第十五章 轴对称 单元测试卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册第十五章轴对称单元测试卷 一、选择题 1．下列图形中，一定是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形　　B．直角三角形　　C．等腰三角形　　D．梯形 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A=60°，∠C=40°，则∠B′的度数为（　　） A．40°　　B．60°　　C．80°　　D．100° 3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于点E，交BC于点D，连接AD．若AB=6，BC=10，则△ABD的周长是（　　） A．6　　B．10　　C．16　　D．20 4．在平面直角坐标系中，点A(3，-2)关于y轴对称的点的坐标是（　　） A．(-3，-2)　　B．(3，2)　　C．(-3，2)　　D．(2，-3) 5．已知等腰三角形两边的长分别为4和9，则它的周长是（　　） A．17　　B．22　　C．17或22　　D．无法确定 6．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．△ABC≌△A′B′C′　　B．BO=B′O　　C．AA′⊥MN　　D．∠A=∠C′ 7．若点P(m-1，3)与点Q(2，n+1)关于x轴对称，则m+n的值为（　　） A．-1　　B．1　　C．5　　D．7 8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若BD+CE=7，则线段DE的长为（　　） A．3.5　　B．7　　C．14　　D．无法确定 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若CD=2，则BD的长为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．6 10．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，且△ABC的面积为12．EF垂直平分AB，交AB于点E，交AD于点F．P是线段EF上的一个动点，连接PB、PD，则△PBD周长的最小值是（　　） A．6　　B．7　　C．8　　D．10 二、填空题 11．点P(-3，4)关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠DBC=　　　　　°． 13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．若BC=10，则△ADE的周长是　　　　　． 14．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长是　　　　　． 三、解答题 15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D．求∠DAC的度数． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，1)，B(-3，-2)，C(1，-2)． （1）求△ABC的面积； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁、B₁、C₁的坐标． 17．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，连接CE．求证：BD=CE． 18．如图，一条笔直的河流l的同侧有A、B两个村庄，A到河岸的距离AC=300 m，B到河岸的距离BD=200 m，两村庄沿河岸方向的距离CD=1200 m．现要在河岸上建一个水泵站P，向A、B两村供水，使PA+PB最短，求PA+PB的最小值． 四、综合题 19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DG⊥BC于点G且BG=CG． （1）求证：BE=CF； （2）若AB=9，AC=5，求AE、BE的长． 20．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，坐标分别为A(1，1)，B(4，1)，C(1，5)． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （2）求△ABC的面积； （3）求BC边上的高． 21．如图，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E． （1）求证：AE⊥BC； （2）若BC=8，AB=5，求AE的长． 22．如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F． （1）判断△EBO、△FCO的形状，并写出EF与BE、CF之间的数量关系； （2）如图②，若∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，写出EF与BE、CF之间的数量关系． 23．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，点D为AB的中点．动点P从点B出发，沿BC方向以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个单位长度的速度向点A运动．设运动时间为t秒． （1）当t=1时，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； （2）若点Q的运动速度改为每秒x个单位长度，其他条件不变，是否存在x的值，使△BPD≌△CQP？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断：平行四边形（一般情况）不是轴对称图形，直角三角形（一般情况）不是轴对称图形，梯形（一般情况）不是轴对称图形，等腰三角形是轴对称图形．故选C． 2．【答案】C 【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠B′=∠B．∵∠A=60°，∠C=40°，∴∠B=180°-60°-40°=80°，∴∠B′=80°．故选C． 【分析】利用成轴对称的两个图形全等、对应角相等求解． 3．【答案】C 【解析】【解答】∵DE垂直平分AC，∴AD=CD．∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=6+10=16．故选C． 【分析】由线段垂直平分线的性质把AD转化为CD，从而把△ABD的周长转化为AB+BC． 4．【答案】A 【解析】【解答】点A(3，-2)关于y轴对称的点的坐标是(-3，-2)．故选A． 【分析】关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 5．【答案】B 【解析】【解答】当4为腰时，三边为4、4、9，∵4+4=8＜9，不能构成三角形；当9为腰时，三边为9、9、4，能构成三角形，周长为9+9+4=22．故选B． 【分析】等腰三角形需分腰长讨论，并用三角形的三边关系检验． 6．【答案】D 【解析】【解答】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，∴△ABC≌△A′B′C′，BO=B′O，AA′⊥MN；而∠A与∠C′不是对应角，一般不一定相等．故选D． 【分析】根据轴对称的性质逐项判断，注意对应关系． 7．【答案】A 【解析】【解答】∵点P(m-1，3)与点Q(2，n+1)关于x轴对称，∴m-1=2，n+1=-3，解得m=3，n=-4，∴m+n=3+(-4)=-1．故选A． 【分析】关于x轴对称的两点横坐标相等、纵坐标互为相反数，据此列式求解． 8．【答案】B 【解析】【解答】∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠OBC．∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO．同理EC=EO．∴DE=DO+EO=DB+EC=7．故选B． 【分析】由角平分线和平行线可得等腰三角形，把DE转化为DB+EC． 9．【答案】C 【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°．∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∠DAB=∠B=30°，∴∠DAC=∠A-∠DAB=60°-30°=30°．在Rt△ACD中，∠C=90°，∠DAC=30°，∴AD=2CD=4，∴BD=AD=4．故选C． 【分析】由垂直平分线得DA=DB，再结合30°角所对的直角边等于斜边的一半求AD． 10．【答案】B 【解析】【解答】∵EF垂直平分AB，∴PA=PB，∴△PBD的周长=PB+PD+BD=PA+PD+BD．∵PA+PD≥AD，当点P与点F重合时取等号，∴△PBD周长的最小值为AD+BD．∵S△ABC=½×BC×AD=½×6×AD=12，∴AD=4．又AB=AC，AD⊥BC，∴BD=½BC=3．∴最小值为4+3=7．故选B． 【分析】利用垂直平分线的性质把PB转化为PA，再用两点之间线段最短求最小值． 11．【答案】(-3，-4) 【解析】【解答】点P(-3，4)关于x轴对称的点的坐标是(-3，-4)． 【分析】关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 12．【答案】45 【解析】【解答】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°．∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DBA=∠A=30°．∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°． 【分析】先由等腰三角形的性质求∠ABC，再由垂直平分线得DA=DB，最后作差求角． 13．【答案】10 【解析】【解答】∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DA=DB．∵AC的垂直平分线交BC于点E，∴EA=EC．∴△ADE的周长=AD+DE+EA=DB+DE+EC=BC=10． 【分析】用垂直平分线的性质把AD、AE分别转化为DB、EC，从而把周长转化为BC． 14．【答案】27 【解析】【解答】当5为腰时，三边为5、5、11，∵5+5=10＜11，不能构成三角形；当11为腰时，三边为11、11、5，能构成三角形，周长为11+11+5=27． 【分析】等腰三角形需分腰长讨论，并用三角形的三边关系检验． 15．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°．∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°．∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-30°=90°． 【解析】【分析】先由等腰三角形的性质求底角，再由线段垂直平分线的性质得等腰三角形，最后作差求角． 16．【答案】解：（1）由图可知BC=1-(-3)=4，BC边上的高为点A与点B的纵坐标之差，即1-(-2)=3，∴S△ABC=½×4×3=6． （2）△A₁B₁C₁如图所示，A₁(2，1)，B₁(3，-2)，C₁(-1，-2)． 【解析】【分析】（1）以BC为底，利用坐标求底和高，再由三角形的面积公式计算；（2）关于y轴对称的两点横坐标互为相反数、纵坐标相等，据此写出各点坐标并连线． 17．【答案】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE． 【解析】【分析】利用等边三角形的性质得两组边相等和一组角相等，再用SAS证明全等，从而得到对应边相等． 18．【答案】解：作点B关于河岸l的对称点B′，连接AB′交l于点P，则点P即为水泵站的位置，此时PA+PB最短． 由轴对称的性质可知PB=PB′，∴PA+PB=PA+PB′=AB′．过点B′作B′E⊥AC，交AC的延长线于点E，则四边形CDB′E为矩形，∴B′E=CD=1200 m，CE=DB′=BD=200 m，∴AE=AC+CE=300+200=500 m． 在Rt△AEB′中，AB′=√(AE²+B′E²)=√(500²+1200²)=1300（m）． 答：PA+PB的最小值为1300 m． 【解析】【分析】利用轴对称把同侧两点的问题转化为“两点之间线段最短”，再用勾股定理求解． 19．【答案】解：（1）连接DB、DC．∵DG⊥BC且BG=CG，∴DG垂直平分BC，∴DB=DC．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，DB=DC，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF． （2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF．∵AE=AB-BE=9-BE，AF=AC+CF=5+BE，∴9-BE=5+BE，解得BE=2，∴AE=9-2=7．即AE=7，BE=2． 【解析】【分析】（1）由垂直平分线得DB=DC，由角平分线得DE=DF，再用HL证全等；（2）用HL证Rt△ADE≌Rt△ADF得AE=AF，再借助线段的和差列式求解． 20．【答案】解：（1）△A′B′C′如图所示，A′(-1，1)，B′(-4，1)，C′(-1，5)． （2）S△ABC=½×3×4=6． （3）∵BC=√((4-1)²+(1-5)²)=√(9+16)=5，设BC边上的高为h，则½×5×h=6，解得h=12/5，即BC边上的高为12/5． 【解析】【分析】（1）先求各顶点的对称点，再顺次连接；（2）以两条直角边为底和高直接计算；（3）用勾股定理求BC，再由面积公式求高． 21．【答案】解：（1）∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB=DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是BC的垂直平分线．∵AD的延长线交BC于点E，∴AE⊥BC． （2）由（1）知AE垂直平分BC，∴BE=½BC=½×8=4．在Rt△ABE中，AE=√(AB²-BE²)=√(5²-4²)=3． 【解析】【分析】（1）由到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，得AD是BC的垂直平分线；（2）用勾股定理求AE． 22．【答案】解：（1）△EBO和△FCO都是等腰三角形，EF=BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC．∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠EBO=∠EOB，∴EB=EO．同理FC=FO．∴EF=EO+OF=BE+CF． （2）EF=BE-CF．理由：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC．∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠EBO=∠EOB，∴EB=EO．∵CO平分∠ACD，∴∠ACO=∠OCD．∵EF∥BC，∴∠FOC=∠OCD，∴∠ACO=∠FOC，∴FC=FO．∴EF=EO-FO=BE-CF． 【解析】【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质得到等角，从而判定等腰三角形，再用线段的和差得出结论． 23．【答案】解：由题意得BP=3t，CQ=3t． （1）全等．理由：当t=1时，BP=3，CQ=3，CP=BC-BP=8-3=5．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又BD=½AB=5=CP，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）． （2）存在．∵∠B=∠C，∴当△BPD≌△CQP时，BP=CQ，BD=CP，即3t=xt，5=8-3t．由8-3t=5，得t=1，代入3t=xt，得x=3．∴存在x=3，使△BPD≌△CQP． 【解析】【分析】（1）求出t=1时各线段的长，用SAS判定全等；（2）由全等的对应关系列出方程组求解． 学科网（北京）股份有限公司 $