18.5分式方程（2）导学案 2026-2027学年 人教版八年级上册数学

该初中数学导学案聚焦分式方程解决实际应用问题，通过知识链接复习工程、行程问题的基本公式，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接分式方程解法与实际问题建模。 导学案以合作探究和分层练习为特色，例题涵盖工程、行程等真实情境，引导学生分析等量关系构建方程模型，培养模型意识和应用意识。当堂检测题设计梯度合理，强调解题步骤与检验，提升学生用数学思维解决问题的推理能力和表达能力。

《18.5分式方程（2）》导学案 课题 分式方程（2） 学科 数学 年级 八年级上册 教学目标 1.能构建分式方程解决实际应用问题. 2.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题． 3.在构建分式方程解决实际问题的过程中，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣. 重点难点 重点： 构建分式方程解决实际应用问题. 难点： 依据实际问题构建分式方程模型. 教学过程 知识链接 1. 工程问题：你知道工作量、工作效率、工作时间之间的关系吗？ 工作量 = ___________________、工作效率 = _________、 工作时间 = _________ 2. 行程问题：你知道路程、速度、时间之间的关系吗？ 路程=_____________、速度=________、时间=_______ . 合作探究 例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？ 你能类比类比一般方程，说一说列分式方程解应用题的一般步骤吗？ 自主尝试 1.A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 kg，A 型机器人搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 600 kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 2.某工程队需要在规定日期内完成 . 若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成 . 现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？ 当堂检测 1.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。 2.我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离桥头24Km，我部队离桥头30Km，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队急行军的速度。 3.两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15分到达顶峰，两个小组的速度各是多少？ （若山高h米，第一组的速度是第二组的a倍，并比第二组早t分到达顶峰，则两组速度各是多少？） 4.八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度． 小结反思 你学会了什么？ 《18.5分式方程（2）》导学案 课题 分式方程（2） 学科 数学 年级 八年级上册 教学目标 1.能构建分式方程解决实际应用问题. 2.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并解决实际问题． 3.在构建分式方程解决实际问题的过程中，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣. 重点难点 重点： 构建分式方程解决实际应用问题. 难点： 依据实际问题构建分式方程模型. 教学过程 知识链接 1. 工程问题：你知道工作量、工作效率、工作时间之间的关系吗？ 工作量 = ___________________、工作效率 = _________、 工作时间 = _________ 2. 行程问题：你知道路程、速度、时间之间的关系吗？ 路程=_____________、速度=________、时间=_______ . 上述关系在分式方程中的应用你会吗？本节课我们一起学习。 合作探究 例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 【分析】由题意可知甲队单独施工1个月完成工程量是，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两边的施工速度.因此可以设出乙队单独施工1个月完成的工程量为，进而列出方程为+(+)=1，解这个方程，求出未知数值后，经检验，得到问题的答案. 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得 + +=1. 方程两边乘6x，得 2x+x+3=6x. 解得x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快. 教师教学注意强调检验，并板书检验过程。 例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？ 【分析】对于题目中出现的字母v和s，我们都应把它当作已知数据.根据问题的需要，可说提速前的速度为x千米/时，则提速后速度为(x+v)千米/时，再利用相同时间内，提速前行驶s千米，提速后可行驶（s+50）千米，建立关于x的分式方程为 ，并予以求解及进行检验.在检验时可利用实际问题中s>0，v>0来进行判断即可得出结论. 解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为sxh,提速后它行驶（s+50）km所用时间为h. 根据行驶时间的等量关系，得. 方程两边乘x(x+v)，得s（x+v）=x(s+50). 解得x= . 检验：由v,s都是正数，得x=时x（x+v）≠0. 所以，原分式方程的解为x=. 答：提速前列车的平均速度为km/h. 你能类比类比一般方程，说一说列分式方程解应用题的一般步骤吗？ 1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4.解:认真仔细解这个分式方程. 5.验:检验. 6.答:注意单位和语言完整. 自主尝试 1.A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 30 kg，A 型机器人搬运 900 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 600 kg 所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 解：设 A 机器人每小时搬运 x kg 化工原料由题意，得 在方程两边都乘以x(x-3)得900(x-3)=600x解得x=90 检验：当 x=90 时，x(x-3)≠0  所以x=90是原方程的根，则 x - 30 = 60 ． 答： A ，B 机器人每小时分别搬运 90 kg 和 60 kg 化工原料 . 2.某工程队需要在规定日期内完成 . 若甲队单独做正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天才能完成 . 现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？ 解：设规定日期是 x 天，由题意，得   在方程两边都乘以x(x+3)得 2(x+3)+x2=x(x+3) 解得x=6 检验：当x=6时，x(x+3)≠0即x=6是原方程的根 答：规定日期是 6 天 . 当堂检测 1.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。 解：设船在静水中的速度为X千米/小时。 80x+160 －80x+160=x2 －4 x2=324解得：x=±18 x=－18（不合题意，舍去） 检验得： x=18 答：船在静水中的速度为18千米/小时。 2.我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离桥头24Km，我部队离桥头30Km，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队急行军的速度。 解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。由题意得方程： 解得:x=5 经检验，x=5是原方程的解 ∴我军的速度为7.5X千米/时。 3.两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的速度是第二组的1.2倍，他们比第二组早15分到达顶峰，两个小组的速度各是多少？ （若山高h米，第一组的速度是第二组的a倍，并比第二组早t分到达顶峰，则两组速度各是多少？） 解：设第二组的速度x米/分，则第一组的速度是1.2x米/分由题意得 在方程两边都乘以12x得:5400-4500=180x 解得x=5 检验：当x=5时，12x≠0∴ x=5是原方程的根 答：第一组的速度6米/分，第二组的速度是5米/分。 4.八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t h后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度． 解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得， 解得 x = 方程两边同乘2x，得 2s –s =2tx. 检验：由于s，t 都是正数， x =时，2x≠0， 所以，x =是原分式方程的解，且符合题意. 答：学生骑车的速度是km/h．　　 小结反思 1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤． 2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可间接设)的前提下找出等量关系． 3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系． 4.注意不要遗漏检验和作答． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $