第十五章 轴对称--等腰三角形 专题练 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

第15章 轴对称--等腰三角形 重点题型归纳 专题练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，直线，点A在直线m上，点B、C在直线n上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 4．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 5．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 6．如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 7．某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，其中一组同学的作法如图所示，以为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，点是上任一点，以为圆心，以同样长为半径画弧交于点，以为圆心，以长为半径画弧交前弧于点，作射线，然后以为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即为的角平分线．根据作图过程，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长是________． 10．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均为格点，连接，，，，则________． 12．如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上，连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填序号） 三、解答题 13．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 14．如图，在中，，，点是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点在直线的下方，平分，交于点，连接．若是以为腰的等腰三角形，求的度数． 15．如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 16．如图，从A处观测C处的仰角，现以点D为圆心，长为半径画弧，交于点B． (1)求的度数． (2)从C处观测A，B两处的视角是多少度？ 17．如图，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由． （1）∵中，， ∴________（________）． （2）∵中，，， ∴垂直平分________（________）． （3）∵中，，， ∴________（________） （4）∵中，，， ∴________（________）． 18．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 19．在中，，平分，平分． (1)你能得到什么结论呢？ (2)过点A作于D，你能得到什么结论？ 20．如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C B A D B 1．C 【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的定义得到，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∵， ∴． 2．A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 3．B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 4．C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 5．B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 6．A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 7．D 【分析】根据作图步骤得到，，结合平行线判定及等腰三角形性质逐项判断即可 【详解】由作图过程可知，是作出的等于的角， ，故A选项结论正确； ， （同位角相等，两直线平行），故B选项结论正确； 由作图过程可知，， （等边对等角），故C选项结论正确； ， （两直线平行，内错角相等）， ， 即平分， ， 又， ，故D选项结论错误． 8．B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9． 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形三边关系，解决本题的关键是要能根据非负数的性质求出的值，再根据或作为腰进行分类讨论．根据绝对值和算术平方根的非负性，由等式求出和的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系讨论可能的边长组合，并计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，． ∵是等腰三角形，且，是两条边的边长， ∴分两种情况讨论： ①当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． ②当腰长为时，三角形三边为，，， 满足三角形三边关系（，，），周长为． 故答案为：或． 10．21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．①②③④ 【分析】过点作于点，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ， ，故③正确； 为边上的高， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在和中， ， ， ，故④正确； ，， ， 平分， ， ，故②正确； 综上分析可知，①②③④正确． 13．(1) ∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 14．或 【分析】先根据等腰的边长和角度条件，计算出底角和的度数，设的度数为，利用折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，用表示出、，进而表示出的度数，根据角平分线的性质，得到和的度数表达式，结合角度和差关系推导和的全等条件，得到的度数，用表示出三个内角的度数，再分两种情况讨论等腰的腰的对应关系，分别列方程求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 当时， ∴，即， 解得， 当时， ∴，， 即， 解得， ∴的度数为或． 15．(1)如图，射线即为所求； (2)证明：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴； (3)证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（2）得， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由已知求出，则，再根据角平分线的性质得，即可证明； （3）证明得到，再结合（2）的结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 又∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 17．（1）；等边对等角；（2）；三线合一 ；（3）；三线合一；（4）；三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，利用三线合一和等边对等角逐题完善几何语言，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵中，， ∴（等边对等角）； （2）∵中，，， ∴垂直平分（三线合一）； （3）∵中，，， ∴（三线合一）； （4）∵中，，， ∴（三线合一）； 故答案为： ；等边对等角；；三线合一 ；；三线合一；；三线合一． 18．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)等腰三角形 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，等量代换，得到，即可得到平分； （2）等角对等边，得到，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 19．(1)是等腰三角形；是等腰三角形； (2)，，，． 【分析】（1）由等角对等边得到，则是等腰三角形；由角平分线的定义推出，则可证明，得到是等腰三角形； （2）由三线合一定理可得，，则可推出，． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：如图所示， ∵， ∴，， 又∵， ∴，． 20．(1)证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21． （1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】解：（1）略 （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $