第十五章 轴对称（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版八年级上册

第十五章 轴对称（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 3．到三角形的三边距离相等的点是（     ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 4．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以A为圆心，长为半径作弧，与交于点D，以C为圆心，长为半径作弧，与交于点E，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 6．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（     ）度 A．120 B．30 C．15或75 D．30或120 7．如图，已知，点C在线段上，，，下列关于结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：是等腰直角三角形．    结论Ⅱ：． 结论Ⅲ：连接，阴影部分的面积为8． A．结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B．只有结论Ⅰ不对 C．只有结论Ⅱ不对 D．只有结论Ⅲ不对 8．如图，中，，平分，平分， ，过点P作，分别交、于M、N，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 9．如图，在和中，，，，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在等边三角形中，E是边的中点，于点D，P是上的动点，若，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在中，，平分，于点E，于点F，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在锐角中，，的垂直平分线，相交于点O，连接，，，延长交于点D，于点E，交于点G．若，，，则的长为（     ） A． B．12 C． D．16 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．“等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题：___________________________________． 14．已知点A的坐标为，则点A关于y轴对称的点的坐标是___________． 15．如图，O为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，，则的长为__________． 16．如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点E对应点为，与边相交于点D，恰好是的角平分线，则________，若，则________． 17．如图，的面积为9，，，点D，E，F分别是，，边上的动点，则周长的最小值为_________． 18．如图，，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）在直角坐标系内的位置如图所示： （1）请画出关于x轴对称的； （2）直接写出，，的坐标，即（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____） 20．（8分）如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与证明： （1）用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，求证：． 21．（8分）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点E． （1）若，，求的周长； （2）若，求的度数． 22．（8分）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长是底边长的2倍，求它的三边长． （2）能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长；若不能，请说明理由． 23．（10分）如图，在中，直线l是边的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接． （1）若，，求的周长； （2）如图，已知点F在线段上，且点F在边的垂直平分线上，连接，，试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 24．（10分）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25．（10分）已知，在中，． （1）_________°； （2）如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，若，求证：； （3）如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：． 26．（10分）阅读与思考 三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle，1780-1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard，1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点，满足，则点Q叫做的布洛卡点，叫做布洛卡角． 任务一： （1）若点Q是等边的布洛卡点，则布洛卡角的度数为________． 任务二：在中，，，点P是的一个“布洛卡点”， 是“布洛卡角”． （2）若时，求点C到直线的距离．请在图2中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理． （3）若点E、F分别为、边上的动点，当的周长取得最小值时，求的度数． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 B C B C A C A D D c A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.轴对称图形是等腰三角形 14.(2,5) 15.4 16.22.5,2 17.6 18.2个 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.【答案】(1)作图见解析；(2)0，-3，-4,4，-2，-1 【解析】解：(1)如图， △ABC 即为所求作的三角形： 5-4-3-2-10 2345x B (2)解：由图可知，4(0，-3)，B(4,-4).C(-2,-1) 20.【答案】(1)作图见解析：(2)证明见解析 【解析】(1)解：如图，即为所求： 1/12 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 E B (2)证明：：△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC,∠C=∠ABC=45°， :BD平分∠ABC,AE平分∠BAC,∠BAC=90°， ∠BAE=1∠CAB=45°∠ABE=∠ABC=22.50 .∠ADE=90°-∠ABE=67.5°，∠AED=∠BAE+∠ABE=67.5°， ∠ADE=∠AED. .AD AE, :BD平分∠ABC,∠BAC=90°，DF⊥BC, :AD=DF, .AE DF, :∠C=45°，DF⊥BC, ∴.△CDF为等腰直角三角形，CF=DF, .AE =CF, ,∠C=∠BAE=45°，AC=AB, :△CFA≌aAEB(SAS) .BE=AF. 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.【答案】(1)14：(2)∠C=36° 【解析】(1)解：，△ABC中，∠A=∠ABC, .AC=BC=8. :DE垂直平分BC, ∴EB=EC, 又：AB=6, .△ABE的周长为： AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=6+8=14 (2)解：EB=EC, .∠C=∠EBC, :∠AEB=∠C+∠EBC, .∠AEB=2∠C, BE BA, .∠AEB=∠A, 又：AC=BC, .∠CBA=∠A=2∠C, :∠C+∠A+∠CBA=180°. :.5∠C=180°， ∠C=36° 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.【答案】(1)4cm,8cm,8cm;(2)不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由见解析 【解析】(1)解：设底边长为cm,则腰长是2xcm, 由题意可得x+2x+2x=20 解得x=4, 则2x=8, ∴.该等腰三角形的各边长为4cm,8cm,8cm: (2)解：不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由如下： 设边长为cm ,等边三角形三边相等， :3y=20 20 3(不是偶数) ∴.不能围成一个边长是偶数的等边三角形. 23.【答案】(1)19：(2)点F在边AC的垂直平分线上，理由见解析 【解析】(1)解：：直线I垂直平分BC,交AB于点D, ∴.CD=BD ∴.AD+CD=AD+BD=AB. :.AD+CD+AC=AB+AC=13+6=19. 即△ACD的周长为19. (2)解：点F在边AC的垂直平分线上，理由如下： 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接AF, B :点F在边AB的垂直平分线上， .AF=BF, :点F在线段DE上，DE垂直平分BC, .BF=CF, .AF =CF, .点F在AC的垂直平分线上 24.【答案】(1)证明见解析：(2)3 【解析】(1)证明：连接CD, :DG垂直平分BC, .BD=CD. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, :DE =DF, 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD DE=DF, .Rt△BDE≌RtACDF(HL) .BE=CF: 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：在RtAADE和RtAADF中， AD=AD DE=DF, :Rt△MDE≌RteADF(HL) .'AE=AF, AE=AB-BE,AF=AC+CF. .AB-BE=AC+CF, 即2BE=AB-AC,解得BE=3. 25.【答案】(1)90；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】(1)解：：∠ACB=2∠ABC=2∠BAC, 又：∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， .∠ACB=90°， (2)证明：如图1中，过点C作CT⊥CD交EB的延长线于T,连接DT, E 图1 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :EB⊥AB,∠ABC=∠A=45°， .∠EBD=∠DBT=90°， ∠A=∠CBT=45°， :∠ACB=∠DCT=90°， .∠ACD=∠BCT, 在△ACD和△BCT中， ∠A=∠CBI CA=CB ∠ACD=∠BCT :△ACD2BCT(ASA) .AD=BT,CD=CT, AD+BE DE. .BE+BT=BE+AD=DE,· .ED=ET, .CD=CT, .EC垂直平分线段DT, .∠DCE=∠TCE=45°： (3)证明：由(1)得AC=BC,∠ACB=90°，∠BAC=45°， 过点A作 401MWN,交PC延长线于点Q,设PC与BM交点为红，如图 7/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :40 LAM PC.⊥BM ∠OAC=∠CHM=90° ∠ACQ=∠HCM :<0=M 在aC40和△BCM市， ∠Q=∠M :∠QAC=∠BCM AC=BC ·△CAO≌sBCM(AAS). AO=CM OC=BM .CM=AN, :40=4w .∠BAC=45°， :∠N4P=180°-45°=135°，∠01P=∠04C+∠B4C=90°+450=135° .∠NAP=∠QAP 在ANAP AP 和 中， 8/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NA=OA ∠NAP=∠QAP AP=AP :△WAP≌aOAP(SAS) NP=OP MB+CP=OC+CP=OP=NP .NP=MB+CP 26.【答案】(1)30°：(2)见解析：(3)90° 【解折】山解：刻图。46C为等边三角形，点Q是特边△ABC AO BO 的布洛卡点，并且连接 co :4B=BC=CA,∠BAC=∠ACB=∠CBA=60°∠CAQ=∠AB0=∠BCQ=a :1=∠BMC-∠C40=60-a∠2=∠CBA-∠AB0=60°-a .∠1=∠2 AB=BC∠ABO=∠BCQ △ABQ≌△BCQ(ASA) BO=CO :22=∠BC0 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即60°-a=a, 解得，a=30° (2)解：如图，点P是△ABC的一个“布洛卡点”，∠PAC是“布洛卡角”，连接AP,BP,CP, 过点C作CH⊥AP交AP的延长线于点H, .∠CAP=∠ABP=∠BCP=a,∠CHA=90°. :∠BAC=90°，AB=AC, ∠BMP=∠BAC-∠PAC=90-a,∠ABC=∠ACB=180-90 =45° 2 :∠4PB=180-∠BAP-∠ABP=180°-(90°-m)-a=90 ,∠APB=∠CHA=90°. .∠APB=∠CHA,∠ABP=∠CAP,AB=AC, :△MBP≌*CAH(AAS) .BP=AH=5,AP=CH,∠BAP=∠ACH=90°-a. .∠ACP=∠ACB-∠BCP=45°-C, .∠PCH=∠ACH-∠ACP=(90°-)-(45°-a)=45° .∠CPH=90°-∠PCH=45°， 10112 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 .∠CPH=∠PCH, .PH=CH .PH=AP=1AH=5 , CH=PH-2. 5 即点C到直线AP的距离为2， (③)解：如图，分别作点P关于直线4C、BC的对称点、B,连接B,交4C于点B,交BC于 点R,连接PE、PF、C、CB、CP 则此时△PEF的周长取得最小值， 由轴对称的性质得， EP=EP FP=FP CP=CPCP=CP .CR=CB .∠7=∠8 .CP=CR,EP=EP CE=CE :△ECR≌*ECP(SSS) 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠3=∠4，∠7=∠CPE, CP=CB FP=FP CF=CF :△FCP≌FCP(SSS) .∠5=∠6，∠8=∠CPF. 由(2)可知，∠ABC=∠ACB=45°，即∠4+∠5=45°， .∠3+∠6=45°， :∠C3=∠4+∠5+∠3+∠6=45°+45°=90° :∠7=∠8=180°-90 2 -=45° .∠7=∠CPE=45°，∠8=∠CPF=45°， .∠EPF=∠CPE+∠CPF=45°+45°=90° 12112函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十五章轴对称（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列图形中是轴对称图形的是( 【答案】B 【解析】解：A,不是轴对称图形，故该选项不符合题意： B.是轴对称图形，故该选项符合题意： C.不是轴对称图形，故该选项不符合题意： D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意。 2.下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是() 【答案】C 【解析】解：A.该尺规作图是作角平分线，不符合题意： B.该尺规作图是作垂线，不符合题意： C.该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意： D.该尺规作图是作线段，不符合题意. 3.到三角形的三边距离相等的点是() A.三角形三条高的交点 B.三角形三条内角平分线的交点 C.三角形三条边的垂直平分线的交点 D.三角形三条中线的交点 【答案】B 【解析】解：到三角形一个内角的两边距离相等的点在这个内角的平分线上，到三角形三边距离相等的点 是三条内角平分线的交点. 1/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，折叠一张长方形纸片，已知1=68°，则∠2的度数是() A.42° B.52° C.56° D.62° 【答案】C 【解析】解：由题意得：AB∥CD,∠HEF=∠2， .∠CEH=∠1=68°， :2=080e-∠CBA)=56 5.如图，在△ABC中，∠ABC=100°，以A为圆心，AB长为半径作弧，与AC交于点D,以C为圆心， BC AC 长为半径作弧，与交于点E,连结 ,则<DBE .BD BE 的度数为() A.40° B.50° C.80° D.与∠A的大小有关 【答案】A 【解析】解：设∠A=0,∠C=p .∠A+∠C=a+B=180°-∠ABC=80° 由题意得AB=AD,CB=CE, 2/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD=∠ADB,∠CBE=∠CEB. AD8=080-0=0-0.∠CB=080-2C)=0-5P 2DE=180-∠ADB-∠cE8=180-(90-090r-5Pe+)=40 6.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是( )度 A.120 B.30 C.15或75 D.30或120 【答案】C 【解析】解：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形内部，如图： .∠ADC=90°，∠ACD=60°， .∠A=180°-90°-60°=30°， ∠ABC=∠ACB=(180°-30)÷2=75° 当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角在三角形外部，如图： D 60G :∠ADC=90°，∠ACD=60°， .∠CAD=30°， :∠B=∠ACB,∠CAD=∠B+∠ACB, 3/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=∠ACB=15°， 故选：C 7.如图，已知△ABC≌△ADE,点C在线段DE上，∠BAD=90°，AB=4,下列关于结论I、Ⅱ、 Ⅲ的判断正确的是() 结论I:△ACE是等腰直角三角形.结论Ⅱ：BC⊥DE. 结论Ⅲ：连接BD,阴影部分的面积为8 A.结论I、Ⅱ、Ⅲ都对B.只有结论I不对 C.只有结论Ⅱ不对 D.只有结论不对 【答案】A 【解析】解：如图： ,△ABC≌△ADE, .∠ABC=∠ADE,AB=AD=4,AC=AE,∠CAE=∠BAD=90°， :.△ACE是等腰直角三角形： :∠1=∠2，∠ABC+∠BAD+∠1=180°，∠ADC+∠2+∠BCD=180°， .∠BAD=∠BCD=90°， BC⊥DE: 4/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =ABAD=号x4×4=8 1 ,△ABD的面积2 2 ∴.阴影部分的面积=△ABD的面积+△AED的面积-△ABC的面积=△ABD的面积=8： ∴结论I、Ⅱ、Ⅲ都对. &.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∠NPB=15°，过点P作 MNI∥BC 于MN若△MM 京AC、A ,分别交 周长是24，则1B长是《() A.8 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【解析】解：，CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∠NPB=15°， .∠ACP=∠BCP,∠ABP=∠CBP, :MN∥BC, .∠MPC=∠BCP,∠NPB=∠CBP. .∠MPC=∠ACP,∠NPB=∠ABP=15°， .:CM=PM,BN=PN,∠ABC=2∠NBP=30°， MN-PM PN=CM+BN,AC-T4B 2 :△AMN周长是24， 5/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM+MN+4N=AM+CM+BN+4N=4C+4B=14B+4B-34B-24 2 .AB=16」 9.如图，在△ABC和△BPE中，AB=BC,BP=BE,∠ABC=∠EBP=60°，点P在BC的延长线 上，EC的延长线交AP于点M,连接BM,则下列结论错误的是() E A.△ABP≌ACBE B.∠BCE=∠BAP C.∠PME=60° D.CE=AC+CP 【答案】D 【解析】解：AB=BC,∠ABC=60°， ·△ABC是等边三角形， ∠ACB=60°， :AB=BC,BP=BE,∠ABC=∠EBP=6O°， :△MBP≌CBE(SAS) 则A正确，不符合题意， :∠BCE=∠BAP,CE=AP<AC+CP,则B正确，不符合题意，D错误，符合题意； :△ABP≌△CBE, .∠APB=∠BEC ,BP=BE,∠EBP=60°， 6/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BEP是等边三角形， .∠BEP=∠BPE=60°， .∠BEC+∠CEP=∠APB+∠MEP=60°=∠BPE. ∠PME=180°-（∠MEP+∠BPE+∠APB)=60° 则C正确，不符合题意. 7/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，在等边三角形ABC中，E是AC边的中点，AD⊥BC于点D,P是AD上的动点，若 AD=3 EP+CP ,则 的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：如图，连接BP,BE, P D :△ABC是等边三角形， :.AB=AC=BC, :AD⊥BC于点D,E是AC边的中点， BP=CP,BE⊥AC, .EP+CP=EP+BP≥BE, ∴当B、P、E三点共线时，EP+CP的最小值为BE的长，如图， E 8/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sr=BCx4D=号4CxBE 2 21 :.BE=3,即EP+CP的最小值为3. 9/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则下列 结论：①△BDE是等腰三角形；②AE=AF;③DA平分∠EDF；④AD垂直平分EF.其中正确 的结论有() E B 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：，∠B=∠C, AB=AC, ,AD平分∠BAC, .BD=CD,AD⊥BC, :DE⊥AB,DF⊥AC, :∠DEB=∠DFC=90°， 在△BDE和△CDF中， ∠DEB=∠DFC ∠B=∠C BD=CD :△BDE≌aCDF(AAS) :DE =DF,BE=CF, 10137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在RtABDE中，只有当∠B=45°时，BE=DE,题目未给出∠B的度数，故△BDE不一定是等腰三角 形，即①错误： AB=AC,BE=CF, .AB-BE=AC-CF,即AE=AF,即②正确： 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD DE=DF, ,Rt△ADE≌RteADF(HL) ∴.∠ADE=∠ADF, .DA平分∠EDF,即③正确： AE=AF,DE=DF, ∴点A、D都在线段EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF,即④正确： 综上所述，正确的结论有②③④，共3个. 12.如图，在锐角△ABC中，AB,BC的垂直平分线OH,OF相交于点O,连接OA,OB,OC, 延长CO交4B于点D,AE⊥BC于点E,交CD于点G,若AD=AC,SO%=8OF-3 2,则BC 的长为() H D G 32 40 A.3 B.12 C.3 D.16 【答案】A 11/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】解：OH,OF垂直平分AB,BC, ..OA=OB,OB=OC,OF L BC.BC=2CF. .OA=OB=OC,∠OBA=∠OAB,∠OBC=∠OCB, 设∠OBC=∠OCB=a,∠OBA=∠OAB=B :∠ADC是△ADC的一个内角， ,∠ADC=∠ABC+∠OCB=a+B+a=2a+B .AD=AC, .∠ACD=∠ADC=2C+B .OA=OC, ∠ACD=∠OAC=2a+B 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°. 即2a+2B+a+B+3a+B=180 3a+2B=90° 则 在Rt△AEC中，∠E4C=90°-∠ACE=90°-(3a+P)=3a+2B-(3a+BP)=B .∠DAO=∠CAG. 又，AD=AC,∠ADO=∠ACG :△ADO≌△ACG(ASA) ∴.AO=AG, 12137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点A作AN⊥OG与点N, D G B≤ F C 则Ov=号0G 2 .∠40N=∠01D+∠0D1=2a+2p∠C0F=90°-∠0CF=2a+2B :∠AON=∠COF, 又：∠ONA=∠OFC=90°，AO=CO, :△AON≌aCOF(AAS) .0N=0F-号.=F. .0G=3, 1 :8ao-24W-0G=2Wx3=8 2 4Ns 16 =CF 3 ,BC-32 3. 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.) 13.“等腰三角形是轴对称图形”请写出它的逆命题： 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【解析】解：“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等腰三角形， 13137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14,已知点A的坐标为(-2,5) 则点A关于y轴对称的点的坐标是 【答案】 (2,5) 【解析】解：：点4的坐标为(-2,5) ∴所求点的横坐标为 (-2)=2 纵坐标保持为5， ∴所求点的坐标为 2,5) 15.如图，O为△ABC内角平分线的交点，过点O作OM⊥AB于点M,若∠ACB=60°，OM=2, 则OC的长为 B 【答案】4 【解析】解：过O作ON⊥BC交BC于N, :O为△ABC内角平分线的交点， ∠BC0=∠4CB=30 ∴.ON=OM=2, 2 ON⊥BC, .0C=20N=4 14137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB=AC,现将△BEC沿BC翻折，点 E对应点为E',BE'与边AC相交于点D,恰好BE是∠ABC的角平分线，则∠DCE'=°，若 BD=4 CE= ,则 E 【答案】22.5,2 【解析】解：：∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=45° :BE'平分∠ABC, .∠DBA=22.5° :∠ADB=∠E'DC,∠BE'C=∠BAC, ∠DCE'=∠DBA=22.5°： 如图，延长CE'交BA的延长线于F, :BE'平分∠ABC,∠BE'C=90°， E ·.∠CBE'=∠FBE',∠BE'F=∠BE'C=90°， 15137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCE'=∠F, ..BC=BF CE=CF 2 在RtABAD和RtACAF中， ∠BAD=∠CAF AB=AC ∠DBA=∠DCE' :△BAD≌ACAF(ASA) .BD=CF, CE'=1BD=2 2 由翻折可得，CE=CE=2. 17.如图，△ABC的面积为9，∠B=30°，AC=3,点D,E,F分别是AC,AB,BC边上的动点， 则△DEF周长的最小值为. 【答案】6 【解析】解：如图，作点D关于AB、BC的对称点MN,连接BM,BN,MN,EM,FN,BD, 16137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E B 由轴对称可得，BM=BD=BN,EM=ED,FD=FN,∠MBA=∠DBA,∠NBC=∠DBC, ∴当M,E,E,N在一条直线上时，△DEF的周长=DE+EF+FD=EM+EF+FN=MN最小，即 △DEF MN 周长的最小值为， ∠ABC=∠DBA+∠DBC=30°， :∠MBN=∠MBA+∠DBA+∠DBC+∠NBC=2(∠DBA+∠DBC)=60° ∴，△BMN是等边三角形， .'MN BM BN BD. ∴，△DEF周长的最小值为BD的长， 根据垂线段最短，可知BD⊥AC时，BD最小，即△DEF周长最小， a1BC的面积为9，AC=3,即又号4C-BD=X3xBD=9 1 :.BD=6,即△DEF周长最小值为6. 18.如图，AD,CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G,AE平分∠CAD交BC于 E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE.有下列结论：①∠CMA=12O°；②△ABC是等 1 腰三角形：③BC=BH+2M:①S.+5.a+5a-2S.c.共中，正确结论的个数有 17137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2个 【解析】解：：AD是△ABC的高， 、.∠ADC=90°， ∴.∠DAC+∠ACD=90°， :CF平分∠ACB,AE平分∠CAD, :∠MC4=∠AcD.∠Mac-DAC 2 :∠M1C+∠MCA=2(∠D1C+∠4CD)=450 ÷∠CMH=180°-(ZMAC+∠MCA=135 故①错误： BM⊥AE, .∠AMB=90°， :.∠BMC=360°-∠AMB-∠CMA=360°-90°-135°=135°， .∠AMC=∠BMC, 在△AMC和△BMC中， 18137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACM=∠BCM CM=CM ∠AMC=∠BMC △AMC≌ABMC(ASA) .AC=BC. :.△ABC是等腰三角形， 故②正确： 如图，延长BM交AC于点N, A G E :AE平分∠CAD,BM⊥AE,∠HAM=∠NAM,∠AMH=∠AMN=90°， 在△AMH和△AMN中， ∠HAM=∠NAM AM=AM ∠AMH=∠AMN △AMH≌AAMN(ASA) :MH =MN, .BH +2MH BH+MH +MN BN. .∠BWC=∠NAM+∠AMN=∠NAM+90°， .∠BNC>90°， 19/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BNC>∠BCN, .BC>BN, .BC>BH +2MH 故③错误： ,△AMC≌aBMC, .∠CAM=∠CBM,AM=BM, :AE平分∠CAD, :.∠CAM=∠HAM, .∠CBM=∠HAM, 在△AHM和△BEM中， [∠HAM=∠EBM AM=BM ∠AMH=∠BME :△MHM≌△BEM(ASA) SAHM =S.BME .m+.ww+.cw-S.+.wr+.c.+.-S.cr :AC=BC,CF平分∠ACB, :.CF是△ABC的中线， S.gCE=÷SMBc 2 20137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.AIM+S.BFM+S.CEM= ABC 2 故④正确： 综上所述，正确的结论有②④，一共2个 21137 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.(8分)△ABC在直角坐标系内的位置如图所示： 5-4-3-2-112345 请画出△1BC关于辅对称的△4BG, 2直接写4.8.C的华标，即4（一一，8（一.G( 【答案】(1)作图见解析：(2)0，-3，-4，-4，-2，-1 △4B,C 【解析】解：(1)如图， 即为所求作的三角形： Ny -5-4-3-2-10 2345x B (2)解：由图可知， 4(0,-3)B(4,-4)C(-2,-1) 20.(8分)如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D,AE平分 ∠BMC交BDF 于点E,请完成以下作图与证明： 22137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)用直尺和圆规，过点D作BC的垂线与BC交于点F,连接AF(不写作法，只保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中，求证：BE=AF. 【答案】(1)作图见解析：(2)证明见解析 【解析】(1)解：如图，即为所求： (2)证明：，△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC,∠C=∠ABC=45°. :BD平分∠ABC,AE平分∠BAC,∠BAC=90°， E年)2CAB=45°∠ABE)∠ABC .∠ADE=90°-∠ABE=67.5°，∠AED=∠BAE+∠ABE=67.5°， .∠ADE=∠AED. .AD AE, :BD平分∠ABC,∠BAC=90°，DF⊥BC, .AD DF, .AE=DF, 23137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠C=45°，DF⊥BC, ∴.△CDF为等腰直角三角形，CF=DF, .AE=CF, :∠C=∠BAE=45°，AC=AB, .△CFA≌△AEB(SAS) .BE=AF. 24137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(8分)如图所示，在△ABC中，∠A=∠ABC,DE垂直平分BC,交BC于点D,交AC于点 E D (1)若AB=6,BC=8,求△ABE的周长： (2)若BE=BA,求∠C的度数. 【答案】(1)14：(2)∠C=36° 【解析】(1)解：，△ABC中，∠A=∠ABC, .AC=BC=8. DE垂直平分BC, .EB=EC, 又AB=6, :.△ABE的周长为： AB+AE+EB=AB+(AE+EC)=AB+AC=6+8=14 (2)解：：EB=EC, ∴.∠C=∠EBC, ,∠AEB=∠C+∠EBC, .∠AEB=2∠C, 25137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=BA, .∠AEB=∠A, 又：AC=BC, .∠CBA=∠A=2∠C, :∠C+∠A+∠CBA=180°，. .5∠C=180°， .∠C=36°. 26137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(8分)用一条长为20Cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)若腰长是底边长的2倍，求它的三边长. (2)能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长：若不能，请说明理由， 【答案】(1)4cm,8cm,8cm;(2)不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由见解析 【解析】(1)解：设底边长为xcm,则腰长是2xcm, 由题意可得x+2x+2x=20, 解得x=4, 则2x=8, ,∴.该等腰三角形的各边长为4cm,8cm,8cm: (2)解：不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由如下： 设边长为cm」 等边三角形三边相等， 3y=20 20 3(不是偶数) ∴.不能围成一个边长是偶数的等边三角形 23.(10分)如图，在△ABC中，直线1是BC边的垂直平分线，分别交AB,BC于点D,E,连接CD E (1)若AC=6,AB=13,求△ACD的周长： 27137 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 (2)如图，已知点F在线段DE上，且点F在边AB的垂直平分线上，连接BF,CF,试判断点F是否 在边AC的垂直平分线上，并说明理由 【答案】(1)19：(2)点F在边AC的垂直平分线上，理由见解析 【解析】(I)解：：直线I垂直平分BC,交AB于点D, .CD=BD. .AD+CD=AD+BD=AB. :.AD+CD+AC=AB+AC=13+6=19, 即△ACD的周长为19. (2)解：点F在边AC的垂直平分线上，理由如下： 连接AF, E ,点F在边AB的垂直平分线上， .AF =BF, :点F在线段DE上，DE垂直平分BC, .BF CF, .AF=CF, ∴.点F在AC的垂直平分线上. 28137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(10分)如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂 足分别为E、F G B D (1)求证：BE=CF: (2)若AB=15,AC=9,求BE的长. 【答案】(1)证明见解析：(2)3 【解析】(1)证明：连接CD, :DG垂直平分BC, .BD=CD. :AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE DF, 在Rt△BDE和RtACDF中， BD=CD DE=DF: :RtABDES≌RtACDF(HL) .BE=CF: 29137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：在RtAADE和RtAADF中， AD=AD DE=DF, :Rt△MDE≌RteADF(HL) .'AE=AF, AE=AB-BE,AF=AC+CF, .AB-BE=AC+CF, 即2BE=AB-AC,解得BE=3. 25.(10分)已知，在△ABC中，∠ACB=2∠ABC=2∠BAC. D B C N 图1 图2 (1)∠ACB= (2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD,过点B作BE⊥AB,连接CE和DE,若 AD+BE=DE ∠ECD=45° ,求证： (3)如图2，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM=AW,过点C作MB的垂线 30/37 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交AB的延长线于点P,连接NP,求证：NP=MB+CP. 【答案】(1)90：(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】(1)解：：∠ACB=2∠ABC=2∠BAC, 又，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， .∠ACB=90°： (2)证明：如图1中，过点C作CT⊥CD交EB的延长线于T,连接DT, E 图1 .EB⊥AB,∠ABC=∠A=45° .∠EBD=∠DBT=90°， .∠A=∠CBT=45°， :∠ACB=∠DCT=90°， .∠ACD=∠BCT, 在△ACD和△BCT中， ∠A=∠CBT CA=CB ∠ACD=∠BCT :△4CD≌△BCT(ASA) 31137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=BT,CD=CT, AD+BE DE. .'BE+BT=BE+AD=DE, .ED=ET, ..CD=CT, EC垂直平分线段DT, ∴.∠DCE=∠TCE=45°： (3)证明：由(1)得AC=BC,∠ACB=90°，∠BAC=45°， 过点A作 01MN,交PC延长线于点Q.设PC与BM交点为，如图， D 0 .4OLAM.PC⊥BM ∠QAC=∠CHM=90° ,∠ACQ=∠HCM ∠Q=∠M CA0和△BCM中， 在 ∠Q=∠M ∠QAC=∠BCM AC=BC 32137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△CA0≌△BCM(AAS) .40=CM QC=BM ..CM=AN, :0=AN :∠BAC=45°， :∠N4P=180°-45°=135°，∠0AP=∠04C+∠BAC=90°+450=1350 ∠NAP=∠OAP 在aNMP和△OMP. “中， NA=OA ∠NAP=∠OAP, AP=AP :△NMP≌aOAP(SAS) .NP-OP MB+CP=OC+CP=OP=NP .NP=MB+CP 26.(10分)阅读与思考 三角形的布洛卡点(Brocardpoint)是法国数学家和数学教育 家克洛尔(A.L.Crelle,1780-1855)于1816年首次发现， 但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被 Q 一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard,1845-1922)重 图1 新发现，并用他的名字命名.如图1，若任意△ABC内一点 33/37 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 ∠CAQ=∠ABQ=∠BCQ= 满足 ,则点叫做 △ABC 的布洛卡点，叫做布洛卡角 任务一： (1)若点O是等边△ABC的布洛卡点，则布洛卡角C的度数为 任务二：在RtAABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点P是△ABC的一个“布洛卡点”，∠PAC是 “布洛卡角”· (2)若BP=5时，求点C到直线AP的距离.请在图2中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说 理 B C B C 图2 备用图 (3)若点E、F分别为AC、BC边上的动点，当△PEF的周长取得最小值时，求∠EPF的度数. 【答案】(1)30°；(2)见解析：(3)90° 【解析】山解：如图。△1C为等边三角形，点0是梦边△BC A0 BO 的布洛卡点，并且连接 co 4 :AB=BC=CA,∠BAC=∠ACB=∠CBA=60°∠CAQ=∠ABQ=∠BCQ=a 34137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :21=∠B1C-∠C40=60°-a.∠2=∠CBA-∠AB0=60°-a .∠1=∠2 :AB=BC,∠AB0=∠BCQ △ABQ≌△BCQ(ASA) BO=CO .∠2=∠BCQ 即60°-a=a, 解得，a=30° (2)解：如图，点P是△ABC的一个“布洛卡点”，∠PAC是“布洛卡角”，连接AP,BP,CP, 过点C作CH⊥AP交AP的延长线于点H, H :.∠CAP=∠ABP=∠BCP=a,∠CHA=90°. :∠BAC=90°，AB=AC, ∠B4P=∠BAC-∠PAC=90-a.∠ABC=∠4CB=180,90=45 2. :∠4PB=180°-∠BAP-∠ABP=180°-(90°-m）-a=90 .∠APB=∠CHA=90° 35137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠APB=∠CHA,∠ABP=∠CAP,AB=AC, △ABP≌△CAH(AAS) .BP=AH=5,AP=CH,∠BAP=∠ACH=90°-a. .∠ACP=∠ACB-∠BCP=45°-a, .∠PCH=∠ACH-∠ACP=(90°-a)-(45°-)=45° .∠CPH=90°-∠PCH=45°， ∠CPH=∠PCH, .PH=CH, PH=AP=1AH=5 2 CH=PH=5 Γ2， 5 即点C到直线AP的距离为2. ③解：如图，分别作点P关于直线4C、BC的对称点、B,连接B,交4C于点B,交BC于 点R,连接PE、PF、CB、C3、CP 36137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则此时△PEF的周长取得最小值， 由轴对称的性质得， EP=EP FP=FP CP=CPCP=CP .CR=CB .∠7=∠8 ..CP=CR EP=ER CE=CE :△ECR≌ECP(SSS)) .∠3=∠4，∠7=∠CPE. CP=CB FP=FP CF=CF :△FCP≌FCP(SSS) .∠5=∠6，∠8=∠CPF. 由(2)可知，∠ABC=∠ACB=45°，即∠4+∠5=45°， ∴.∠3+∠6=45°， :∠RC3=∠4+5+∠3+∠6=45°+45°=900 :27=28-180,90=450 2 .∠7=∠CPE=45°，∠8=∠CPF=45°， .∠EPF=∠CPE+∠CPF=45°+45°=90° 37137