精品解析：上海市甘泉外国语中学2026-2027学年高一上学期10月阶段反馈数学试卷

2026学年高一年级数学学科阶段反馈 2026.10.9 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并核对准考证号是否填涂正确． 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分．考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．） 1. 用符号或填空：________ 【答案】 【解析】 【分析】由元素与集合的关系即可判断. 【详解】因为为无理数，为有理数集， 所以， 故答案为： 2. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，，因此 3. 请写出陈述句“”的否定形式______． 【答案】 【解析】 【详解】的否定形式为. 4. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由, 故原不等式的解集为. 5. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 6. 已知集合，，若⫋则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】， 由⫋，可得， 故实数a的取值范围是. 7. 满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 【答案】6 【解析】 【详解】由⫋，可得：，，且，即除外至少含有中的1个元素； 由⫋可得：，即除外至多含有中的2个元素； 因此满足条件的集合与集合的非空真子集一一对应， 其非空真子集个数为， 即满足条件的集合的个数为6. 8. 已知，，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，可得， 又， 根据同向不等式的可加性，可得，化简得， 故的取值范围为 9. 已知集合，，若，则实数______． 【答案】 或或 【解析】 【详解】因为，所以. 已知，集合. 分两种情况讨论： ①当时，方程无解，即，此时成立，故符合题意； ②当时，方程的解为，即. 因为，所以. 若，解得； 若，解得. 综上所述，实数的值为，，. 10. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 11. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A、B都赞成的学生有____________人 【答案】21 【解析】 【分析】赞成的人数，赞成的人数为，设对A、B都赞成的学生为，则对A、B都不赞成的学生数为，画出韦恩图，形象的表示出各数量间的联系即可求出都赞成的学生数. 【详解】赞成的人数为，赞成的人数为 画出韦恩图，如图，记名学生组成的集合为 赞成事件的学生全体为集合，赞成事件的学生全体为集合， 对A、B都赞成的学生为，则对A、B都不赞成的学生数为， 赞成而不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为， 依题意，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了韦恩图的应用，解题的关键是找到各数量之间的关系，属于基础题. 12. 已知非空集合满足，其中，，若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】的含义是：在集合里面，含有元素且具有性质的非空集合的个数；具有性质代表存在，只要，就有；得出非负整数的范围，对的取值依次代入寻找具有性质的集合，从而得出的值. 【详解】由题意得表示的具有性质的非空子集个数. 表示中含有元素、且满足性质的非空集合的数量. 因为集合中最小的元素为，最大的元素为， 当时，均有(为非负整数)，因为，所以，所以，即. 当时，，可以是，，，，共个； 当时，，可以是，，，，共个； 当时，，可以是，，共个； 当时，，可以是，，共个； 当时，，可以是，共个； 当时，，可以是，共个； 综上所得，中包含元素、且满足性质的非空集合共有个，即. 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分．每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质判断必要性，通过举反例否定充分性即可. 【详解】若取，满足，但得不出，则充分性不成立； 若，因，则可得，即，则必要性成立. 故“”是“”的必要非充分条件. 14. 设，，U为整数集，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为整数集， 所以. 15. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. 变化不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过用字母表示升级前后的屏幕面积和整机面积，利用分数的性质比较两个比值的大小，得出结论. 【详解】根据题意，不妨设升级前该手机的屏幕面积为，整机面积为，， 则升级前的“屏占比”为，升级后的“屏占比”为，其中为升级后增加的面积， 由分数性质知，所以升级后“屏占比”变大． 故选：C． 16. 设存在正实数t，若平面点集满足：任意点，都有，则称该点集为“t阶集”，则下列说法不正确的是（ ）． A. 若是“t阶集”，则． B. 若是“t阶集”，则t为任意正实数 C. 若是“t阶集”，则． D. 若是“t阶集”，则． 【答案】D 【解析】 【分析】本题为新定义题，理解“阶集”的概念是关键.根据定义，对于集合中任意一点，坐标变为后仍在集合中.逐项将代入集合对应的方程或不等式中，求出的取值范围或值，再结合选项进行判断即可. 【详解】点集.若是“阶集”，则任意点满足，其对应的点也满足.将代入，得，解得.因为为正实数，所以.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足，即，此式对任意正实数均恒成立，所以可为任意正实数.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足，即.因为，化简得.要对任意满足的点均成立，必须有.又，所以.故正确； 点集.若是“阶集”，则满足.已知且，所以.要使对任意符合条件的恒成立，必须有，即(当时)，解得.选项说，故错误. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 集合，. （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集和并集的概念求解即可. （2）根据题意得到，从而得到，再解不等式组即可. 【小问1详解】 若，，. 则，. 【小问2详解】 因为是的必要条件，所以. 所以. 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据，即可求得实数的取值范围； （2）由一元二次方程中根与系数的关系得到，结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）由题意方程有实数根， 则满足，解得， 即实数的取值范围是. （2）由（1）可知， 根据一元二次方程中根与系数的关系，可得， 因为， 解得或，又因为，所以 19. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值； （2）根据不等式恒成立，结合二次函数的图像，讨论k的取值，求出结果即可． 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可知，和1是一元二次方程的两根， 所以有，解得. 【小问2详解】 不等式的解集， 若，不等式为，符合题意； 若，则有，解得， 所以不等式的解集为R，求实数k的取值范围为 20. 问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； （3）若实数，，，满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：. 因为， 所以. 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）仿照题干中的解法，将与相乘之后，再用基本不等式可以解决； （2）仿照题干中的解法，将与相乘之后求出的最小值，恒成立问题中的最大值等于的最小值； （3）仿照题干中的解法，将与相乘展开，再利用基本不等式放缩完成证明. 【小问1详解】 因为，， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 故的最大值为. 【小问3详解】 略 21. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：， ， ，  ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【小问1详解】 由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 【小问2详解】 （1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年高一年级数学学科阶段反馈 2026.10.9 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟． 2．本考试分试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并核对准考证号是否填涂正确． 一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分．考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．） 1. 用符号或填空：________ 2. 已知集合，，则______． 3. 请写出陈述句“”的否定形式______． 4. 不等式的解集为______． 5. 若，则的最小值为__________. 6. 已知集合，，若⫋则实数a的取值范围是______． 7. 满足条件⫋⫋的集合M的个数是______． 8. 已知，，则的范围是______． 9. 已知集合，，若，则实数______． 10. 在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 11. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A、B都赞成的学生有____________人 12. 已知非空集合满足，其中，，若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质．设具有性质的集合的个数为，则______． 二、选择题（本大题共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分．每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．） 13. 已知a、b都是实数，那么“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 设，，U为整数集，则（ ）． A. B. C. D. 15. 手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0∼1（不含0，1）内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前相比（ ） A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. 变化不确定 16. 设存在正实数t，若平面点集满足：任意点，都有，则称该点集为“t阶集”，则下列说法不正确的是（ ）． A. 若是“t阶集”，则． B. 若是“t阶集”，则t为任意正实数 C. 若是“t阶集”，则． D. 若是“t阶集”，则． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．） 17. 集合，. （1）若，求，； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个实数根满足，求的值． 19. 已知关于x的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数k的值； （2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 20. 问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； （3）若实数，，，满足，求证：． 21. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $