18.5分式方程（1）导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦分式方程的概念、解法及验根方法，通过知识链接引导学生回忆整式方程，再自主写出含分式的方程，搭建从整式到分式方程的学习支架，梳理前后知识脉络。 以轮船航行情境引导学生用数学眼光抽象方程，对比探究增根原因培养推理意识，分层练习（自主尝试、数轴应用）提升应用能力，帮助学生掌握解法并理解数学本质，适合教学使用。

《18.5分式方程（1）》导学案 课题 分式方程（1） 学科 数学 年级 八年级上册 教学目标 1.理解分式方程的意义． 2.掌握分式方程的基本思路和解法． 3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法． 重点难点 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义. 教学过程 知识链接 满足以上特征的方程叫什么？ 思考：写出一个含有分式的方程，猜一猜它叫做什么？ 合作探究 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分式方程：分母中含有_______的方程叫做分式方程. 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程. 解：在方程两边乘的最简公分母__________，得 ____________ 解得__________ 检验：___________ 试一试解方程 . 思考 上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 例1、解方程（1） （2） 通过上述学习你能总结出解分式方程的一半思路吗？ 思考：方程无解的值，称为增根。为什么会产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？ 思考：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？ 试一试：求下列分式方程的增根 例2、已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值. 自主尝试 1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程? （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） 当堂检测 2.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. 2(x–8)+5x=16(x–7) B. 2(x–8)+5x=8 C. 2(x–8)–5x=16(x–7) D. 2(x–8)–5x=8 3.如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是-3和且点A,B到原点的距离相等,求x的值. 小结反思 1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.解分式方程时为什么要检验，说说你的看法. 《18.5分式方程（1）》导学案 课题 分式方程（1） 学科 数学 年级 八年级上册 教学目标 1.理解分式方程的意义． 2.掌握分式方程的基本思路和解法． 3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法． 重点难点 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义. 教学过程 知识链接 满足以上特征的方程叫什么？ 思考：写出一个含有分式的方程，猜一猜它叫做什么？ 怎么解你写出的方程呢？本节课我们一起探索分式方程的解法。 合作探究 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 注意：让学生求出江水流速为v千米/时后，自主探究，获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程呢？ 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v），得 90(30-v)=60（30+v）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程，左边=5/2=右边，所以v=6是原分式方程的解. 试一试解方程 . 思考 上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 注意：学生讨论，教师可参与交流，鼓励学生勇于探索、实践，解释产生这一现象的原因，并让学生明白解分式方程时一定要验根. ●归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，它是原分式方程增根，原分式方程无解. 例1、解方程（1） （2） （1）解：方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0，∴x=9是原分式方程的解. （2）解：方程两边同乘以（x-1）(x+2)，得 x（x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简，得x+2=3. 解得x=1. 检验：把x=1代入(x-1)(x+2)=0，x=1不是原分式方程的解，原分式方程无解. 通过上述学习你能总结出解分式方程的一半思路吗？ 解分式方程的思路是： ―→ 思考：方程无解的值，称为增根。为什么会产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？ 解析：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！ 思考：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？ 解析：增根：是可以求出来的，但代入后方程的分母为 0 无意义，原方程无解 . 无解：包括增根和这个方程没有可解的根． 试一试：求下列分式方程的增根 解：（1）增根是x=6．（2）增根是x=2或x=0． 例2、已知关于x的方程有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx， 整理，得x2+（k–2）x–4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1. 自主尝试 1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程? （1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） 答案：分式方程：（2）（3）（4）（7）（8）、整式方程：（1）（5）（6） 当堂检测 2.解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ）A A. 2(x–8)+5x=16(x–7) B. 2(x–8)+5x=8 C. 2(x–8)–5x=16(x–7) D. 2(x–8)–5x=8 3.如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是-3和且点A,B到原点的距离相等,求x的值. 解：依题意可知,=-3 解得:x= 经检验,x=是原方程的解. 则x的值为 小结反思 1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.解分式方程时为什么要检验，说说你的看法. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $