专题01 平面直角坐标系及其综合应用（高效培优期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题01 平面直角坐标系及其综合应用 考点01 由点所在位置求参数 考点02 坐标与图形的面积（割补法） 考点03 点坐标规律探索 考点04 坐标系+动点存在性问题 考点05 坐标系中的新定义 考点01 由点所在位置求参数 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵在x轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴所在的象限是第四象限． 故选：D． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵点在第三象限， ∴点横坐标小于，纵坐标小于， 即且， 解得：， ∵点到轴的距离为，， ∴． 解得：． 当时，，， 即点在第三象限，且到轴的距离为，符合条件． 故答案为：4． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点在第三象限，且点P到y轴距离是到x轴的距离的5倍，求点P的坐标． 【答案】 【详解】解：∵点P到y轴距离是到x轴的距离的5倍，且它在第三象限， ∴ 解得： ∴点P的坐标为． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为8，求点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)的坐标为 【详解】（1）解：∵轴， ∴， ∴， ∴的坐标为 （2）解：∵点在第一象限， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和为8， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【详解】（1）解：根据题意得：，解得， ∴点P的坐标为． （2）∵点Q的坐标为，直线轴， ∴，解得， 故，则． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点A在第四象限，求a的取值范围； (2)若点，且轴，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在第四象限， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． （2）解：∵点B的坐标为，且轴， ∴，解得， ∴点A的坐标为． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于x轴时，求点M的坐标； (2)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 轴，，， ， 解得：， 的坐标为． （2）解：由题意得： 解得：， 的坐标为． 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）直线平行于轴， ， 解得， ， ； （3）不可能； 理由：若点在第二象限， 则， 不等式组无解， 点不可能在第二象限． 考点02 坐标与图形的面积（割补法） 9.如图，已知四边形ABCD． （1）写出点A，B，C，D的坐标；（2）试求四边形ABCD的面积(网格中每个小正方形的边长均为1） 【答案】(1) ;(2)16 【详解】解:(1)由图象可知; (2)作于于， 则 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积． 【详解】(1)如图，即为所求； （2）解：如下图所示： 由图可得：的面积为：． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； ； (2)． 【详解】（1）解：由图可得，点的坐标为； （2）解：的面积为． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是的边上的一点，把经过平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点P的对应点为． (1)直接写出D，E，F三个点的坐标并画出； (2)求的面积． 【答案】(1)， 如图，即为所求， (2)7 【详解】（1）解：∵点P平移前后的坐标分别为，， ∴点P平移方式即为的移方式：先向下平移4个单位，再向左平移2个单位， ∴、、三个点的坐标为， （2）解： ． 13．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．    (1)画出； (2)求出的面积； (3)若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标． 【详解】(1)如图，即为所求； （2）解：由题意知，， ∴的面积为； （3）解：由题意知，点平移后对应点的坐标为 ． 考点03 点坐标规律探索 14．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，，，，……， ∴观察发现：每三个点为一组，第组的三个点的坐标依次为，，， ∵， ∴是第组的第三个点， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴， 故选：C 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由，，，可知， ， 且四边形为矩形， 所以矩形的周长为． ∵， ∴， ∴第2026秒点所在的位置在点下方1个单位长度处，即； 故选：A． 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， 小球第次碰到球桌边时，小球的位置是， ， ∴小球经过次回到出发位置， ∵， ∴小球第次碰到球桌边时，位置是， 故选：． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】解：根据图形上的点分为为第一圈，有个点，即个点， 为第二圈，有个点，即个点， 为第三圈，有个点，即个点， 则第圈有个点， 则总计为个点， 当时，， 则第2025个格点是第23圈的第1个点， ∵第一圈的第一个点为，第二圈的第一个点为，第三圈的第一个点为，第四圈的第一个点为， 则第圈的第一个点为个点， ∴第23圈的第一个点为， ， 根据图形上的点分为为第一圈，根据对称性可得坐标值之和为0，为第二圈，同理坐标值之和为0， 以此类推，第三圈的坐标值之和为0，第圈的坐标值之和为0， ∵第2025个格点在第23圈的第1个点，且前22圈的坐标值之和为0， ∴， 故选：B． 18．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有个数，第二列有个数， 第列有    个数，则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第个数一定在第列，由下到上是第个数， ∴第个点的坐标是， 故选： ． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：∵第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到． ∴点的横坐标运动规律是每运动四次向右平移4个单位，纵坐标是按照0，1，0，四个为一个循环的． ， ∴动点第2026次运动时向右个单位，纵坐标为第二次移动后的点为0， ∵第一次是从开始运动， ， ∴点此时坐标为， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1）______． （2）______． 【答案】 【详解】解：（1）由题意可知 …… 于是得到的值为1，，，3， ∴； 故答案为：2． （2）∵的值分别为3，，，， ∴； ∵， ， … ， ∵， ∴． ∵，,，…… ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上 【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，，， ∴，，， 观察可知，每四次运动为一个循环，横坐标增加2， ∴在轴上， ∴， ∴； （2）解：观察可知，每四次移动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为，依次出现， ， 的纵坐标为1，横坐标为， ． ， ∴从点到点的移动方向与从点O到点的移动方向一致，为向上． 22．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)；；； (2)点的坐标为； (3)向右． 【详解】（1）解：由题意和图可知，， ∴（为整数）在轴上，横坐标为，纵坐标为， 在轴上，横坐标为，纵坐标为， 与的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 当时，即的横坐标相同为，纵坐标为， ∴， 故答案为：；；； （2）解：由（1）可知，点的坐标为； （3）解：∵， ∴蚂蚁从点到点的移动方向与点到的移动方向一致为：向右． 24．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 25．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）解：由题意得，，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移规律可知，把向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处， ∴，，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 考点04 坐标系+动点存在性问题 27．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：如图，连接，设， ∵，，且， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； （3）解：∵，， ∴， ∴． 设， ∵三角形的面积和三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴此时点P的坐标为或． 28．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)45度 (3)存在，或 【详解】（1）解： ，， ，， 又∵， ∴，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：4； （2）作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ； （3）存在．当点在轴正半轴上时，如图所示， 设点的坐标为，分别过，，作轴，轴，轴，交于点，， 由（1）知， ，易知，，，， ， 解得， 当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，， 设点的坐标为， ，，，，， ， 解得， 综上所述，点的坐标为或． 29．在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“坐标距离”．例如：点的“坐标距离”；点的“坐标距离”.如图，已知点，，点是线段上的一动点． 解决下列问题： (1)若，则点的坐标为______； (2)随着点的运动，的取值范围是________； (3)①若将线段向右平移个单位（），点的对应点为，如果，求的取值范围； ②若将线段向上平移个单位（），得到线段，若线段上不存在“坐标距离”为1的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)①；② 【详解】（1）解：设点， ∵， ∴， 即或， 解得或， ∴点P的坐标是或； 故答案为：或； （2）解：设点， 当时，，即； 当时，，即， ∴； 故答案为：； （3）解：点的坐标为， ∵， ∴， 即或， 解得或（舍去）， 可得， 解得； ②线段上对应点的坐标为， 当时， 可得且， 即或， 解得或， 当时，不存在“坐标距离”为1的点， 即或， 解得或． 综上所述，． 30．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动4秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动4秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 31.如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意，点的坐标为，点的坐标为， 故，点到轴的距离为． 故答案为：，． （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴四边形的面积为． （3）解：存在． 理由：过点作直线平行于轴，过点作于，过点作于． 设， ∴，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 解得：， ∴存在点使得的面积是四边形面积的一半，． 32．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点，且．    (1)　 　，　 　． (2)如图，若点E是第一象限内的一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 【答案】(1)4，6 (2)①2秒或6秒；②或 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得； 故答案为：4，6； （2）①设经过x秒， 若点P在y轴右侧， 依题意，得， 解得， 若点P在y轴左侧， 得 解得 ∴经过2秒或6秒后； ②当点P在y轴右侧时， 依题意，得， 解得， ， 此时点P 的坐标为， 当点P在y轴左侧时， 依题意，得， 解得， ， 此时点P 的坐标为． 综合以上可得点P的坐标为或． 33.如图，在平面直角坐标系中，点，为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足方程． （1）求点、的坐标； （2）点为轴负半轴上一点，且的面积为，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半，若存在，求出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4）；（2）点C坐标为（0，-4）；（3）存在，点P坐标为（，0）或（-，0）． 【详解】（1）∵， ∴b=1， ∵，， ∴点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4）． （2）如图，∵A（-3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4， ∵△ABC的面积为12， ∴BC·OA=12，即×3×BC=12， 解得：BC=8， ∵点为轴负半轴上一点， ∴OC=BC-OB=8-4=4， ∴点C坐标为（0，-4）． （3）如图，∵的面积等于的面积的一半，△ABC的面积为12， ∴△PBC的面积为6， ∴BC·OP=6，即×8×OP=6， 解得：OP=， 当点P在原点左边时，点P坐标为（-，0）， 当点P在原点右边时，点P坐标为（，0）， ∴存在一点，使的面积等于的面积的一半，点P坐标为（，0）或（-，0）． 34.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点． （1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．                   ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）C（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在，点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2），理由见解析 【详解】（1）作DE⊥x轴， ∵A（﹣5，0），D（2，7）， ∴AE＝DE＝7，AO＝5， ∵△CAO，△DAE为直角三角形， ∴∠CAO＝45°， ∴△CAO是等腰直角三角形， ∴CO＝AO＝5， ∴C（0，5）； （2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）； ②存在．设E的坐标为（0，y） 当x＝2时，△APQ＝（5+3）×7÷2＝28， 情况一：E在y轴的正半轴 （y﹣7）×5÷2＝28 y＝18.2 ∴E（0，18.2） 情况二：E在y轴的负半轴 （7﹣y）×5÷2＝28 y＝﹣4.2 ∴E（0，﹣4.2） 则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2）． 35.如图，在矩形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点B的坐标为_________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为_________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 【答案】(1)， (2)点P移动的时间是或 (3)或或或 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 当点P移动3.5秒时，P运动的路程为，此时P在上，且， ∴ 故答案为：，； （2）解：由题意，得在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时，点P移动的时间是：； 第二种情况，当点P在上时，点P移动的时间是：． 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间是或； （3）解：设点P移动的时间为． 当点P在边上时，如解图1所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时； 当点P在边上时，如解图2所示， 的面积是10， ，即， 解得， ， 此时； 当点P在边上时，如解图3所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时； 当点P在边上时，如解图4所示， 的面积是10， ，即， 解得， 此时． 综上所述，满足条件的时间的值为或或或． 36.如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2＋＝0，|c﹣4|≤0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a＝2，b＝3，c＝4；（2）S△AOP＝﹣m；（3）P（﹣6，1） 【详解】解：（1）∵（a﹣2）2＋＝0， ∴a＝2，b＝3， ∵|c﹣4|≤0， ∴c＝4； （2）由（1）得A（0，2）， ∵点P（m，1）在第二象限， ∴P到线段A0的距离为|m|， ∴S△AOP＝ ×2•|m|＝|m|， ∵m＜0， ∴S△AOP＝﹣m； （3）存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等， 理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4）， ∴|BC|＝4，点A到BC的距离为3， ∴S△ABC＝ ×3×4＝6， ∵△AOP的面积与△ABC的面积相等， ∴﹣m＝6，解得m＝﹣6， ∴存在点P（﹣6，1），使△AOP的面积与△ABC的面积相等． 37．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【详解】（1）解：， ， 解得， 点， ， 根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3， ∵垂直x轴， ∴垂直x轴， ∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4， 点C的坐标为； （2）解：存在， 根据题意分以下两种情况讨论： 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴； 当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，点， ∴， 解得， ∴， ∴此时． 综上所述，当时，；当时，． 38.已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点M，使的面积的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)y轴上不存在，x轴上，． 【详解】（1）解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴，解得：， ∴，， ∴ （2）解：由（1）可知：， ∵轴，点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等， ∴C的横坐标为1，纵坐标为2， ∴ （3）解：假设存在点M，使得， ∵，， ∴， ∴， 当点M在y轴上时，设，则， ∴点M不能在y轴上， 设，到AC的距离为h，如图： 则，， 当M位于AC左侧时，，得； 当M位于AC右侧时，，得； 综上所述：，． 考点05 坐标系中的新定义 39．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 12 或 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 40．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______ （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 6 或 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 41．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中，例如：． （1）_____． （2）若，则_____． 【答案】 1 【详解】解：（1）由变换公式 ， ，代入 ， ： ， 故 ； 故答案为：； （2）设 ，则 ， ， ， 已知 ， ∴，解得：， ∵， ， ∴， 解得； ∴ ． 故答案为 1． 42．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为， ∴， 解得 ∴点P的坐标是； 故答案为： （2）由题意可得：设点P的“美好点”为， 又∵Q在x轴上， 所以解得； 43．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级开心点”为 ，即． (1)若点P的坐标为，则点P的“3级开心点”的坐标为______； (2)若点的“级开心点”N位于y轴上，求点N的坐标． 【答案】(1) (2)点N的坐标为 【详解】（1）依题意，；， ∴若点P的坐标为，则它的“3级关联点”的坐标为． 故答案为：； （2）依题意，点的“﹣3级关联点”为 ， ∵N位于y轴上，横坐标为0， ∴ ， 解得： ∴， ∴． 44．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中m为常数，且m≠0），则称点为点P的“m属派生点”，例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点” 的坐标为 ； (2)若点P的“4属派生点” 的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在y轴的正半轴上，点P的“m属派生点”为点，且，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）将代入点的坐标中， 得， 所以点的“2属派生点” 的坐标为， 故答案为． （2）设，由定义可得， 解方程组，得， 所以点P的坐标为． （3）设，则点P的“m属派生点” 点的坐标为， 因为， 所以， 所以， 因为点P在y轴的正半轴上， 所以， 所以， 解得． 45.在平面直角坐标系xOy中，对于点P (x，y)，若点Q的坐标为(ax+y，x+ay)， 其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点"，例如，点P(1，4)的“3级关联点"为Q (3×1+4，1+3×4)， 即Q (7，13)． (1)已知点A (-2，6)的“级关联点”是点A1，点B的“2级关联点”是B1 (3， 3)， 求点A1和点B的坐标： (2)已知点M (m-1， 2m)的“-3级关联点"M位于坐标轴上，求M的坐标 【答案】（1）A1 (5， 1)，；（2） (，0)或 (0，-16). 【详解】(1) ∵点A(-2， 6)的“级关联点”是点A， ∴A (，)， 即A1 (5， 1). 设点B(x， y)， ∵点B的“2级关联点"是B (3， 3)， ∴， 解得，即， (2) ∵点M(m-1， 2m) 的“- 3级关联点”为M (-3 (m-1) +2m， m-1+ (-3) ×2m)，即 (-m+3， -5m-1)， 当位于x轴上，.m-1-6m= =0解得：， ∴-3 (m-1) +2m= ， ， 当位于y轴上，∴.-3 (m-1) +2m=0，解得： m=3， ∴，. 综上所述，点坐标是 (，0)或 (0，-16). 46．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】 (1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【答案】(1)；2；2 (2) ①如图，线段、线段即为所求． ②或 【详解】（1）解：将点进行“3型平移”的对应点坐标为，即， 点的“t型平移”点的坐标是， 则， 解得 故答案为：；2；2； （2）（2）①∵端点A，B的“型平移”点分别是，， ∴，， 即， ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或， 解得或，即t的取值范围是或． 47.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为； (1)已知点，为轴上的动点， ①若点与的“识别距离”为，写出满足条件的点的坐标　 　． ②直接写出点与点的“识别距离”的最小值　 　． (2)已知点坐标为，，求点与的“识别距离”的最小值及相应的点坐标． 【答案】(1)①或，② (2)当时，“识别距离”最小值为，相应点坐标为 【详解】（1）解：①∵为轴上的动点， ∴设点的坐标为， ∵点与的“识别距离”为，点， ∵，， 解得：或， ∴点的坐标是或， 故答案为：或； ②设点的坐标为，且， ∴，， 若，则点、的“识别距离”为； 若，则点、的“识别距离”为． ∴点与点的“识别距离”的最小值为． 故答案为：． （2）∵，， ①当时，点与的“识别距离”为， 当时，， 解得：， ∴， ∴点与的“识别距离”最小值为， 此时，； 当时，， 解得：， ∴， ∴点与的“识别距离”最小值为， 此时，； 当时，， 解得：， ∴， ∴点与的“识别距离”最小值为， 此时，； ②当时，点与的“识别距离”为， 当时，， 解得：， ∴ ∴点与的“识别距离”最小值为， 此时，； 当时，， 解得：， ∴， ∴ ∴点与的“识别距离”最小值大于， 当时，， 解得：（舍去）． 综上所述，当时，“识别距离”最小值为，相应的点坐标为． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系及其综合应用 考点01 由点所在位置求参数 考点02 坐标与图形的面积（割补法） 考点03 点坐标规律探索 考点04 坐标系+动点存在性问题 考点05 坐标系中的新定义 考点01 由点所在位置求参数 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如果点在x轴上，那么点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知点在第三象限，且点到轴的距离为1，则的值是________． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知点在第三象限，且点P到y轴距离是到x轴的距离的5倍，求点P的坐标． 4．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于轴时，求点的坐标； (2)若点在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为8，求点的坐标． 5．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知点，解答下列各题． (1)若点A在第四象限，求a的取值范围； (2)若点，且轴，求点A的坐标． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)存在点，当平行于x轴时，求点M的坐标； (2)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为6，求点M的坐标． 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 考点02 坐标与图形的面积（割补法） 9.如图，已知四边形ABCD． （1）写出点A，B，C，D的坐标； （2）试求四边形ABCD的面积(网格中每个小正方形的边长均为1） 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的； (2)若点，求的面积． 11．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 12．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知是的边上的一点，把经过平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，点P的对应点为． (1)直接写出D，E，F三个点的坐标并画出； (2)求的面积． 13．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，将向左、向下分别平移5个单位，得到．    (1)画出； (2)求出的面积； (3)若点是内一点，直接写出点P平移后对应点的坐标． 考点03 点坐标规律探索 14．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个点，按如图顺序依次排列为：，，，，，，……，按此规律排列下去，则的坐标为（    ）． A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点的坐标分别为，，，，一动点从点出发，以个单位长度／秒的速度沿循环运动，则第2026秒点所在的位置是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的格点，其顺序按图中箭头的方向排列，如第一个格点为，以下依次为，其中记第个格点的坐标值为，前个格点的坐标值之和为，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 18．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从点出发，按照箭头所示顺序运动，依次经过点和，则动点P第2026次运动到达的点的坐标为________． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1）______． （2）______． 21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（n是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 22．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 23．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； (2)写出点的坐标（为正整数）； (3)指出蚂蚁从点到点的移动方向． 24．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 25．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 26．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，，如此继续运动下去，设（为正整数）． (1)_____； (2)_____；_____； (3)求的值． 考点04 坐标系+动点存在性问题 27．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交轴于点． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)求点的坐标； (3)点为轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标． 28．如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 29．在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“坐标距离”．例如：点的“坐标距离”；点的“坐标距离”.如图，已知点，，点是线段上的一动点． 解决下列问题： (1)若，则点的坐标为______； (2)随着点的运动，的取值范围是________； (3)①若将线段向右平移个单位（），点的对应点为，如果，求的取值范围； ②若将线段向上平移个单位（），得到线段，若线段上不存在“坐标距离”为1的点，请直接写出的取值范围． 30．（24-25八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31.如图1，四边形各个顶点的坐标分别为，，，． (1)______，点到轴的距离为______． (2)求四边形的面积． (3)如图2，已知点为轴正半轴上的一个动点，点是否存在一个位置使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点，且．    (1)　 　，　 　． (2)如图，若点E是第一象限内的一点，且轴，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动． ①经过几秒？ ②若某一时刻以A、O、Q、P为顶点的四边形的面积是，求此时点P的坐标． 33.如图，在平面直角坐标系中，点，为轴负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，其中满足方程． （1）求点、的坐标； （2）点为轴负半轴上一点，且的面积为，求点的坐标； （3）在轴上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半，若存在，求出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 34.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点． （1）求C点的坐标； （2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．                   ①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标； ②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由． 35.如图，在矩形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)点B的坐标为_________；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为_________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求点P移动的时间． 36.如图，在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中a，b，c满足关系式（a﹣2）2＋＝0，|c﹣4|≤0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），请用含m的代数式表示△AOP的面积； （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒． (1)求点C的坐标； (2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 38.已知：在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1． (1)求点的坐标； (2)若轴，且点C到x轴的距离与点A到x轴的距离相等，请直接写出点C的坐标； (3)在坐标轴上是否存在一点M，使的面积的面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点05 坐标系中的新定义 39．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 40．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______ （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______． 41．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，点经过变换得到点，该变换记为，其中，例如：． （1）_____． （2）若，则_____． 42．（25-26八年级上·安徽六安·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点P的“美好点”为点Q．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是_______； ②若点P的“美好点”为，则点P的坐标是________； (2)若点的“美好点”位于x轴上，求a的值． 43．在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为，则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级开心点”为 ，即． (1)若点P的坐标为，则点P的“3级开心点”的坐标为______； (2)若点的“级开心点”N位于y轴上，求点N的坐标． 44．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中m为常数，且m≠0），则称点为点P的“m属派生点”，例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点” 的坐标为 ； (2)若点P的“4属派生点” 的坐标为，求点P的坐标； (3)若点P在y轴的正半轴上，点P的“m属派生点”为点，且，求m的值． 45.在平面直角坐标系xOy中，对于点P (x，y)，若点Q的坐标为(ax+y，x+ay)， 其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点"，例如，点P(1，4)的“3级关联点"为Q (3×1+4，1+3×4)， 即Q (7，13)． (1)已知点A (-2，6)的“级关联点”是点A1，点B的“2级关联点”是B1 (3， 3)， 求点A1和点B的坐标： (2)已知点M (m-1， 2m)的“-3级关联点"M位于坐标轴上，求M的坐标 46．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）【阅读材料】 定义：在平面直角坐标系中，对于任意一点，如果把点P平移，得到点，那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当时，点的“型平移”点的坐标就是． 【问题解决】 (1)点的“3型平移”点的坐标为______． 若点的“t型平移”点的坐标是，则______，______． (2)已知线段的两个端点分别是，． ①端点A，B的“－1型平移”点分别是，，请在图中画出线段及线段． ②若线段上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 47.在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为； (1)已知点，为轴上的动点， ①若点与的“识别距离”为，写出满足条件的点的坐标　 　． ②直接写出点与点的“识别距离”的最小值　 　． (2)已知点坐标为，，求点与的“识别距离”的最小值及相应的点坐标． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $