精品解析：广西壮族自治区桂林市尚贤学校2026-2027学年上学期九年级数学学情自测试卷

桂林市尚贤学校初2024级启航考初三数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． 2. 如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 【答案】B 【解析】 【分析】根据周长比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4， ∴两个相似三角形的相似比为1：4， ∴它们的周长比是1：4， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的相似比，熟知相似三角形的周长比＝相似比是解本题的关键． 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 4. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：中，，，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边． 5. 如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 6. 在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据非负数的性质得出，，进而求得，，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， 则，， 则， 故为钝角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的同侧，则A点的两个坐标分别乘即得D的坐标． 【详解】解∶∵在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点， ∴其对应点D的坐标为，即， 故选∶A． 8. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 9. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 10. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【详解】四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． 12. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义得到线段之间的关系，代入已知边长计算即可． 【详解】解：∵ 为成比例线段， ∴ ，即， ∵， ∴． 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据迎水坡的坡度是计算即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡度是，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得；即DC2=ED?FD，代入数据可得答案． 【详解】根据题意，作△EFC， 树高为CD，且∠ECF=90°，ED=3，FD=12， 易得：Rt△EDC∽Rt△DCF， 有，即DC2=ED×FD， 代入数据可得DC2=36， DC=6， 故答案为6． 16. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论； 根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】证明：（1）略． 解：（2）∵， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴在中，． 又∵， ∴， ∴． 【点晴】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键. 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； （3）和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． 可得． 20. 求南北走向的观光大道的右侧有两座新建的休憩亭和，点在上，亭位于点的北偏东方向，亭位于点的南偏东方向．小明从点出发，以的速度沿方向步行，后到达亭，此时发现亭恰好位于亭的正南方． （1）求点到的距离； （2）求亭，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，算出和，进而求出即为点到的距离； （2）先求出，进而可证，再利用三角函数求出，最后利用求出． 【小问1详解】 解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ， 故点到的距离为． 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 据（1）知， ， ， ， ， ． 21. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）旗杆的高度米 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 22. 【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． （2）【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） （3）【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） （4）【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 【答案】（1），； 证明：， ， ； （2）米． （3）米； （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果； （2）根据题意得出四边形是矩形，再根据锐角三角函数求解即可； （3）根据题意推出米，米，设米，在直角三角形中，利用锐角三角函数得出，进而解方程即可； （4）同（3）理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 四边形是矩形， 米，米， 在中，， ， （米）， （米）， 答：树高为米． 【小问3详解】 解：由题意可知，，，，米， ，， 点、到地面的距离、均为米， 米， 四边形是矩形， ，米， ， 米， 设米， 在中，， 米， 在中，， （米）， ， ， ，即米， 米， 答：的长为米； 【小问4详解】 解：由（3）可得，，， 设， 在和中，，， ， ， 解得：，即， ． 23. 综合与实践： 纸是我们生活中常见的打印纸，这个看似普通的矩形纸张里，隐藏着一个神奇的数学奥秘，正是这个奥秘使其在印刷、缩放、复印和装订中具有无可替代的实用性——不仅能让各种规格的纸张维持一致的比例，还能在反复对折裁剪时最大限度的减少浪费．这个奥秘就隐藏在它的边的比例中．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动． 【问题探究】 （1）如图①，将一张纸沿它的一条对称轴折叠，展开后，发现折痕两侧的两个小矩形与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形．则纸的较长边与较短边的比值为___________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，连接，过点作交于点．求证：点为边的中点； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图③，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【创新应用】 （4）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图④，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，矩形矩形，矩形矩形，为四边形的对称轴，， ∴可得：，，，. ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ∴点为边的中点； （3）；（4）． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、相似多边形的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的性质等，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质求出，根据相似多边形的性质得出，再根据矩形的性质等量代换即可求解； （2）根据折叠的性质和矩形的性质，从而推出，得到，等量代换即可求解； （3）连接交于点，交于点．由折叠知，，先证明，得出，通过等量代换求出，再证明，根据相似的性质结合折叠的性质设，得到，，最后根据的勾股定理得到，最后等量代换即可求解； （4）由（1）得，设，，再结合矩形的性质和折叠的性质得，，根据勾股定理求出，，、为等腰直角三角形，进而求出，然后根据平行求出，运用性质解出、，最后利用勾股定理推出，结合三角形的面积公式和即可求解． 【详解】解：（1）∵一张纸沿它的一条对称轴折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴，解得：， ∴纸的较长边与较短边的比值为； （2）略 （3）如图，连接交于点，交于点．由折叠知，， 由（2）知：，， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设，由折叠知，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． （4）∵矩形， ∴， ∵由（1）得：， ∴设，， ∵沿折叠得，沿折叠得， ∴，，， ，， ∵在中， ∴根据勾股定理：， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂林市尚贤学校初2024级启航考初三数学试题卷 考试时间：120分钟 总分：120分 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号填写在试卷和答题卡上． 2考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的值等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 如果两个相似三角形对应边的比为1：4，那么它们的周长比是（　　） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 在中，都是锐角，且，则的形状是(　　) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比1∶2，若点，则其对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，E为上一点，连接，且交于点，则（ ） A. 2:3 B. 2:5 C. 3:5 D. 3:2 12. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 已知为成比例线段，其中，则的长度为__________． 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡度是，则的长是________米． 15. 如图，小明在A时测得某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________米. 16. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； （2）以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； （3）和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 20. 求南北走向的观光大道的右侧有两座新建的休憩亭和，点在上，亭位于点的北偏东方向，亭位于点的南偏东方向．小明从点出发，以的速度沿方向步行，后到达亭，此时发现亭恰好位于亭的正南方． （1）求点到的距离； （2）求亭，之间的距离．（结果保留根号） 21. 淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． （1）如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． （2）嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 22. 【项目式探究】某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心处，另一端系小重物．测量时，使支杆、量角器刻度线与铅垂线相互重合（如图①），绕点转动量角器，使观测目标与直径两端点、共线（如图②，此时目标的仰角是图②中的__________．目标的仰角与图②中的∠ ________相等，请写出这两个角相等的证明过程． （2）【实地测量】如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点处测得树顶端的仰角，观测点与树的距离为5米，点到地面的距离为米，求树高．（，结果精确到米） （3）【综合应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端距地面的高度（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点、，、、在同一直线上，分别测得点的仰角，，测得、间的距离2米，点、到地面的距离、均为米，求的长（结果保留根号） （4）【拓展探究】在（3）的条件下，分别测得点的仰角、，再测得、间的距离，点、到地面的距离、均为，则用含的式子表示为__________． 23. 综合与实践： 纸是我们生活中常见的打印纸，这个看似普通的矩形纸张里，隐藏着一个神奇的数学奥秘，正是这个奥秘使其在印刷、缩放、复印和装订中具有无可替代的实用性——不仅能让各种规格的纸张维持一致的比例，还能在反复对折裁剪时最大限度的减少浪费．这个奥秘就隐藏在它的边的比例中．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习活动． 【问题探究】 （1）如图①，将一张纸沿它的一条对称轴折叠，展开后，发现折痕两侧的两个小矩形与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形．则纸的较长边与较短边的比值为___________； 【基础应用】 （2）在（1）的条件下，如图②，连接，过点作交于点．求证：点为边的中点； 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，如图③，继续折叠图①中的纸，使点落在边上的点处（所在直线仍是矩形的对称轴），折痕为，连接．求的值； 【创新应用】 （4）受上面的折叠启发，学习小组中爱动脑筋的小聪设计了新的折纸方案．如图④，他取一张与图①中一样的纸，进行如下操作：先折叠该纸，使点落在边上的点处，折痕为（点在边上）；随后将纸展平，连接，并将沿翻折，得到，发现点恰好落在线段上，连接，再次展平纸．设折痕与相交于点，与相交于点．若已知，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $