精品解析：河南濮阳市第三中学2026-2027学年九年级上学期数学调研试题

濮阳市第三中学教育集团2026-2027学年第一学期学情调研 初三数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 4. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 5. 已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（ ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A. 开口向上 B. 与y轴交于负半轴 C. 与x轴的一个交点是 D. 在直线的左侧，y随x的增大而减小 6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论： ①；②；③；④（为实数）；⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 12. 某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是______． 14. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为________． 15. 若关于的方程的两实数根互为相反数，则_______． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 18. 碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 19. 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）_____，_____； （2）． 20. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 21. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 22. 如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． （1）求两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 23. 园林绿化的自动灌溉喷头喷出的水流呈抛物线型，出水口高度为米，距出水口水平距离3米时，水流达到最高点3米；建立如图2所示的平面直角坐标系，其中x（米）是水流距喷水头的水平距离，y（米）是水流距地面的高度． （1）求抛物线表达式； （2）若灌溉的有效覆盖距离（水流落地处距喷水头的水平距离）需达到6米以上才能满足园林绿化灌溉需求，求该喷头的实际有效覆盖距离，并判断是否满足需求； （3）在水流轨迹形状和对称轴完全不变的情况下，通过调节喷水头安装高度，可改变有效覆盖距离，若要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上（向下）调节多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市第三中学教育集团2026-2027学年第一学期学情调研 初三数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 2. 若是关于x的方程的一个根，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 3. 根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键． 4. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 5. 已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（ ） x … －1 0 1 2 3 … y … 0 4 6 6 4 … A. 开口向上 B. 与y轴交于负半轴 C. 与x轴的一个交点是 D. 在直线的左侧，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像及性质． 根据表格数据，利用待定系数法求二次函数解析式，再根据二次函数图像及性质分析各选项． 【详解】∵ 由表可知，点、、在函数图象上， 设二次函数解析式为 ， 将代入得 ， 将代入得 ，即 ， 将代入得 ，即 ， 联立方程： ， 解得 ，， ∴ 解析式为 ， 验证点：，符合； 点：，符合． 分析选项： A.∵ ，∴ 开口向下，故选项错误； B.∵ 当 时 ，∴ 与 轴交于正半轴，故选项错误； C.当 时，，∴ 与 轴交于点，故选项正确； D.∵ 对称轴 ，且开口向下，∴ 在 时 随 增大而增大，故选项错误． 故选 C． 6. 现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 7. 已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质；由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴抛物线开口向下． 点到对称轴的距离分别为： ． ∵抛物线的开口向下， ∴距离越大函数值越小． ∴． 故选 C． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论： ①；②；③；④（为实数）；⑤； 其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③，关于的对称点为，， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 综上，正确的个数有4个， 故选：D． 10. 如图1，质量为m的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度（cm）之间的关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时，弹簧的长度为 D. 当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，据此判断即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由图象，可知小球接触弹簧后的速度先增大后减小，故选项A的说法错误； 由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故选项C的说法错误； 由图象，可知当弹簧被压缩的长度时，小球的速度为0，即小球停止运动，此时弹簧被压缩至最短，小球下落至最低点，弹簧的长度为，故选项D的说法正确，选项B的说法错误． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知方程是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义可知，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 得或， 解得或， 由得：， ∴． 12. 某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式及求代数式的值，掌握这些知识点是解题的关键． 由根与系数的关系可得，再将变形，即可求得结果的值． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 14. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线的表达式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数平移的性质是解题的关键． 15. 若关于的方程的两实数根互为相反数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及相反数的定义， 根据已知和根与系数的关系得出，根据相反数的定义得出，求出k值，然后分别计算，即可确定k的值． 【详解】解：设方程的两实数根为，，则， ∵关于的方程的两实数根互为相反数， ∴， 解得， 当时，原方程为， ∵， ∴方程无解， ∴不符合题意，舍去； 当时，原方程为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意 ∴， 故答案为：． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问2详解】 解： 或 解得． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数值时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式并正确求解一元二次方程是解题的关键； （1）由题意得，解不等式即可； （2）根据（1）求得的k的范围可得到k的最大整数值，代入方程中并解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得． 【小问2详解】 解：由，得满足条件的的最大整数值为3， 则原方程化为， ∴， 解得，． 18. 碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【解析】 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 19. 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． （1）_____，_____； （2）． 【答案】（1）5，3 （2）2 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数关系即可得到答案； （2）利用一元二次方程的定义得到，再利用整体代入即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：5，3； 【小问2详解】 解：∵为方程的根， 则即， ∴. 20. 已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： 0 1 2 3 4 5 0 0 m （1）此二次函数图象的顶点坐标为___________，的值为___________； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）结合图象回答：当时，的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） 二次函数的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的画法、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）根据表格数据和抛物线的对称性可得结果； （2）根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象直接写出函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得：顶点坐标为，对称轴为直线，根据抛物线的对称性可知． 故答案为：，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象，当时，的取值范围是． 故答案为：． 21. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 【答案】运动秒时，能使的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 22. 如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． （1）求两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数表达式求得，再将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解； （2）联立，求得点，然后根据即可求解； （3）由（2）得一次函数与二次函数的交点的横坐标为，根据函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为． ∵抛物线经过点、， ， ∴，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：联立， 解得，或， 点的坐标是， ， 轴，， ． 【小问3详解】 解：根据图象，可知当或时，在的上方， 那么当或时，． 23. 园林绿化的自动灌溉喷头喷出的水流呈抛物线型，出水口高度为米，距出水口水平距离3米时，水流达到最高点3米；建立如图2所示的平面直角坐标系，其中x（米）是水流距喷水头的水平距离，y（米）是水流距地面的高度． （1）求抛物线表达式； （2）若灌溉的有效覆盖距离（水流落地处距喷水头的水平距离）需达到6米以上才能满足园林绿化灌溉需求，求该喷头的实际有效覆盖距离，并判断是否满足需求； （3）在水流轨迹形状和对称轴完全不变的情况下，通过调节喷水头安装高度，可改变有效覆盖距离，若要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上（向下）调节多少米？ 【答案】（1） （2）满足需求 （3）要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上调节米 【解析】 【分析】（1）依题意，设抛物线表达式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，解方程，即可求解； （3）设将喷水头向上调节米，根据题意新抛物线表达式为：，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设抛物线表达式为，代入得， ， 解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：（舍去），， ∵， ∴满足需求； 【小问3详解】 解：设将喷水头向上调节米，则新抛物线表达式为：， 代入得，， 解得：， 答：要使有效覆盖距离达到8米，需要将喷水头向上调节米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $