精品解析：上海市松江一中2026-2027学年高一上学期10月阶段练习数学试卷

2026学年第一学期阶段练习高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解出集合，再根据交集定义求解结果. 【详解】解：因为， 又， 所以. 故答案为：. 2. 已知，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合元素互异性可求解. 【详解】若，若，则，故不满足集合元素互异性， 所以，解之可得或（舍），-1适合题意， 故答案为： 3. 已知等式恒成立，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意列出方程组，即可得答案． 【详解】因为恒成立， 即恒成立， 所以， 所以． 故答案为：5 4. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】化为，解该分式不等式即可求解． 【详解】对进行变形可得， 则可等价为， 解得或， 不等式的解集为． 故答案为：． 5. 已知、都是实数，则“”是“”的__________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】等价于；等价于， 故“”是“”的必要不充分条件. 6. 已知全集为不大于的素数，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，全集，，，， 如下图所示： 故. 7. 若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为_____________ 【答案】15 【解析】 【分析】根据1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数，将问题转化为求集合的非空子集的个数，从而得解. 【详解】根据新定义，集合中的元素1和倒数等于本身，2和，3和互为倒数， 故满足条件的自倒集合与集合的非空子集的个数相同， 则其个数为. 故答案为：15. 8. 设集合，，若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合交集为空集，联立方程得到一元二次方程，利用判别式小于0，即可求解. 【详解】因为，则无解，则， 则， 解得，则实数的取值范围为. 9. 已知集合有唯一元素，用列举法表示满足集合的条件的的取值集合__________． 【答案】 【解析】 【分析】分和三种情况讨论即可. 【详解】当时，有唯一解； 当时，有唯一解； 当时，即有唯一解，所以，解得； 综上的取值集合为. 故答案为：. 10. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决. 【详解】， 中所有非空子集含有1的有2026类： 单元素集合只有含有1，即1出现了次； 双元素集合含有1的有，即1出现了次； 三元素集合中含有1的有，即1出现了次， …… 有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次； 1共出现， 同理都出现次， 的所有非空子集中，这些和的总和是 . 11. 已知，定义[x]为不超过的最大整数，区间（或，的长度记为.若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合的方法，结合新定义构成不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】设，作出的图象， 因为不等式的解集对应区间的长度为2， 所以解集只可能为或． 当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解． 当解集为时，如图（2），数形结合易知即，解得所以，满足， 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 12. 已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据集合A，得出B集合的最大值和最小值，再结合区间是闭区间得出计算即可求解. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合B表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又，解得． 故答案为：. 二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 14. 以下几个关系中正确的是（ ）. A. B. C.  D.  【答案】C 【解析】 【分析】对于ABC，根据空集的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为方程无实数解，所以，则，所以B错误， 对于C，因为空集是任何非空集合的真子集，所以，所以C正确， 对于D，若，则，此时，所以D错误， 故选：C 15. 设全集为，图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据Venn图分析阴影部分所属的集合区域，利用集合的交集、并集及补集运算进行表示． 【详解】由Venn图可知，阴影部分属于集合，不属于集合和，则阴影部分所表示的集合为． 16. 对于，，，…，定义集合，并记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出中的最小元素，分和两种情况依次验证集合中完全平方数的个数得出结果. 【详解】当时，，对于，集合中最小的元素， 若中完全平方数的个数为奇数，则， ①当时，，，此时中有个完全平方数； 当时，，，此时中有个完全平方数； 当时，，，此时中有个完全平方数； 当时，，， 此时中有个完全平方数 ； ②因为当时，一定为偶数， 当时，，，此时中有个完全平方数； 当时，，，此时中有个完全平方数； 综上所得，使集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数，故B正确. 三、解答题 17. 设全集，集合，，． （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由分式不等式即可求解，再由补集以及并集的定义即可求解； （2）对以及分类讨论即可求解. 【小问1详解】 因为集合，所以，解得， 故，则或，因为， 故，则. 【小问2详解】 因为，若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 18. 设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】（1） （2） 假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 【解析】 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【小问1详解】 因为， 则， 所以； 【小问2详解】 略 19. 已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足． （1）直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若方程的两根和都大于，求的取值范围． 【答案】（1）该一元二次方程为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设这个一元二次方程为，根据韦达定理求解即可； （2）根据韦达定理列出不等式结合求解； （3）由题得出，代入公式求解． 【小问1详解】 设这个一元二次方程为， 由得，， 由韦达定理得，，即，， 所以一元二次方程为． 【小问2详解】 ， 结合已知及（1）得，， 代入得，， 又或， 所以． 【小问3详解】 若方程的两根和都大于，则， 所以，解得． 20. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若，对任意的，不等式恒成立，求的取值集合． 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质求出，进而求得结果. （2）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质列出满足条件的不等式方程，计算即可. （3）先求出时，根据二次函数的性质求出，以及的范围，然后根据二次函数的性质求出所求结果即可. 【小问1详解】 ，结合二次函数图象可知，不等式的解集为， 且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则， 得. 所以. 【小问2详解】 若，且不等式有且仅有9个整数解， 由（1）知，不等式可化为. 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立， 所以，解得. 不等式等价于. 所以，得. 所以，解得. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 因为，同（1）分析，不等式的解集为， 的解集为，所以方程的两根分别为2和3， 则，得. 所以不等式的解集为， 则恒成立， 所以，解得. 所以对任意的，不等式恒成立转化为： 对任意的，不等式恒成立. 方程的两个根为，（时成立）， 因而仅当与的负根重合时满足条件，解得唯一解为. 所以. 所以的取值集合为. 21. 已知集合，，从中选取个不同的元素组成一个序列：，，…，，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项，满足：或，则称该序列为“序列”． （1）若一个序列的第一项为，请直接写出它所有可能的第二项； （2）定义集合的两个子集：外侧集，内侧集．证明：若序列中某一项的坐标在区域内（即横、纵坐标均属于），则它的下一项坐标必定在区域内； （3）证明：不存在一个恰好有5项的序列，使其第一项为，且第五项为． 【答案】（1） （2）证明：设序列第项为，满足， 若： 当时，；当时，，故. 同理可得，即. 若： 当时，；当时，，故. 同理可得，即. 综上，命题可证. （3）假设存在满足条件的5项序列，记为，其中，． 由相邻项条件，与相邻的点只有，； 与相邻的点也只有，． 故． 因为序列各项互不相同，所以，从而分别为，． 于是必须同时与这两个点相邻． 按相邻项条件，与相邻的点为； 与相邻的点为． 以上两集合的公共元素只有，，因此或，与序列中的5个元素互不相同矛盾． 故不存在满足条件的5项序列． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出即可. （2）明确已知条件，分和讨论，最后得出结论. （3）确定第二项和第四项的所有可能取值，再利用各项互不相同的条件证明不存在第三项． 【小问1详解】 已知第一项为，相邻项需满足两种情况之一：①且； ②且，且. 当时，或； 当时，（舍去，不在集合中）或，得点. 当时，（舍去）或；当时，或，得点. 所以所有可能的第二项为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期阶段练习高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，，则 ______. 2. 已知，若，则_________. 3. 已知等式恒成立，则______． 4. 不等式的解集是________. 5. 已知、都是实数，则“”是“”的__________条件． 6. 已知全集为不大于的素数，，，，则__________． 7. 若，则，就称A自倒集合，集合的所有非空子集中，自倒集合的个数为_____________ 8. 设集合，，若，则实数的取值范围为__________． 9. 已知集合有唯一元素，用列举法表示满足集合的条件的的取值集合__________． 10. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______． 11. 已知，定义[x]为不超过的最大整数，区间（或，的长度记为.若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则的取值范围是____________. 12. 已知集合，集合，其中．若集合B表示的区间为一个闭区间，则a的取值范围为______． 二、选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 以下几个关系中正确的是（ ）. A. B. C.  D.  15. 设全集为，图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 16. 对于，，，…，定义集合，并记，则使得集合中完全平方数的个数为奇数的最小正整数为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17. 设全集，集合，，． （1）求集合，； （2）若，求实数的取值范围． 18. 设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 19. 已知，一个二次项系数为1的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足． （1）直接写出该一元二次方程； （2）若，求的取值范围； （3）若方程的两根和都大于，求的取值范围． 20. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若，对任意的，不等式恒成立，求的取值集合． 21. 已知集合，，从中选取个不同的元素组成一个序列：，，…，，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项，满足：或，则称该序列为“序列”． （1）若一个序列的第一项为，请直接写出它所有可能的第二项； （2）定义集合的两个子集：外侧集，内侧集．证明：若序列中某一项的坐标在区域内（即横、纵坐标均属于），则它的下一项坐标必定在区域内； （3）证明：不存在一个恰好有5项的序列，使其第一项为，且第五项为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $