精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

哈师大附中2025级2025-2026学年度第一学期10月月考 数学试卷 满分150分时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定为特称命题即可得. 【详解】命题的否定是. 故选：C 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的性质求定义域，平方的性质求函数值域得到集合，再由韦恩图及集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，， 由图知，阴影部分为，而， 所以. 故选：D 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数等价变换为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：，， 则（当且仅当，即时，取等号）， 即当时，取得最大值. 故选：D. 4. 已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两命题都是真命题时的取值范围，再取交集即可． 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为真命题， 即有实数解，则，解得或， 综合上述,实数需满足，可知实数的取值范围是. 故选：B. 5. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可知，一元二次方程的两个实数根是和，且，由韦达定理得，，再代入目标不等式求解即可． 【详解】由条件可知，一元二次方程的两个实数根是和，且， 根据韦达定理可得，得，， 所以，即， 解得：，所以不等式的解集为. 故选：A. 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合已知条件建立关于不等式，然后解得其范围，从而得到最值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）或， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值是6. 故选：C. 7. 已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合，根据二次函数零点分布求参数的取值范围. 【详解】对于二次函数， 当时，， 因为二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1， 当，即时，则，解得； 当，即时，则，不等式无解. 综上所述：m的取值范围是. 故选：B 8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义将题干表达式转化成一元二次不等式在上恒成立的问题. 【详解】由题意可变形为，即， 化简可得恒成立， 所以恒成立， 化简可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. B的子集有8个 D. U中的元素个数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，根据元素与集合的关系判断A；根据集合间的交集运算判断B；由集合的子集计算公式判断C；求出全集，判断D. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为B中的元素个数为4，所以的子集有个，故C错误； 由，，得， 所以U中的元素个数为5，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由不等式的性质，特殊值法逐项分析判断即可. 【详解】，，，，故A正确； 由，可知，由不等式的性质可知， 所以，故B正确； 由于，当时，故C错误； 若，，则D错误. 故选：AB 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可得解. 【详解】选项A，，当且仅当时取等号，所以A正确； 选项B，，当且仅当，即时取等号，所以B正确； 选项C，，当且仅当时取等号，即的最大值为1，而非最小值为1，所以C错误； 选项D，，当且仅当， 即时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集. 【详解】由题意得：，解得：， ∴ 故答案为： 13. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件把不等式化成两个不等式组，分别求解再求并集作答. 【详解】不等式化为以下两个不等式组：或， 解，即，解得， 解，即，解得， 所以原不等式的解集是. 故答案为： 14. 已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是______. 【答案】或. 【解析】 【分析】利用分解因式解不等式，然后分类讨论与大小，结合解集中恰有5个整数解，可得答案. 【详解】因为， 所以. ①当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ②当，即时，不等式解集为，因解集中恰有5个整数，得，解得； ③，即时，不等式解集为空集，不合题意. 综上：当不等式的解集中恰有5个整数解时，的范围是或. 故答案为：或. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 16. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【分析】（1）先解不等式得出集合、，再由集合的运算可得结果； （2）因为，所以，分和两种情况求解即可. 【小问1详解】 根据题意：集合， 集合或 或， 【小问2详解】 因为，所以， 若，则 若，则，得时，可得， 实数的取值范围为或 . 17. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理计算即可得； （2）分、、、及进行讨论即可得. 【详解】（1）由不等式的解集为可得： 方程的两根为1，3且， 则，解得，，所以； （2）因为，所以，即， 当时，原不等式变形为，解得，即解集为； 当时，，则原不等式解集为； 若，原不等式可化为； 故当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 【答案】（1）0.6元/（kW·h） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益 当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价. （2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可 【小问1详解】 由题意知，下调电价后新增用电量为. 故电力部门的收益，. （1）当时，. 由题意知且. 化简得. 解得. 或 又 .· 所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% 【小问2详解】 当时，. 令，，.· ， 当且仅当时取等号. 故收益的最小值. 19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 【答案】（1）集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 （2）1 （3），，，或. 【解析】 【分析】（1）由“包容”性的定义判断即可； （2），从而可得，分、可求得，即可得答案； （3）由题意可得集合C中共有6个元素，且，设，其中，，，从而可得或，分、分别求解即可. 【小问1详解】 集合中的，， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 得到的两数中至少有一个属于集合， 所以集合具有“包容”性. 【小问2详解】 已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去； 若，无解； ②当时，则， 由且，可知b无解， 故. 综上，. 【小问3详解】 因为集合C的子集有64个， 所以集合C中共有6个元素，且， 又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或. ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2025级2025-2026学年度第一学期10月月考 数学试卷 满分150分时间：120分钟 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知命题，则命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 5 D. 4. 已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知关于的不等式的解集是或，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 7. 已知二次函数与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. B的子集有8个 D. U中的元素个数为5 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则______. 13. 不等式的解集是______． 14. 已知关于的不等式的解集中恰有5个整数解，则实数的范围是______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 16. 已知全集，集合，集合，集合． （1）求， （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 18. 某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价）） （1）当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当时，求收益的最小值. 19. 已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. （1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） （2）若集合具有“包容”性，求的值； （3）若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $