精品解析：上海市金山区金山初级中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题

上海市金山区金山初级中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题 考试时间：100分钟 满分150分 一、选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似多边形的判定，菱形，矩形和等边三角形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形，故D符合题意． ∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故A，B，C不符合题意； 故选：D． 2. 已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定的是（　　） A. |||| B. C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识，根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案，掌握平行向量与向量的模的定义是解题的关键． 【详解】解：、||||只能说明与的模相等，不能判定，故本选项符合题意； 、说明与的方向相同，能判定，故本选项不符合题意； 、，，能判定，故本选项不符合题意； 、，说明与的方向相反，能判定，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 二次函数的图像的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】解： ， ， ∴顶点坐标为， ∴二次函数的图像的顶点位于第三象限， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式． 4. 如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键． 5. 如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A. 千米 B. 千米 C. 1千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， 千米， 千米，千米， 千米， 千米， 故选B． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答． 6. 下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. ， B. ，， C. ，，，， D. ，，，， 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解． 【详解】解∶ A．∵，， ∴与相似， 故选项A不合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴与相似， 故选项B不合题意； C．，， ∴与相似， 故选项C不合题意； D．，但与不一定相等， 与不一定相似， 故选项D符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 二、填空题（本题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键． 8. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：根据面积比等于相似比的平方，得：这两个三角形的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9. 如果函数，那么___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入，求值即可． 【详解】由题意可知． 故答案为：3． 【点睛】本题考查求二次函数的值．正确计算是解题关键． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么____. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】如图：过点A作AB⊥y轴于点B， ∵A（4，3）， ∴OB=3，AB=4， ∴由勾股定理可知：OA=5， ∴cosα=， 故答案为 【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型． 12. 在中，，，，那么________． 【答案】16 【解析】 【分析】由cosB=，代入计算可得． 【详解】解：如图： ∵在Rt△ABC中，cosB=，且BC=4， ∴ ∴AB=16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边． 13. 若某人沿一斜坡前进100米，他比原来的位置升高了50米，则这一斜坡的坡度_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，坡度定义为垂直高度与水平距离的比值，已知斜坡前进距离（斜边）为100米，垂直高度为50米，需先利用勾股定理求出水平距离，再计算坡度，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵某人沿一斜坡前进100米，他比原来的位置升高了50米， ∴前进的水平距离为米， ∴这一斜坡的坡度， 故答案为：． 14. 已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 【答案】 13.5 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心的性质，平行线分线段成比例，中线的定义，延长交于F点，连接，先证四边形为平行四边形得 ，由G是的重心，得为边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证，从而，然后逐步求，最后，进而得到答案． 【详解】解：延长交于F点，连接，如图， ∵ ， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ， ∵ G是的重心， ∴ 为边上的中线， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为边上的中线， ∴ ． 故答案为：13.5 15. 已知二次函数，那么它的图像在对称轴的_____部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）. 【答案】右侧 【解析】 【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题． 【详解】∵二次函数y=-x2-2中，a=-1＜0，抛物线开口向下， ∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）． 故答案为右侧． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的增减性． 16. 抛物线与轴的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键． 17. 如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，根据函数的顶点以及函数的性质分类讨论即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 18. 已知中，，，将绕点旋转使点落在边上，点的对应点为点，直线交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】或， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，全等三角形的应用，分母有理化，作辅助线构造直角三角形是解题关键．①当时，过点作交于点，令点的对应点为，根据角的正切值，设，，则，再利用正切值和勾股定理求出，利用旋转的性质，推出，得到，再根据即可求解；②当时，过点作交于点，结合旋转的性质，证明，得到，则，，从而得到，再利用角的正切值求解即可． 【详解】解：①如图，当时，过点作交于点，令点的对应点为， ， ， ， 设，， ， 在中，， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，即； ②如图，当时，过点作交于点， 在中，， 由旋转的性质可知，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，代入再化简即可得出答案. 【详解】原式 = = =. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记并区分这些特殊角的三角函数值是解题关键. 20. 已知二次函数的图像经过两点 （1）求二次函数的解析式： （2）将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴 【答案】（1） （2），二次函数图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入解析式，解得的值，表达二次函数的解析式； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，顶点坐标为，对称轴为直线． 【小问1详解】 解：将，代入 有 解得 ∴二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解： ∴ ∴，二次函数图像开口向上；顶点坐标为；对称轴为直线． 【点睛】本题考查了二次函数的不同表达方式与函数图像．解题的关键在于正确表示解析式的形式． 21. 如图，已知在中，为锐角，是边上的高，，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识； （1）根据余弦的定义可得，勾股定理求出，线段的和差求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点B作于点E，利用等积法求出，勾股定理求出，再利用正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：在直角三角形中，∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则在直角三角形中，； 【小问2详解】 解：过点B作于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，中，、分别是边、上的点，且，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键； （1）利用平行线的性质结合已知条件可得，进而利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，证明，可得，进一步即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）小明求得用到的几何知识是___________； （3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 【答案】（1）①；② （2）相似三角形的判定与性质 （3） 测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得； （ⅱ）用皮尺测得． 求解过程： 由测量知，在中，，，． 过点作，垂足为． 在中，， 即，所以． 同理，． 在中，， 即，所以． 所以． 故小水池的最大宽度为． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可； （2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可； （3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得； 求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得． 【小问1详解】 ∵， ，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故小水池的最大宽度为． 【小问2详解】 根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、． （1）求抛物线的表达式； （2）把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； （3）设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可． （2）根据二次函数图象平移的性质求出点D的坐标，再求出点B的坐标，通过计算得出，根据等边对等角得出，最后根据正弦的定义求解即可． （3）分点D在点C上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵抛物线的顶点C的坐标为， 故设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图： ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵把抛物线向上平移5个单位， ∴，， ∴， 令，则， 解得或7， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：①当点D在点C的上方时， 设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图， ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图， ∵顶点C的坐标为， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：点E的坐标为或． 25. 如图，矩形中，，，点为对角线上一点（不与、重合），连接交射线于点，过作交线段于点． （1）当时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式及定义域； （3）连接，当与相似时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质可得，设，则，，利用勾股定理即可得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即为线段的长度； (2)根据矩形的性质可证，根据相似三角形的性质可得，根据余切的定义即可求出与的关系式； (3)根据与相似分两种情况求出线段的长度． 【小问1详解】 解：， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 整理得：， ，， ， ， ， 即， 点为对角线上一点（不与、重合）， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，连接， 当时，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ， ， ， ； 当时，， ， ， 在和中，，， ， ， ， 解得：， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是利用分类讨论的思想分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市金山区金山初级中学2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试题 考试时间：100分钟 满分150分 一、选择题（本题共有6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个等边三角形 2. 已知、、都是非零向量．下列条件中，不能判定的是（　　） A. |||| B. C. ， D. ， 3. 二次函数的图像的顶点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（　　） A. 千米 B. 千米 C. 1千米 D. 千米 6. 下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. ， B. ，， C. ，，，， D. ，，，， 二、填空题（本题共有12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：______． 8. 已知两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积之比为___________． 9. 如果函数，那么___________． 10. 已知线段，点是线段的黄金分割点．则的长为___________； 11. 在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么____. 12. 在中，，，，那么________． 13. 若某人沿一斜坡前进100米，他比原来的位置升高了50米，则这一斜坡的坡度_____． 14. 已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为3，那么的面积是_____． 15. 已知二次函数，那么它的图像在对称轴的_____部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）. 16. 抛物线与轴的交点坐标是_________． 17. 如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 18. 已知中，，，将绕点旋转使点落在边上，点的对应点为点，直线交直线于点，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算: 20. 已知二次函数的图像经过两点 （1）求二次函数的解析式： （2）将该二次函数的解析式化为的形式，并写出该二次函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴 21. 如图，已知在中，为锐角，是边上的高，，，． （1）求的长； （2）求的正切值． 22. 如图，中，、分别是边、上的点，且，，求证： （1）； （2）． 23. 阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3． 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． （1）补全小明求解过程中①②所缺的内容； （2）小明求得用到的几何知识是___________； （3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、． （1）求抛物线的表达式； （2）把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值； （3）设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标． 25. 如图，矩形中，，，点为对角线上一点（不与、重合），连接交射线于点，过作交线段于点． （1）当时，求的长； （2）设，，求与的函数关系式及定义域； （3）连接，当与相似时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $