精品解析：江苏连云港市灌南县实验中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段性学业质量检测

2026—2027学年度第一学期阶段性学业质量检测九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 如图，“”所指的位置表示的数可能是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 2. 如图，，，、相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴共有四对． 3. 明明晚饭后出门散步，散步行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设明明家为点O，可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点，然后分析每段运动过程对应的图像，并作出选择． 【详解】如图，设明明家为点O，可将小明的运动过程分成三段，O点到A点，A点到B点，B点到O点， 当明明由O点到A点时：h随着t的增加而增加， 当明明由A点到B点时：随着t的增加h不变， 当明明由B点到O点时：h随着t的增加而减小， 所以函数图像变化趋势为，先增加，再不变，最后减小， 故B选项与题意相符． 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】解：A．，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． B．，该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意． C．，该方程是分式方程，故本选项不符合题意． D．，该方程是一元三次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（． 5. 若点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，都在第四象限， ∴． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论． 根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解． 【详解】当方程为一元二次方程时，，且， 即， 解得；， 故且， 当方程为一元一次方程时，，方程的根为， 综上，k的取值为， 故选：A． 7. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 8. 配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论： ①用配方法解方程，变形后的结果是； ②已知方程可以配成，那么可以配成； ③若关于的方程有实数根，则； ④若可以配成形如的形式，则； ⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1． 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法和完全平方式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，故①正确； ∵可以配成， ∴，即， ∴即，可以配方为，即，故②错误； ∵关于x的方程，即方程有实数根， ∴， 解得，故③正确； ∵可以配成形如的形式， ∴是一个完全平方式， ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∴的最小值为1，故⑤正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了配方法和完全平方式中的字母求值，熟知配方法是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 故， 故答案为：. 10. 因式分解：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： ． 11. 计算＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果. 【详解】解：，， . 12. 方程 的二次项系数为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）中，叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：方程的二次项系数为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号． 13. 若是方程的两根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系得出； 【详解】 是方程的两根， ， 故答案为3 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确把握根与系数关系是解题关键 14. 若点在反比例函数的图象上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，代入先求出的值，再计算所求式子即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∵ 反比例函数中，两边同乘得 ， ∴ ． 15. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．由题意得，，而，得到，解出，而不满足，故舍． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得：， ∵不满足，故舍去， ∴， 故答案为：． 16. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将原函数化为的一元二次方程，再利用∆求解即可得到答案. 【详解】将原函数化为的一元二次方程，得， ∵x为实数， ∴， ∴， ∴函数的最小值是， 故答案为：. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键. 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算． 【答案】0 【解析】 【分析】根据，再计算即可． 【详解】解：原式． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：移项，得 ， ， 即 ，． 【小问2详解】 解：， 配方，得 ，即 ， ， ∴． 【小问3详解】 解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 或 ， ，． 【小问4详解】 解：整理，得 ， 因式分解，得 ， 或 ， ，． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）判别方程根的情况； （2）如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 【答案】（1）方程有两个实数根 （2）另一根为， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式（，方程有两个实数根；方程没有实数根）即可知道方程根的情况． （2）将方程的其中一个根代入方程即可求出的值，将值代入方程，利用直接开平方法解出即可求出方程的另一个根． 【小问1详解】 解：， ， 方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：将代入方程得：， ， 将代入方程得：， ， ，， 方程的另一根为． 20. 如图，已知是锐角，C是射线上一点．请用尺规作图法，在射线上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点D和点E，再以点D和点E为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，连接射线，交于点P，此时点P即为所作；设，根据题意可得，，进而即可得出，则可得到． 【详解】解：如下图，点P即为所求， 21. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） ，理由如下； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （2）爸爸接住小丽的地方距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴爸爸接住小丽的地方距地面的高度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，证明是解题的关键． 22. 实验中学九（1）班计划组织同学们利用秋假参加研学活动，某旅行社收费标准如下：若研学人数不超过30人，收费标准为400元/人；若超过30人，每增加1人，每人费用减少5元，但每人不低于280元．若九（1）班共有人参加研学活动． （1）当时，共应支付给旅行社______元的费用； （2）若共支付14000元的费用，求参加研学的同学人数． 【答案】（1）12705 （2）40人 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出每个人应支付的费用，乘以总人数即可求出答案． （2）先根据题意判断参加研学的同学人数大于30，根据题意列方程，解方程，再结合费用不低于280元即可确定最终参加研学的同学的人数． 【小问1详解】 解：由题意可得，总支付费用是, 当时，总费用为（元）． 【小问2详解】 解：， ． 根据题意得：， 解这个方程得：． 当时，． 当时，．（舍） 答：参加研学的同学共有40人． 23. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．已知三个实数，，满足，． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据可得，结合可得，进而证明结论； （2）首先根据题意可得，再结合（1）确定的取值范围，进而获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； （2）该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：______； （3）当时，y的取值范围：______； （4）当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：______． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据图象进行作答即可； （4）求出两个函数的交点坐标，图象法进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，， ∴； 画图略 【小问2详解】 解：令，则，解得， ∴横坐标与纵坐标相同的点为； 【小问3详解】 解：当时，， ∴当时，； 【小问4详解】 解：令，解得， 由图象可知，当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，或. 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． （1）几秒钟后的面积等于8？ （2）当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 【答案】（1）2秒 （2） 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意可得：，，，，根据的面积等于8，列一元二次方程求解即可； （2）根据题意求出，进而得到，取的中点，连接，利用勾股定理及两点之间线段最短即可解答． 【小问1详解】 解：设运动时间为秒， 根据题意可得：，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积等于8， ∴， 整理得一元二次方程：， 解得，， ∵， ∴，即， ∴超出运动范围舍去， ∴2秒后面积为8； 【小问2详解】 解：当时，，解得， ∴， 如图，取的中点，连接， ，， ， ， ∵点是的中点， ， 在中，， ， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长为， ∴的最小值为． 26. 完成以下小题 （1）【课本再现】在苏科版教材九上《1.3一元二次方程的根与系数的关系》的“阅读”内容中，对一元二次方程的根与系数的关系，又探究了不同的推导方法：设该方程的两个根分别是，由因式分解法可知，以为根的一元二次方程可以表示为：，将该方程左边展开，化成一般形式，可得，对照方程的各项系数，可得，于是有：． 请写出一个一元二次方程，使它的两根分别为7和：______． （2）【新知探究】若一元三次方程（）有三个根，请用类似上述方法，探究一元三次方程的根与系数的关系（写出推导过程，结果用含a、b、c、d的代数式表示）． （3）【迁移运用】 ①若一元三次方程三个根分别是，利用上述结论，分别求出的值． ②若一元三次方程有一根，则另外两个根、分别为：______；______． 【答案】（1）（答案不唯一） （2），， （3）①，；②，（或，） 【解析】 【分析】（1）由因式分解法可知，以 、 为根的一元二次方程可写成 ，取 便得到一个满足条件的方程； （2）与一元二次方程类似，把以 、、 为根的一元三次方程写成 ，展开后与 比较对应项的系数； （3）①先用根与系数的关系求出 、、 的值，再把所求两式分别通分，用这三个式子表示；②先求出 与 ，再构造以 、 为根的一元二次方程，从而求出 、． 【小问1详解】 解： 该方程的两根分别为 和 ， 以这两个数为根的一元二次方程可写成 ， 即 ． 所求的一元二次方程可以是 （答案不唯一）． 【小问2详解】 解：设这个一元三次方程的三个根为 、、， 则方程可表示为 ， 展开，得 ， 即 ， 把它与 比较对应项的系数，得 ，，， ，，． 【小问3详解】 解：① 方程 的三个根为 、、， ，，． ， ． ， ． ② 方程 的三个根为 、、，且 ， ，， ，， 、 是一元二次方程 的两个根，即 的两个根， 解得 ，， ，（或 ，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期阶段性学业质量检测九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 如图，“”所指的位置表示的数可能是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 2. 如图，，，、相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 3. 明明晚饭后出门散步，散步行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系大致是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论： ①用配方法解方程，变形后的结果是； ②已知方程可以配成，那么可以配成； ③若关于的方程有实数根，则； ④若可以配成形如的形式，则； ⑤用配方法可以求得代数式的最小值是1． 其中正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 要使得式子有意义，则a的取值范围是_____． 10. 因式分解：＝______． 11. 计算＝______． 12. 方程 的二次项系数为 _____． 13. 若是方程的两根，则________． 14. 若点在反比例函数的图象上，则______． 15. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为__________． 16. 阅读下列材料：求函数的最大值． 解：将原函数化为的一元二次方程，得． 因为为实数，所以，所以． 根据材料给你的启示，则函数的最小值是__________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算． 18. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）判别方程根的情况； （2）如果方程的一根为1，求方程的另一根及k的值； 20. 如图，已知是锐角，C是射线上一点．请用尺规作图法，在射线上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 21. 小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由． （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小丽的？ 22. 实验中学九（1）班计划组织同学们利用秋假参加研学活动，某旅行社收费标准如下：若研学人数不超过30人，收费标准为400元/人；若超过30人，每增加1人，每人费用减少5元，但每人不低于280元．若九（1）班共有人参加研学活动． （1）当时，共应支付给旅行社______元的费用； （2）若共支付14000元的费用，求参加研学的同学人数． 23. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．已知三个实数，，满足，． （1）证明：． （2）若，且，求的取值范围． 24. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求这个函数的表达式，并画出该函数图象的草图； （2）该函数图象上横坐标与纵坐标相同的点：______； （3）当时，y的取值范围：______； （4）当正比例函数的函数值大于该反比例函数的函数值时，x的取值范围：______． 25. 如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． （1）几秒钟后的面积等于8？ （2）当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 26. 完成以下小题 （1）【课本再现】在苏科版教材九上《1.3一元二次方程的根与系数的关系》的“阅读”内容中，对一元二次方程的根与系数的关系，又探究了不同的推导方法：设该方程的两个根分别是，由因式分解法可知，以为根的一元二次方程可以表示为：，将该方程左边展开，化成一般形式，可得，对照方程的各项系数，可得，于是有：． 请写出一个一元二次方程，使它的两根分别为7和：______． （2）【新知探究】若一元三次方程（）有三个根，请用类似上述方法，探究一元三次方程的根与系数的关系（写出推导过程，结果用含a、b、c、d的代数式表示）． （3）【迁移运用】 ①若一元三次方程三个根分别是，利用上述结论，分别求出的值． ②若一元三次方程有一根，则另外两个根、分别为：______；______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $