精品解析：江苏省连云港市灌南县扬州路实验学校2025-2026学年上学期阶段性学业质量检测九年级数学第二次月考试卷

2025—2026学年度第一学期阶段性学业质量检测九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 5. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 6. 求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6和8 D. 若该组数据加入一个数7，则这组新数据的方差不变 7. 如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_____． 10. 抛物线的顶点坐标为________． 11. 若关于的方程有一个根为1，则的值为_____． 12. 《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 13. 《义务教育课程方案（2022版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观，必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳对学生进行综合素质．小明同学本学期五项评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的中位数为_____． 14. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_____去参赛，更有把握赢得比赛． 15. 有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为____． 16. 如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知是二次函数，求a的值． 19. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 20. 某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ （2）根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 21. 宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： （1）李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； （2）本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴的交点坐标分别为和． （1）求此二次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出当时，求的取值范围． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 已知抛物线与x轴正半轴交于点A，顶点为B． （1）求直线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当的长为4时，直接写出t的值． 25. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近，，，，五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 销售单价x/元 35 45 55 65 75 日销售量y/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为__________；设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为____________； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得700元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元． 26. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ （3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 27. “明德”、“启智”是某校校训的两个关键词，“明德”出自儒家经典《礼记·大学》中：“大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善．”强调弘扬光明正大的品德．“启智”出自《六韬》记载姜子牙言：“心以启智，智以启财，财以启众，众以启贤，贤之有启，以王天下．”如今，“明德”与“启智”常被组合使用，构成完整的育人目标，体现了当代教育对传统文化的创造性转化：以“明德”立品，以“启智”赋能，追求德才兼备的人才培养目标．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”． （1）函数是一个“明德启智函数”，直接写出该函数图象上的“明德点”； （2）已知二次函数的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“明德点”． ①求证：该二次函数是一个“明德启智函数”，并求出该函数上所有的“启智点”； ②当，函数有最小值，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期阶段性学业质量检测九年级数学试题 （满分分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 一组数据：4，5，5，6，a的平均数为5，则a的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，直接利用平均数公式即可求解． 根据平均数的定义，数据总和除以个数等于平均数，由此列出方程求解． 【详解】解：∵ 数据4，5，5，6，a的平均数为5， ， ， ． 故选：． 2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式是，其特点是自变量的最高次数为，且二次项的系数不为，函数表达式是整式． 根据二次函数的定义逐一进行判断． 【详解】解：二次函数需满足最高次项为二次且为整式， A：为一次函数，不符合； B：为二次函数，符合； C：为分式函数，不符合； D：为一次函数，不符合． 故选：． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. y轴 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称轴问题，核心是熟练掌握顶点式的性质． 由已知结合抛物线顶点式的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线． 故选：B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】解：， ，，， ， 故该二次函数没有实数根， 故选：C． 5. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是一元二次方程的一般形式是（为常数且），特别注意，这是在解题中容易忽略的知识点． 由一元二次方程常数项为0，得，解方程即可，二次项系数已满足非零条件． 【详解】解：常数项为0， ， ， ， 由二次项系数， ． 故选：． 6. 求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. n的值是5 B. 该组数据的平均数是7 C. 该组数据的众数是6和8 D. 若该组数据加入一个数7，则这组新数据的方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查方差公式的理解及平均数、众数、方差的综合应用，解题的关键是从方差算式中提取数据个数、原始数据等信息，再结合各统计量的定义分析． 根据方差算式可知数据个数，平均数为7，众数为6和8；加入一个数7后，数据更集中，方差变小，即可求解． 【详解】解：方差算式中平方项有5个， ，正确； 数据为， 平均数，B正确； 数据中6和8均出现2次，7出现1次， 众数为6和8，C正确； 原方差 ， 加入一个7后，新数据为，， 平均数， 新方差 ， ， 新数据的方差变小，D错误． 故选：． 7. 如图，在正方形内任取一点O，连接，．如果正方形内每一点被取到的可能性都相同，则是钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 设正方形的边长为a，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积及图形的总面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a， ， 点O落在如图所示以为直径的半圆内． 半圆的面积为：， 正方形的面积是， 满足的概率是． 故选： 8. 如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】把二次函数的解析式可得对称轴，与轴交点坐标为，即可得到所在坐标系的原点． 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是把二次函数的解析式正确的化为顶点式． 【详解】解：∵， ∴对称轴是，与轴交点坐标为， ∴点是二次函数所在坐标系的原点； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 一只不透明的袋子中装有3个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单古典概型概率计算问题，核心是准确区分目标事件的结果数和总结果数，确保无重复、无遗漏计算． 袋子中总球数为个，红球有2个，根据概率的定义即可求解． 【详解】解：袋子中总球数为个，红球有2个， 因此摸到红球的概率为． 故答案为：． 10. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标即可 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是； 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11. 若关于的方程有一个根为1，则的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查方程的根的定义，核心思路是将根代入方程，转化为关于参数的一元一次方程求解，这是求方程中未知参数的常用方法． 将代入方程，可得，求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，即 ，整理得， 解得． 故答案为：． 12. 《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题的核心是掌握增长率的计算公式：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则公式为． 根据票房每日增长率，由第三天的票房量列方程即可． 【详解】解：设平均每天增长率为，则第二天票房为万元， 第三天票房为万元．给定第三天票房为350万元， 故得方程． 故答案为：． 13. 《义务教育课程方案（2022版）》在改进教育评价部分强调：要强化素养导向，注重对正确价值观，必备品格和关键能力的考查，开展综合素质评价．某校积极响应号召，期末从德、智、体、美、劳对学生进行综合素质．小明同学本学期五项评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的中位数为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据图得出五项评价得分并按从小到大的顺序排列为，，，，，根据中位数的定义即可求解． 【详解】解：由图得五项评价得分并按从小到大的顺序排列为，，，，， 所以中位数为， 故答案为． 14. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数（单位：环）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，你认为应该推荐运动员_____去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查平均数和方差的实际意义，平均数是衡量数据的集中趋势，方差是衡量数据的离散程度，二者结合才能全面分析数据特征． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示成绩稳定，应选择平均数高且方差小的运动员． 【详解】解：由表可知，丙的平均数为9.7环，是四名运动员中最高的，表示成绩最好； 方差为，较小，表示成绩稳定； 甲的平均数较高但方差略大；乙的平均数较低；丁的方差过大，成绩不稳定； 因此推荐运动员丙去参赛． 故答案为：丙． 15. 有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、，由正多边形的性质得，求出等边三角形的面积，即可求解． 【详解】解：连接、，作交于， 六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， ， 该亭子地基的面积为， 故答案为． 16. 如图，一次函数图象与坐标轴分别交于点，．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴交直线于，由等腰三角形的判定及性质、勾股定理得，设，则，则有，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：过作轴交直线于， 轴， ， 对于， 当时，， 当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 当时，， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；能将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）用直接开平方求解即可； （2），，，可得，用求根公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ，． 【小问2详解】 解：，，， ， 则， ，． 18. 已知是二次函数，求a的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，解题的核心是紧扣二次函数的两个关键条件：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0． 根据已知可得且，即可求解． 【详解】解：是二次函数， ， 解得或， 又， ． 19. 已知抛物线． （1）判断点是否在此抛物线上． （2）求此抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）点不在此抛物线上 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数的性质． （1）把代入解析式求的值即可判断； （2）把代入解析式求的值即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点不在此抛物线上； 【小问2详解】 当时，， ∴此抛物线与轴的交点坐标为． 20. 某射击队为了从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加市级比赛，对他们进行了5次测试，测试成绩统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 8.8 ①________ 0.96 乙 ②________ 9 0.16 丙 8.8 9 ③________ （2）根据（1）中表格里的信息，你认为推荐谁参加市级比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）①9；②8.8；③0.56． （2） 乙运动员参加市级比赛更合适， 理由：三名运动员成绩的平均数和中位数相同，但是乙运动员的方差更小成绩更稳定，所以乙运动员参加市级比赛更合适． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数和方差，以及利用方差做决策，掌握方差的意义是解题关键． （1）根据平均数、中位数以及方差的定义计算即可； （2）根据方差的意义计算即可． 【小问1详解】 解：甲运动员成绩从小到大排列为：7、9、9、9、10， 则甲运动员的中位数为9； 乙运动员成绩的平均数为：， 丙运动员成绩的方差为：， 【小问2详解】 略 21. 宝丰县某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习．请根据以上信息解答下列问题： （1）李明采用抽签形式选择，抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为__________； （2）本次项目式学习中，九一班选择“A．制作视力表”项目学习的共有四人，包含三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1） （2）恰好选到一名女生和一名男生的概率为 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键． （1）根据概率公式直接求解； （2）通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽到“B．猜想、证明与拓广”项目的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：先将三个女生分别记作“女1”“女2”“女3”，再列表如下： 第一次 女1 女2 女3 男 女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男） 女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男） 女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男） 男 （男，女1） （男，女2） （男，女3） 共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种， ∴恰好选到一名女生和一名男生的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴的交点坐标分别为和． （1）求此二次函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键． （1）将和代入中，利用待定系数法求解； （2）分别求出图象对称轴及与x轴的交点坐标，结合图象即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：将和代入中，得， 解得， ∴此二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴图象的对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，即当时，或． 23. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，由平行线的判定及性质得，即可得证； （2）延长交于点H，过点A作交于点G．由矩形的判定方法得四边形是矩形，四边形是矩形，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点H，过点A作交于点G． 是的直径， ∴， ， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ，，，， ，， ， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，勾股定理等；掌握切线的判定，等腰三角形的判定及性质，直径所对的圆周角为直角，能熟练利用垂径定理、勾股定理进行求解是解题的关键． 24. 已知抛物线与x轴正半轴交于点A，顶点为B． （1）求直线的表达式； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当的长为4时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的性质；能熟练利用待定系数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）由二次函数性质得，当时，求出，用待定系数法即可求解； （2）可得，，由平行坐标轴的直线上两点距离得，即可求解． 【小问1详解】 解：由解析式可知抛物线顶点坐标为， ， 当时，， 解得，， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ， 设直线为， 将点A和点B代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 解：由条件可知点，， ， 的长为4， ∴， ， ∴当时，， 解得， 当时，（无实数解）． ∴t的值为． 25. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定． 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近，，，，五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量y（个）的情况，记录如表： 玩具店 销售单价x/元 35 45 55 65 75 日销售量y/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为__________；设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为____________； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得700元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元． 【答案】任务二：；；任务三：该益智玩具的销售单价应定为60元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，合理列出式子是解题的关键． （1）利用待定系数法求出销售量与销售单价之间的函数关系，再根据总利润每一件利润数量列式即可； （2）把利润和每日支出一起代入利润表达式中运算求解即可． 【详解】（1）设， 把，代入中得： ， 解得：， ∴； ∴日销售利润， 整理得：； 故答案为：；； （2）由题意得：， ∴， 解得：或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴该益智玩具的销售单价应定为元． 26. 如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点N，使面积最大？最大面积是多少？ （3）E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标． 【答案】（1） （2）存在，，的面积最大为1 （3），或，或， 【解析】 【分析】（1）将点A，点C的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）过点N作轴于点E，交于点M，待定系数法的直线解析式为，设点N的坐标为，则点M的坐标为，，由三角形的面积及二次函数的性质即可求解； （3）①以为边，则，且；②以为对角线，则与互相平分；即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，， ，， 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得：， ∴此函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在下方的抛物线上，存在一点N使面积最大；理由如下： 如图1，过点N作轴于点E，交于点M， 设的解析式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 设点N的坐标为，则点M的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大，最大值为1；此时； 【小问3详解】 解：如图2，抛物线对称轴为直线， ①以为边，则，且． 设，则， ， 解得：，， 当时，； 当时，； 故，或，； ②以为对角线，则与互相平分， 设， 的中点， ． 把代入， 得：． ，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数综合应用中的面积问题和特殊四边形问题，能熟练利用二次函数的性质及平行四边形的判定及性质进行求解是解题的关键． 27. “明德”、“启智”是某校校训的两个关键词，“明德”出自儒家经典《礼记·大学》中：“大学之道，在明明德，在亲民，在止于至善．”强调弘扬光明正大的品德．“启智”出自《六韬》记载姜子牙言：“心以启智，智以启财，财以启众，众以启贤，贤之有启，以王天下．”如今，“明德”与“启智”常被组合使用，构成完整的育人目标，体现了当代教育对传统文化的创造性转化：以“明德”立品，以“启智”赋能，追求德才兼备的人才培养目标．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”． （1）函数是一个“明德启智函数”，直接写出该函数图象上的“明德点”； （2）已知二次函数的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“明德点”． ①求证：该二次函数是一个“明德启智函数”，并求出该函数上所有的“启智点”； ②当，函数有最小值，求m的值． 【答案】（1） （2）或 （3） ①经过点，的直线上存在无数个“明德点”， 直线上的点横纵坐标相等，直线方程为， 顶点为“明德点”， ， 二次函数解析式可变为，图象经过“启智点”， ， ，（舍去）， 二次函数解析式可变为， ∵“启智点”的横纵坐标互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴二次函数图象上所有的“启智点”为，， ∴该二次函数是一个“明德启智函数”，二次函数图象上所有的“启智点”为，； ② 【解析】 【分析】（1）由“明德点”得，即可求解； （2）由二次函数抛物线的顶点是一个“明德点”得抛物线的表达式为，由“启智点”得，将点代入抛物线表达式即可求解； （3）①由经过点，的直线上存在无数个“明德点”得直线上的点横纵坐标相等，二次函数（，为常数，）的顶点为，与轴的交点为，图象经过“启智点”，将代入，求出， 从而可求出二次函数解析式可变为，由“启智点”的定义，即可求解； ②由待定系数法得直线的表达式为：， 当时，当时，函数取得最小值； 当时，当时，函数取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 解得：， 即“明德点”为； 【小问2详解】 解：二次函数抛物线的顶点是一个“明德点”， 即，则抛物线的表达式为：， 还经过一个“启智点”， 即，将点代入抛物线表达式得： ， 解得：或， 即抛物线的表达式为：或； 【小问3详解】 解：①略 ②由题意得，点， 当时，， 即点的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得， ∴直线的表达式为：， ∵经过点，的直线上存在无数个“明德点”，即，则直线和重合， ∴且， 解得：，． ∴抛物线的表达式为：． ∵当，函数有最小值， ∵抛物线在顶点处的最小值为， ∴不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，待定系数法等；理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $