精品解析：上海市张堰第二中学2026-2027学年第一学期第七周九年级数学练习

2026学年第一学期第七周九年级数学练习 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组图形中，有可能不相似的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 各有一个角是的两个等腰三角形； C. 各有一个角是的两个直角三角形； D. 两个等腰直角三角形． 3. 如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 5. 已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 8. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 9. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 10. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 11. 如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 12. 如图，，，则________． 13. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 14. 把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 15. 如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 16. 如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 17. 如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题12分、第22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分．） 18. 已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图像的顶点坐标为______，______； （2）关于的一元二次方程的解为______； （3）关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 19. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 21. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 22. 如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． （1）求证：； （2）连接，如果点是中点，，，求的长． 23. 图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； （2）在图②中，在边上取一点F，； （3）在图③中，在内部取一点G，连结，使． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； （2）若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第七周九年级数学练习 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2. 下列各组图形中，有可能不相似的是（ ） A. 各有一个角是的两个等腰三角形； B. 各有一个角是的两个等腰三角形； C. 各有一个角是的两个直角三角形； D. 两个等腰直角三角形． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，掌握相似图形的定义是解题的关键． 根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断． 【详解】A、各有一个角是的两个等腰三角形，可能是顶角为，也可能底角为，所以对应角不一定相等，所以不一定相似，符合题意； B、各有一个角是的两个等腰三角形，的角一定是顶角，其余两角一定相等，故一定相似，故不符合题意； C、各有一个角是的两个直角三角形，都有一个直角，根据两角对应相等，两三角形相似，故不符合题意; D、两个等腰直角三角形，对应边成比例，对应角相等，符合定义，一定相似，故不符合题意； 故选：A． 3. 如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把，，代入即可求出的长． 【详解】解：直线， ， ，，， ， . 4. 如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴． 【详解】解：由点和都是抛物线上的点，得 、关于对称轴对称， 即对称轴过、的中点， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴． 5. 已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意； B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意； C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意； D、∵，且， ∴，此选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 解得． 8. 若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数为顶点式，结合给出的对称轴，利用顶点式的性质直接推导顶点坐标． 【详解】解：当时，， 因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， 代入得二次函数为， 因此顶点坐标为． 9. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 10. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，，，那么长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】证明，可得，再由，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，是等边三角形，点D、B、C、E在一条直线上，，已知，，则等边的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质及，可得，由三角形外角的性质可得，，进而可得，，推出，，代入数值即可求解． 【详解】解：是等边三角形，设边长为a， ，， ， ， 又，， ，， ， ， ， ， （负值舍去）， 即等边的边长为． 故答案为：． 12. 如图，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可求出，再根据三角形相似的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，相似三角形的性质，理解平行线的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 13. 已知在中，，点D、E分别在边、上，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题关键．由题意可得出．又易证，即可推出，再将代入，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 14. 把二次函数的图像左右平移，使其顶点恰好落在正比例函数的图像上，则平移后的二次函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，左右平移不改变顶点纵坐标，结合顶点在正比例函数上得到平移后顶点坐标，即可写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：， 原二次函数的顶点坐标为， 只进行左右平移， 平移后顶点的纵坐标不变，仍为， 平移后顶点落在上，将代入得， 平移后的顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后的二次函数表达式为． 15. 如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 【答案】② 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 16. 如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 17. 如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，根据，求出，然后证明，设，则，设，则由相似三角形的性质求出，再由勾股定理求解，即可求解比值． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴设，则，设， ∴ 化简得，（舍负） ∴ ∴ 三、解答题（本大题共7题，第18题10分、第19题10分、第20题10分、第21题12分、第22题12分、第23题13分、第24题15分，共82分．） 18. 已知二次函数的图像上的部分点的横、纵坐标、的对应值如表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息，回答下列问题： （1）二次函数图像的顶点坐标为______，______； （2）关于的一元二次方程的解为______； （3）关于的一元二次方程的一个实数根更接近于 ； A．；B．；C．；D． 【答案】（1） ， （2） ， （3） A 【解析】 【分析】（1）由表格中纵坐标相同的两点确定二次函数的对称轴与顶点坐标，用待定系数法求解析式； （2）方程的解即为时对应的值，利用对称性求解即可； （3）求出时对应的值，计算各选项与最近根的距离，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数图像过点和， ∴对称轴为直线； ∵当时，， ∴顶点坐标为； 设二次函数解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴二次函数解析式为， 当时，； 【小问2详解】 解：关于的方程的解，即函数中时对应的值， ∵时，，且函数的对称轴为直线， ∴另一个解为， ∴方程的解为，； 【小问3详解】  解：令，则， 解得， ∵， ∴方程的两个实数根约为和， 计算各选项与最近根的距离： 选项A：， 选项B：最小距离为， 选项C：最小距离为， 选项D：最小距离大于， ∵， ∴一个实数根更接近于． 19. 已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【答案】（1） （2），点的坐标是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的对称性应用，熟练掌握二次函数的顶点式和对称轴性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的顶点式，结合已知点的坐标，求出解析式中的参数，进而确定二次函数的解析式； （2）将点代入二次函数解析式求出对应的值，再根据二次函数的对称轴性质，求出对称点的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 20. 已知二次函数（为常数）的图像与轴有两个交点， （1）求的取值范围； （2）若此二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1，求的值． 【答案】（1）且. （2）或. 【解析】 【分析】（1）由是二次函数解析式可得，再由二次函数的图像与轴有两个交点可得，即可求出的取值范围； （2）设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（），由和根与系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵是二次函数， ∴， ∵二次函数的图像与轴有两个交点， ∴，解得：， 综上：且． 【小问2详解】 解：设二次函数图像与轴的两个交点的横坐标为，（）， ∴，为（）的两个根， ∴，， ∵二次函数图像与轴的两个交点之间的距离为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 21. 如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 22. 如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． （1）求证：； （2）连接，如果点是中点，，，求的长． 【答案】（1）解：， ． ，，，， ． ，， ． （2） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ． 是中点， 设． ，， ， ，， ，， ． ，， ， ， ，即， ． 23. 图①、图②、图③是6×6的正方形网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，在边上取一点D，在边上取一点E，连结，使； （2）在图②中，在边上取一点F，； （3）在图③中，在内部取一点G，连结，使． 【答案】（1） 如图，点即为所作； （2） 如图：连接，点即为所作； （3） 如图：点即为所作； 【解析】 【分析】本题考查作图，应用与设计作图、中位线的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，再由相似比与面积比的关系可知，当时，，再作中点即可； （2）根据面积比，作三等分点，连接就可； （3）根据面积比，作四等分位置即可． 【小问1详解】 ，， ， 当时，则， 故取分别为，中点即可， 【小问2详解】 ， ，即， 【小问3详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线的开口向下，与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）如图，若，且； ① 求抛物线的表达式； ② 抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标； （2）若，点O是线段的中点． 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． 设、的重心分别为、，当与相似时，求的值． 【答案】（1）①；②点D的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）①结合题意求出点，再利用待定系数法求解，即可解题； ②设点D的坐标为，根据建立方程求解，即可解题； （2）结合题意求出，进而得到的面积，延长交于N，利用抛物线的对称性和重心的性质得到，利用与相似，证明，利用相似三角形性质推出，，，进而得到，，得到，进而求出的面积，即可解题． 【小问1详解】 解：①，且； ， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线的表达式为：； ②设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； 【小问2详解】 解：，点O是线段的中点． 抛物线， ， 的面积为， 延长交于N， 直线交抛物线与E、F（点E在点F的左侧），交y轴与点M． ， 、的重心分别为、， ，， ， 与相似， ， ， ， 由抛物线对称性可知， ， ， ， ，，， 即，解得，， ， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，勾股定理，重心的性质，相似三角形性质和面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $