精品解析：黑龙江哈尔滨师范大学附属中学2026-027学年高一上学期第一次调研（10月）数学试卷

哈师大附中2026级高一上第一次调研练习 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，只改量词与结论，前提条件不变. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若或，则或无意义，故B错误； 对于C，若或，则或无意义，故C错误； 对于D，由，，则，故D正确． 3. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【详解】令，得，即， . 4. 已知集合， ，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再求，根据元素个数即可求解. 【详解】由，解得或，所以，所以， 所以的子集个数为. 5. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为， 所以，且和2是方程的两根， ，得， 所以不等式变为， 又，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 6. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出当的定义域为时的取值范围，根据集合间的包含关系及充分条件、必要条件的定义即可得答案. 【详解】当的定义域为时， 则恒成立， 当时，则有恒成立； 当时，恒成立， 所以， 解得， 综上，， 又因为是的真子集， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 7. 已知集合，集合，，且命题， 是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据得到的取值范围；再根据命题是真命题，结合一元二次不等式在某区间上有解的解法得到的取值范围，进而求即可． 【详解】由， 若，则，解得； 若，则，解得， 所以满足的的取值范围是． 由命题， 是真命题， 即存在，使得成立， 令，即在区间上，， 由是开口向上，对称轴为的二次函数， 则，即， 综上，实数的取值范围是． 8. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解. 【详解】根据可得，可转化为， 又， 所以，即， 因为是定义在上的增函数，所以只需满足 ，解得：， 所以不等式的解集为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若是一次函数，且满足，则 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：计算可得两函数定义域不同；对B：利用待定系数法计算即可得；对C：利用抽象函数定义域求法计算即可得；对D：分离常数后计算即可得. 【详解】对A：对函数，有，解得，即其定义域为， 对函数，有，解得或， 即其定义域为，故两函数不是同一函数，故A错误； 对B：设，则有， 即，则，解得， 故，故B正确； 对C：由函数的定义域为，则对函数，有， 解得，故函数的定义域为，故C正确； 对D：， 故函数的值域为，故D正确. 10. 已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由集合的基本运算判断ACD，举反例判断B. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，令， 满足，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确. 11. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值 C. 的最大值是2 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A由即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C利用基本不等式即可判断，对于D转化为，令，则，转化为，令，，则，最后利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 当时，即，等号成立，故B正确； 对于C，由，所以，当时，等号成立， 所以的最大值是，故C错误； 对于D，由，得， 令，则， 原式， 令，，则，所以， 当，即时，等号成立，所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数分类计算． 【详解】． 故答案为2． 【点睛】本题考查分段函数，属于基础题．对分段函数而言，一定要注意每一段中自变量的取值范围． 13. 若，则的取值范围_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先将目标表达式用已知的与进行线性表示，通过待定系数法求出组合系数，再依据已知不等式分别求出两部分的取值范围，注意不等式两边同乘负数时不等号要反向，然后利用不等式同向可加性求出目标式的取值范围即可. 【详解】设 ， 化简得：， 则：，解得：， ， ，∴， ∵ ，∴， ∴， ∴ . 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 【答案】4 【解析】 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用一元二次不等式、分式不等式与高次不等式解法计算即可得. 【小问1详解】 由得，即，故或， 故的解集为； 【小问2详解】 由得，即，即， 解得，故不等式的解集为； 【小问3详解】 由 得 ，故 ，解得， 故 的解集为 . 16. 已知集合． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据并集的运算，补集的运算及即可求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件得出集合是集合的真子集，进而列出不等式组，求解即可； （3）分类讨论，当时和时，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 若，则， 所以，或． 【小问2详解】 已知“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 已知， 所以（等号不同时成立），解得， 故实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，因为， 所以，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为， 则或，解得或， 此时， 综上，若，则实数的取值范围为． 17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）至少5分钟； （3）时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 【解析】 【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案. （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值. 【小问1详解】 由题知，当时，； 当时,, 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人， 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人， ，解得， 此时， 所以. 【小问2详解】 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人. 【小问3详解】 由（1）知 时，当且仅当等号成立， 时 当上,单调递减,则 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 18. 已知函数，满足. （1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； （2）设. ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由题意可得， 令，则 ， 时，且， 故，故在区间上为减函数； 时，且， 故，故在区间上为增函数. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用单调性的定义证明即可； （2） ①结合（1）的结论，利用单调性求最小值即可； ②将恒成立的条件转化为最值关系，再分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①易知在上的值域为，令 ，再令，由（1）可知 在上单调递增，故 的最小值为 =，即的最小值为. ②因为恒成立， 故，即， 由①：当时，， 令，令， 由（1）知，在上为减函数，在上为增函数， 时，在上为减函数， 故，， 故，得，和矛盾， 时，在上为减函数，在上为增函数， ，即， 得， 时，在上为增函数，故，得，不合题意； 综上得：. 19. 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （2） （3）由（2）知，在上为减函数， ①若，单调递减，若为“闭函数”，则， 两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则， 此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在； ③时，若为“闭函数”，则， 消去得，即，解得， 此时，，且， ∴时，使得为“闭函数”的存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”． 【解析】 【分析】（1）根据的范围分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可求解； （2）结合二次函数的图像及函数的单调性，分类讨论的范围，即可求解； （3）先判断的单调性，再根据“闭函数”的定义，分情况讨论是否存在区间使得函数在该区间上的值域为． 【小问1详解】 原不等式可以变为， 所以当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【小问2详解】 函数的图象开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 综上，． 【小问3详解】 由（2）知，在上为减函数， ①若，单调递减，若为“闭函数”， 则，两式相减得，这与矛盾． ②时，若为“闭函数”，则， 此时满足条件的存在， ∴时，使得为“闭函数”存在， ③时，若为“闭函数”，则， 消去得，即， 解得此时，，且， ∴时，使得为“闭函数”的存在， 综上所述，当满足时，为“闭函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2026级高一上第一次调研练习 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 8 C. 15 D. 17 4. 已知集合， ，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 5. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知集合，集合，，且命题， 是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.） 9. 下列结论中正确的有（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若是一次函数，且满足，则 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 10. 已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值 C. 的最大值是2 D. 的最大值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知函数，则__________. 13. 若，则的取值范围_____________. 14. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为_____ 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 解下列不等式： （1）； （2）； （3） . 16. 已知集合． （1）若，求和； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围． 17. 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. （1）求的表达式； （2）为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ （3）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 已知函数，满足. （1）设，求证：函数在区间上为减函数，在区间上为增函数； （2）设. ①当时，求在上的最小值； ②若对任意实数 恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知关于的函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $