精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026—2027学年上学期高一数学学科第一次月考试题 2026.10 满分：150 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 又，所以. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】移项得，即，所以， 该不等式等价于且，所以解集为或， 故选：C． 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一函数需满足定义域、对应法则均相同的判定标准，逐一验证各选项的两个函数即可. 【详解】对于A，的定义域为，分母不为，定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，化简得，与的定义域、对应法则均完全相同，是同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，底数不为，定义域为，二者定义域不同，不是同一函数，故C错误； 对于D，，与的对应法则不同，不是同一函数，故D错误. 4. 一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由一元二次方程（）有一个正根和一个负根， 可得，解得， 结合选项可知，一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是. 5. 已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义判断. 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 6. 已知命题“，成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由含量词命题的真假求参数范围.存在量词命题为假，则其否定“”为真，即不等式在区间 [1,3] 上恒成立；开口向上的抛物线在闭区间上的最大值在端点处取得，故只需两个端点处函数值不大于0，联立解出的范围. 【详解】因为命题“ 成立”是假命题， 所以其否定“”为真命题， 即 对任意 恒成立. 由于抛物线开口向上， 在闭区间上的最大值在端点处取得， 因此只需 ，且 ， 即取交集得 ， 故实数的取值范围是 ，选项正确. 【点睛】存在命题为假 全称否定为真；开口向上的抛物线在闭区间上的最大值在端点，恒成立只需端点处不超过0. 7. 已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由①， 令，②， 由得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：D 8. 已知函数满足：对任意的非零实数，，都有成立，，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值，代入条件，整理计算，即可得答案. 【详解】令，得， 因为， 所以，解得. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】由，， 结合选项，可知不包含于，，或， . 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的零点是 C. “，”的否定是“，” D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A因为 的定义域为 [1,5]，所以函数 满足 ，解得 ，即 的定义域为 [0,2]，并非 [0,3]，选项A错误. 选项B因为 ，令 得 ，故该函数的零点为 ，零点是自变量的值而不是坐标点 ，选项B错误. 选项C因为全称量词命题的否定是存在量词命题，改写时将 改为 ， 把结论 否定为 ，条件 保持不变， 所得否定为 “”，选项C正确. 选项D因为 ，由 得 ，又 ， 两式同向相加得 ， 即 ，选项D正确. 11. 狄利克雷函数是有名的“以概念代替直觉”的函数，现定义“函数”满足，则关于狄利克雷函数与函数的结论正确的有（ ） A. B. ， C. 函数图像上存在四个点，，，使得四边形是矩形 D. 函数图像上存在四个点，，，使得四边形是菱形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数和函数的定义，结合奇偶性定义判断A、B，通过构造特殊点验证四边形形状判断C、D. 【详解】对于A，是有理数，故，，可得，故A正确； 对于B，分情况讨论：①若是有理数，则也是有理数，；②若是无理数，则也是无理数，， 因此对任意，恒成立，B正确； 对于C，取点、、、，均在函数图像上， 对角线和的中点都为原点，满足互相平分，且，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故C正确； 对于D，函数的点要么在直线上（为有理数），要么在轴上（为无理数）： 若四点全在或全在轴上则四点共线，无法构成四边形； 若取个轴上的点和个上的点构成平行四边形，由中点坐标性质可得上的两点横坐标互为相反数，代入菱形边长相等的条件可推得两点重合，无法构成菱形，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】偶数次根式内部大于等于，分母不为，所以， 要使有意义，必有，所以的定义域为. 13. 已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得集合A中只有一个元素，从而得方程只有一个解，分、求解即可. 【详解】因为集合A的非空真子集为0个， 所以集合A中只有一个元素或者没有元素， 若方程只有一个解， 当时，，满足题意； 当时，由，解得， 若集合集合A中没有元素，即集合A为空集， 则, 综上可知，实数的取值范围是或 故答案为：或 14. 若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出分段函数的两段表达式的范围，其并集为，基于此列出关于a的不等式，解出即可． 【详解】①时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，，当时，， 因此，时，，完全覆盖值域要求； ②时，，因此，时，； 结合整体值域为，可知， 则，解得，同时又因为，所以，所以a的范围为， a的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 【答案】（1）.（2），. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接代入计算即可； （2）令，利用换元法即可求解； （3）设，根据已知条件列方程组求解即可. 【详解】（1），故. （2）令，则，， 因为，所以， 所以，. （3）设所求二次函数为， 因为，所以，则， 又， 所以，即， 所以，即， 所以. 16. 设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以； 【小问2详解】 ， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 17. 已知． （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 当时，； 当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答案； （2）不等式可化为，分为，和三种情况，分别求解即可. 【小问1详解】 已知的解集为，说明和是方程的根． 由韦达定理：，可得， 将代入不等式，得 所以．因此，不等式的解集为． 【小问2详解】 ， 即解，需要根据的取值分类讨论： （1）当，即时，不等式的解为或； （2）当，即时，不等式变为，解集为R； （3）当，即时，不等式的解为或． 综上所述：当时，； 当时，； 当时，. 18. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元、再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元 （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. （3）若总造价S不超过138000元，求AD长x的取值范围. 【答案】（1） （2）时，S有最小为； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求得的范围，然后结合三角形及四边形面积公式可得关于的函数关系式； （2）由（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值； （3）由，令，即可求解． 【小问1详解】 ，设长为， 两个相同的矩形和构成的面积为， ， ． 由，得． 由题意得：， 化简得：， 故关于的函数关系式是：； 【小问2详解】 ， 当且仅当时，即时，S有最小为； 【小问3详解】 ， 又总造价不超过138000元， ，解得， 故长的取值范围为． 19. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求的不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）或或. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，令，直接解方程即可. （2）（i）根据不动点的定义，将问题转化为方程在区间上有唯一解的问题，解含参的一元二次方程，讨论根的范围即可. （ii）根据不动点的定义，方程有两个不相等的正根，利用韦达定理求出的范围，将所求式子化简，代入韦达定理，再通过换元法将式子化简，利用基本不等式即可求最值. 【小问1详解】 令， 则，解得， 所以的不动点为. 【小问2详解】 （i）， 即当时，方程有唯一的解， 即有唯一解， 解得，， 当时，符合题意，此时； 当，即时， 要使方程在有唯一的解， 即此时这个解是， 所以或， 解得或， 综上所述，的取值范围是或或. （ii）函数有两个不相等的不动点，，且，， 即方程有两个不相等的正根， 即， 由韦达定理：，， 所以，解得， ， 令，则，， 所以原式可换元为： ， ， 由基本不等式，， 当且仅当时，等号成立，即，满足条件， 所以式子的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期高一数学学科第一次月考试题 2026.10 满分：150 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 一元二次方程（）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“，成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足：对任意的非零实数，，都有成立，，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的零点是 C. “，”的否定是“，” D. 若，，则 11. 狄利克雷函数是有名的“以概念代替直觉”的函数，现定义“函数”满足，则关于狄利克雷函数与函数的结论正确的有（ ） A. B. ， C. 函数图像上存在四个点，，，使得四边形是矩形 D. 函数图像上存在四个点，，，使得四边形是菱形 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 函数的定义域为__________． 13. 已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 14. 若函数的值域为，则实数的最小值为___________． 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知函数，求； （2）已知，求的解析式； （3）已知函数是二次函数，且，，求的解析式． 16. 设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 17. 已知． （1）若的解集为，求关于的不等式的解集； （2）若，解关于的不等式． 18. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元、再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元 （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. （3）若总造价S不超过138000元，求AD长x的取值范围. 19. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求的不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $