云南昆明市官渡区昆明经济技术开发区第一中学2025-2026学年度初中数学八年级上学期期中考试卷

2025-2026学年度初中数学八年级上期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共30分） 1．（本题2分）下列物体的结构中，没有运用到三角形稳定性的是（ ） A． B． C． D． 2．（本题2分）在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）2025年全运会，浙江代表团创佳绩，如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）把一根长20厘米的铁丝按以下每组中规定的长度剪成三段，所得到的三段铁丝不能围成等腰三角形的（    ）组． A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（本题2分）如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．（本题2分）如图，已知点是射线上一动点（不与点重合），，若为钝角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 7．（本题2分）在三角形中，任意两边之和大于第三边，其依据为（   ） A．两点确定一条直线 B．任意两边之差小于第三边 C．两点之间线段最短 D．直线外一点与直线上各点的连线中垂线段最短 8．（本题2分）如图，和都是等边三角形，是的角平分线，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．（本题2分）一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 10．（本题2分）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 11．（本题2分）如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A．130° B．135° C．140° D．145° 12．（本题2分）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的有（     ）个 ①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④． A．0 B．1 C．2 D．3 13．（本题2分）如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．（本题2分）如图，将长方形纸片进行折叠，、为折痕，点A与点、点B与点、点C与点重合．若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 15．（本题2分）如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共8分） 16．（本题2分）如图，，要使，应添加的条件是______（用判定）．    17．（本题2分）如图，，，点C在射线AN上，，当x的取值范围是__________时，的形状、大小是唯一确定的． 18．（本题2分）如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里． 19．（本题2分）如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 三、解答题（共62分） 20．（本题6分）如图，是等边三角形，，点M、N分别是边、上的动点，点M、N分别从顶点B、C同时出发，且它们的速度都为． (1)如图1，连接，求经过多少秒后，是直角三角形； (2)如图2，连接、交于点P，在点M、N运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数； (3)如图3，过点A作于点H，若点M、N分别从顶点B、C同时出发，在某时刻恰好使得，时，求线段的长度． 21．（本题6分）如图，已知分别按要求完成下列各题：    (1)用尺规作图作出的平分线（保留作图痕迹不写作法） (2)在边上取点F，过点F作直线交于点D，垂直，垂足为M，求证． 22．（本题7分）如图，，，，与交于点M． (1)求证：； (2)连，若，试求的度数． 23．（本题7分）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． 24．（本题8分）若长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，求三角形周长的取值范围． 25．（本题8分）“无图几何题”需要“数形结合”的数学思想来验证猜想结论．请同学们思考：在中，分别垂直平分，垂足分别为G，F，与边的交点分别为D，E，，求的度数． 26．（本题8分）如图，点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 27．（本题12分）已知：如图，，是的平分线． (1)用直尺和圆规，以点D为顶点，射线为一边，在射线上方作，使；（要求：不写作法和结论，保留作图痕迹） (2)在（1）的情况下，若是的平分线，求证：（请完成以下证明过程）． 证明：是的平分线，是的平分线（已知）， ，（____①____）， （已作图）， （等量代换） ____②____（等量代换）， 又（已知）， ____③____（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． （____④____） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度初中数学八年级上期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B D C B B B 题号 11 12 13 14 15 答案 D B B D A 1．C 【分析】根据三角形具有稳定性求解即可． 【详解】解：对于A、B、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 而C选项中，用到了四边形的不稳定性． 2．D 【分析】利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 4．A 【分析】此题主要考查了三角形的性质．根据三角形的性质，三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，即可确定哪三段不能围成一个三角形．三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、，不能围成三角形； B、，可以围成三角形； C、，可以围成三角形； D、，可以围成三角形； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长． 【详解】解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 6．D 【分析】当两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形，由此可求解． 【详解】解：由三角形内角和可得：， ∵， ∴当与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有； 当大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，熟练掌握三角形内角和及一元一次不等式的应用是解题的关键． 7．C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质，根据三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边， ∴在三角形中，任意两边之和大于第三边，其依据为两点之间线段最短， 故选：C． 8．B 【分析】根据等边三角形性质得出AB=AC，根据三线合一定理得出①正确；得出AB是线段ED的垂直平分线，判断出②③正确；根据斜边大于直角边，可判断④． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，故①正确； ∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=30， ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°， ∴∠EAF=∠BAD=30， ∴AB是线段ED的垂直平分线， ∴AF⊥DE，故②正确； ∴BE=BD，故③正确； ∵∠ADB=90°， ∴AB> AD， ∴BC> DE，故④错误； 综上，正确的个数有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题． 9．B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由三角形外角的性质求出，再由平行线的性质得到 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 11．D 【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论． 【详解】解：，且， ， ，， ， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 12．B 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据作图的过程可知，是的平分线，则①正确；由角平分线的定义可得，则，则②不正确；结合线段垂直平分线的性质可知点不在的中垂线上，则③不正确；由题意可知，，则，则④不正确． 【详解】解：根据作图的过程可知，是的平分线， 故①正确，符合题意； ，， ． 是的平分线， ， ， 故②不正确，不符合题意； ③，， ， 点不在的中垂线上， 故③不正确，不符合题意； 由题意得，， ， 故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确结论的个数是1． 故选：B． 13．B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接， 根据对称性质，得，，，继而得到，结合，根据，得到，同理可证，，结合计算即可． 【详解】连接， 根据对称性质，得，， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 故选B． 14．D 【分析】本题考查折叠的性质，角的计算，掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得，，求出即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质得，， ∴， ∴， 故选：D． 15．A 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项A符合题意； ∵， ∴， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项B不符合题意； ∵， ∴，即， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项C不符合题意； 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项D不符合题意． 16．（答案不唯一） 【分析】由于两个三角形有一个公共，则根据全等三角形角角边的判定条件，只需要添加即可． 【详解】解：∵，， ∴要使（），应添加的条件是； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，属于应知应会题型，熟知角角边的判定条件是解题的关键． 17．或 【分析】本题考查全等三角形的判定，含角的直角三角形性质．由全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：①当时， 在中，，， ， 即时，由判定的形状、大小是唯一确定的； ②如图， 当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图， 当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 18．20 【分析】根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值． 【详解】解：据题意得，． ∵，即， ∴， ∴． 由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）． ∴（海里）， ∴（海里）． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题． 19． 或 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 20．(1)秒或秒 (2)不变，值为60° (3)7 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判断和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形的性质，是解题的关键． （1）分和，两种情况进行求解即可； （2）证明，利用全等三角形的性质和三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）利用含30度角的直角三角形的性质和全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）设经过秒后，是直角三角形． 由题意：， ∵是等边三角形， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得， ∴经过秒或秒，是直角三角形； （2）结论：的大小不变． ∵是等边三角形， ∴， ∵点的速度相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）由（ 2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵． 21．(1)图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的作图方法，作图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线，得到为等腰三角形，利用证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）证明：∵平分，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直， ∴， 又； ∴． 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 22．(1) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）设、相交于O，过C作于P，于Q，根据全等三角形的性质可得出，，根据等积法可得出，根据角平分线的判定可得出平分，根据三角形外角的性质并结合可求出，进而求出，最后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设、相交于O，过C作于P，于Q， ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴平分， ∵，，， ∴， ∴， 又平分， ∴． 23．(1) 证明：∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，为等腰三角形， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴为等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； (2)①当是的腰时， 如图； ②当是的底时， 如图． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得出，即得出，为等腰三角形，根据三角形外角的性质得出，结合题意得出，即证为等腰三角形，得出结论； （2）分类讨论：①当是的腰时和②当是的底时，分别画图求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：分类讨论：①当是的腰时， 此时，， ②当是的底时， 此时，； 24．三角形周长的取值范围是． 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系． 【详解】解：∵长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， ∴三角形周长的取值范围为，即， ∴三角形周长的取值范围是． 25．或 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确理解题意分类讨论是解题的关键． 分两种情况画出图形，(1)当为锐角时，如图①，由角平分线定义推出，得出，再根据三角形内角和定理求出；(2)当为钝角时，如图②，由角平分线定义推出，得出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】(1)当为锐角时，如图①， ∵分别垂直平分， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； (2)当为钝角时，如图②， 由(1)可知： ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 综上，的度数为或． 26． 证明：， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键； 根据，可得，根据，得出，即可证明，进而得出． 【详解】 略 27．(1) 如图所示，即为所求； (2)①角平分线的定义；②；③；④同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质与判定定理，再结合已给推理过程进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $