18.5 分式方程(3)—— 行程问题 导学案 2026-2027学年数学人教版八年级上册

18.5 分式方程(3)—— 行程问题 班级：　　　　　姓名：　　　　　学号：　　　　 【学习目标】 1. 能根据行程问题中的等量关系列分式方程解决问题； 2. 能借助分式方程解决与速度、时间有关的综合问题，体会数学活动中的探究方法． 【重点难点】 重点：行程问题中等量关系的建立与分式方程的求解． 难点：顺逆流问题与代数推理中规律的探究与运用． 【课堂探究】 1. 例1 已知甲车的速度比乙车的速度快30 km/h，甲车行驶200 km所需的时间与乙车行驶120 km所需的时间相同，求乙车的速度． 解： 2. (人教八上P137引言改编)轮船顺水航行80 km所需要的时间与逆水航行60 km所需要的时间相同，已知水流的速度是3 km/h，求轮船在静水中的速度． 解： 3. 例2 某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观，已知A地到B地的路程为300千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时，C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度． 解： 4. 甲、乙两名同学到离校2.4 km的人民公园参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30 min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 解： 建立与时间有关的等量关系式：(1)t1＝t2；(2)t1−t2＝时间差． 【当堂反馈】 基础巩固 1. 随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60 km/h，动车提速后行驶480 km与提速前行驶360 km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km/h，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　． 2. 已知A，B两地相距40 km，一艘轮船从A地顺流航行至B地比从B地逆流航行至A地少用2 h，水流速度为5 km/h.设该轮船在静水中的航行速度为x km/h，则可列方程为　　　　　　　　　　　　　　． 3. (情境创设)明明与妹妹周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈的路程约为2.5 km.明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4 min，则妹妹跑步的速度为　　　　　　　　km/h. 4. 某校为庆祝3.14国际数学日举办了“π跑”活动，老师和学生一同参与跑步，活动规定每人需跑完两圈(共480米)．活动开始后，小明和王老师同时从起点出发，小明每秒比王老师多跑1米，当小明跑完全程时，王老师距离终点还有120米，求王老师的跑步速度． 解： 能力提升 5. (人教八上P169习题T3改编)甲乙两人一同参加4 000米的跑步训练，两人同时出发，甲、乙的速度比是4∶5，结果乙比甲提前5分钟跑完，求甲、乙的速度． 解： 6. 小刚家到学校的距离是1 800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍． (1)求小刚跑步的平均速度； 解： (2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？并说明理由． 解： 中考新考向·代数推理 (人教八上P170数学活动2改编)某数学实验小组在探究“x2+取值的规律”时，进行了如下活动． (1)【实验操作】取不同的x的值，计算x2+的值． x … −3 −2 −1 − − 1 2 3 … y … … (2)【观察猜想】实验小组组员通过观察表格，提出以下猜想： ①代数式x2+的值随着x的增大而减小； ②当x＝±1时，代数式x2+有最小值，最小值是2. 上述猜想中正确的是　　　　　　．(填写序号) (3)【验证猜想】请对正确的猜想进行证明． 证明： (4)【归纳运用】根据实验经验解决下列问题： 求代数式x2−6x++10(x>3)的最小值，并求出此时x的值． 解： 【参考答案】 课堂探究 1. 解：设乙车的速度为x km/h. 依题意，得＝.解得x＝45. 经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意． 答：乙车的速度为45 km/h. 2. 解：设轮船在静水中的速度为x km/h. 由题意，得＝.解得x＝21. 经检验，x＝21是原分式方程的解，且符合题意． 答：轮船在静水中的速度为21 km/h. 3. 解：设D型车的平均速度是x千米/时，则C型车的平均速度是3x千米/时．根据题意，得−＝2. 解得x＝100.经检验，x＝100是所列方程的解，且符合题意． 答：D型车的平均速度是100千米/时． 4. 解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h.30 min＝ h.由题意，得−＝.解得x＝3.6. 经检验，x＝3.6是原分式方程的解，且符合题意． ∴4x＝3.6×4＝14.4. 答：乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. 当堂反馈 1. 2. ＝2 3. 6.25 4. 解：设王老师的跑步速度为x米/秒，则小明的跑步速度为(x+1)米/秒． 由题意，得＝.解得x＝3. 经检验，x＝3是原分式方程的解，且符合题意． 答：王老师的跑步速度为3米/秒． 5. 解：设甲的速度为4x米/分，则乙的速度为5x米/分． 根据题意，得−＝5.解得x＝40. 经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意． ∴4x＝160，5x＝200. 答：甲的速度为160米/分，乙的速度为200米/分． 6. (1)解：设小刚跑步的平均速度为x米/分． 根据题意，得+4.5＝.解得x＝150. 经检验，x＝150是原分式方程的解，且符合题意． 答：小刚跑步的平均速度为150米/分． (2)不能．理由如下： 由(1)，得小刚跑步的平均速度为150米/分． ∴小刚跑步所用时间为1 800÷150＝12(分)， 骑自行车所用时间为12−4.5＝7.5(分)． ∵在家取作业本和取自行车共用了3分钟， ∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5(分)． ∵22.5＞20，∴小刚不能在上课前赶回学校． 中考新考向·代数推理 (1)y值（从左到右）：，，2，，，，，2，，． (2)② (3)证明：∵x2+＝x2−2++2＝+2， 又∵≥0，∴+2≥2，即当x＝时，x2+取得最小值． ∴x2+的最小值是2，此时x＝±1. (4)解：∵x2−6x++10＝x2−6x+9++1＝(x−3)2++1＝(x−3)2−2++1+2＝+3， 又≥0，∴+3≥3. 当x−3＝时，有最小值，最小值为3.解x−3＝，得x＝2或x＝4. ∵x>3，∴x＝4.∴当x＝4时，x2−6x++10有最小值是3. 学科网（北京）股份有限公司 $