解析：m是方程根，m² - 2m = 1。2m² - 4m + 2026 = 2 + 2026 = 2028。 15．t = 5或t = 9 解析：建立坐标系，P(3t, 0)，Q(28 - t, 15)。 PQ² = (28 - 4t)² + 225 = 289，(28 - 4t)² = 64，28 - 4t = ±8，t₁ = 5，t₂ = 9。 三、解答题（共75分） 16．（本题满分10分） （1）原式 = 3 - 2 + 4 = 5。 （2）原式 = - 2 - 3 = 3 - 6 - 3 = -6。 17．（本题满分10分）证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD ∥ BC，AB ∥ CD。 ∴ ∠AEB = ∠EBC。∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE = ∠EBC。 ∴ ∠ABE = ∠AEB，∴ AB = AE。 又EF ∥ AB，AE ∥ BF，∴ 四边形ABFE是平行四边形。 又AB = AE，∴ 平行四边形ABFE是菱形。证毕。 18．（本题满分12分） （1）证明：Δ = (2k+1)² - 4(k² + k) = 1 > 0。∴ 总有两个不相等实根。 （2）解：x = 2代入得k² - 3k + 2 = 0，k = 1或k = 2。 19．（本题满分12分） 解：（1）设月平均增长率为x。192(1 + x)² = 300，(1 + x)² = ，1 + x = ，x = 25%。 （2）设每袋降价y元。(15 - y)(300 + 5y) = 3250，y = 5（舍去负根）。 20．（本题满分15分） 解：由韦达定理，b + c = 10，bc = m。 （1）以a为腰，b = 4，c = 6，m = 24。 （2）以a为底，b = c = 5，m = 25。周长 = 14。 21．（本题满分16分） 解：（1）x² + 4x - 5 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = -5。两根差 = 6 ≠ 1，不是邻根方程。 （2）由韦达定理，(m - 1)² + 4m = 1，m² + 2m = 0，m = 0或m = -2。 （3）由(x₁ - x₂)² = 1，得b² = a² + 4a。 2a - b² = -a² - 2a = -(a + 1)² + 1。∵ a > 0，最大值为0。 学科网（北京）股份有限公司 $