精品解析：江苏连云港市灌云县实验中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年灌云县实验中学九年级数学第一次过程性检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 方程的解是________． 10. 一元二次方程的一次项系数为___________． 11. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 14. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 16. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 17. 如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 18. 如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 三、解答题（共96分） 19. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 20. 庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21. 已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． （1）求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； （2） ， ； （3）满足不等式的x的取值范围是 ； （4）为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 24. 阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程：， 解：当时，原方程可化为，解得，（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为解得（不合题意，舍去），； ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想--分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）； （2）． 25. 东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 27. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年灌云县实验中学九年级数学第一次过程性检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将反比例函数关系式进行变形，逐项判断即可． 【详解】解：由得． A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意． 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，图象在第一象限，随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，， ∵当时，图象在第三象限，随的增大而减小， ∴当时，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围是或，故C错误，符合题意； 若点在函数图象上，则，即， ∴，即点也在函数图象上，故D正确，不符合题意． 6. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解∶ 设矩形的边，则， 根据题意，得， 故选∶A． 8. 如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：过点E作EM⊥OA，垂足为M，∵A（1，0），B（0，2），∴OA-1，OB=2，又∵∠AOB=90°，∴AB==，∵AB//CD，∴∠ABO=∠CBG，∵∠BCG=90°，∴△BCG∽△AOB，∴，∵BC=AB=，∴CG=2，∵CD=AD=AB=，∴DG=3，∴DE=DG=3，∴AE=4，∵∠BAD=90°，∴∠EAM+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠EAM=∠ABO，又∵∠EMA=90°，∴△EAM∽△ABO，∴，即，∴AM=8，EM=4，∴AM=9，∴E（9，4），∴k=4×9=36； 故选D． 考点：反比例函数综合题． 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 方程的解是________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将方程左边因式分解，转化为一次方程求解． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，． 10. 一元二次方程的一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再确定一次项系数． 【详解】解：原方程移项整理得：， 因此一次项为，一次项系数为． 11. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ∴由根与系数的关系可得， 对所求代数式变形得 将， 代入得原式． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案． 【详解】关于的一元二次方程有实数根 ∴ ∴，即且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解． 14. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由与成反比例，设函数解析式为，将时，代入求出，即可得出答案． 【详解】设， 将，代入： ， ， ， ． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将交点分别代入两个函数解析式，得到和的值，将所求代数式通分后代入计算即可． 【详解】解：点是与的交点， 将代入，得，变形得， 将代入，得，变形得， ． 16. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】设运动时间为，根据题意得：，其中，则，根据的面积为矩形面积的，列出方程，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得：，其中，则， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积为矩形面积的， ∴， ∴， 解得：， 即运动时间为2秒． 18. 如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上，  点的横坐标为，即，  ，   ， 点为的中点， ， ，即，  点到直线的距离等于点到直线的距离，  ， ，  ，  解得． 三、解答题（共96分） 19. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用公式法或配方法或十字相乘法解答即可； （3）用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， 这里，， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． 20. 庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 【答案】（1） （2）不低于200升 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）设，把代入，利用待定系数法求解； （2）计算时对应的V的值即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入上式得：， 解得， P与V之间的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：当时，． 钢瓶的容积要求不低于200升． 21. 已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入得， 解得， ∴的值为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 【小问3详解】 解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 【答案】（1） 证明：依题意，得 ，，， ， ， 方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，公式法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）利用公式法解一元二次方程，求出，，，再由方程的实数根都是整数，且异号，由m是整数求出m的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， 方程有两个异号的整数根，且m是整数． 或， 或． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． （1）求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； （2） ， ； （3）满足不等式的x的取值范围是 ； （4）为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 【答案】（1）； （2）2；； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式求解出a的值即可； （2）先由勾股定理求得的长度，结合可得点B的坐标，然后根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求解； （3）根据图象得到反比例函数图象在一次函数图象上方时，x的取值范围即可； （4）先求得的面积，从而得到的面积，然后根据三角形面积公式可求得的长度，即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴， 根据题意，把、代入一次函数，得 ， 解得， 【小问3详解】 解：根据图象可知，当的图象在的图象的上方时，此时， ∴满足不等式的x的取值范围是； 【小问4详解】 解：∵，，点B在y轴的负半轴， ∴， ∴的面积， ∵为x轴上一点，且的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴m的值为或． 24. 阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程：， 解：当时，原方程可化为，解得，（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为解得（不合题意，舍去），； ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想--分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程的解为，， （2）原方程的解为， 【解析】 【分析】（1）分类讨论当和两种情况，利用提取公因式方法解方程即可． （2）分类讨论当和两种情况，利用提取公因式方法和配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 当时，原方程可化为， ， 解得，． 当时，原方程可化为， ， 解得，（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，，． 【小问2详解】 解：， 当，即时，原方程可化为， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 当，即时，原方程可化为， 整理得， ， ， ， ， 解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的解是，． 25. 东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． （1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率可列出方程，进而求解即可； （2）根据总盈利=每千克盈余×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果，结合“尽快减少库存”确定解的取舍． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，根据题意得： 解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，由题意得： 整理得 解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 26. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】（1） （2）1； （3）如图， （4）①减小；②或 【解析】 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 27. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）如图所示： 该方程的其中一个正根为6 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）根据，得出，用4个长都是，宽都是的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图中，大正方形的面积可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，再进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，小正方形的边长为，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， 用4个长都是，宽都是的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图中，大正方形的面积可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于， ∴， ∴， ∴或， ∵x为正数， ∴， ∴该方程的其中一个正根为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $