精品解析：广西壮族自治区桂林市逸仙中学2026-2027学年上学期九年级10月数学素养评估

2024级2026年10月数学素养评估 考试用时：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，逐一判断选项即可求解． 本题考查相似图形的定义，熟练掌握图形的形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形是解题的关键． 【详解】解：A．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； B．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； C．形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意； D．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，关键是熟练应用比例的性质解题；利用“两内项之积等于两外项之积”将比例式转化为乘积式，即可求出的值 【详解】解：∵， ∴， 故答案选：A． 4. 若，，则对应边上的中线之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 5. 下列与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两三角形相似需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 6. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 7. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 8. 如图，在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 9. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 10. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 18 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴比， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：C． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【解析】 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 12. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：，， ，故①符合题意； ， ，故②符合题意； ③，且夹角， ，故③符合题意； ④， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 14. 已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【解析】 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 15. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 16. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴，  ， ∴  ， ∴ ， ∴ ，  ∴ ， ∵ ，  ∴  ， ∴. 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 18. 如图所示的两个四边形是相似图形，根据图中数据，试分别确定，，的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，解答即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ，，， 即． ，，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）； （3）14 【解析】 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． （1）求的长； （2）如果，则求的长． 【答案】（1）9 （2）10 【解析】 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【小问1详解】 解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； 【小问2详解】 解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 21. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】（1）5米 （2）缩短了，缩短了米 【解析】 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； 【小问2详解】 解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 22. 如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 四边形是菱形， ，， 由（1）知，， ， 又， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可； （2）由菱形可得，，由（1）知，，则，再由三线合一得到，最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； （3）先证明，再证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， 设，则，， ， ∵ ， ∵， ， ． 23. 有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． （2）如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． （3）如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 【答案】（1）；两角分别相等的两个三角形相似； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似得到，继而根据相似三角形对应线段成比例得到，即． （2）根据勾股定理得到，继而根据得到，继而得到点的坐标． （3）通过证明，得到，继而根据，得到，继而得到，得到，利用勾股定理得到的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意，得，， ， 由（1）可得， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级2026年10月数学素养评估 考试用时：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则对应边上的中线之比是（ ） A. B. C. D. 5. 下列与图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 7. 铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（ ） A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m 8. 如图，在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 10. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 8 B. 18 C. 32 D. 64 11. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 12. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则的值是______． 14. 已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 15. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 16. 如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 三、解答题（本大题共7题，共72分） 17. 如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 18. 如图所示的两个四边形是相似图形，根据图中数据，试分别确定，，的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； （2）直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； （3）求的面积． 20. 如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． （1）求的长； （2）如果，则求的长． 21. 如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． （1）求小明在A点处的影子的长度； （2）当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 22. 如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求与的面积之比． 23. 有这样一道练习题： 找出图中所有的相似三角形，并说明理由． （1）数学兴趣小组的同学对本题进行深入研究得出．理由如下： ， ， ， ， ， （依据②）， ， ． 请完成填空：①______________；②依据是________________________；③___________________． （2）如上图，若以所在直线为轴，所在直线为轴，点为坐标原点，当，时，则点的坐标为______________． （3）如图，在中，，，垂足为，为线段上一点，连结并延长至点，连结．若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $