云南省玉溪市红塔区玉溪第十三中学2025-2026学年度上学期九年级数学期中考试卷

2025-2026学年度初中数学期中考试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（共30分） 1．（本题2分）下列函数表达式中，表示是的反比例函数的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题2分）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（本题2分）如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点B，则的解集是（    ） A． B．或 C． D． 4．（本题2分）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）下列为一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（本题2分）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（本题2分）已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 10．（本题2分）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11．（本题2分）罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在2023年医保谈判中经两轮“砍价”，从63800元/瓶降至3900元/瓶，成功进入医保目录．设这两轮谈判药物价格平均下降率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．（本题2分）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：；；③当时，y随x的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为， ；⑤若m， n为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 13．（本题2分）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则. ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根. ③若是方程的一个根，则一定有成立. ④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等的实数根． 其中正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 14．（本题2分）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝0.75x C．x：y＝8 D．xy＝﹣1 15．（本题2分）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤对任意实数，不等式总成立．其中正确的结论有_____．（填序号） A．①②③ B．①③⑤ C．①④⑤ D．②④⑤ 二、填空题（共8分） 16．（本题2分）抛物线的顶点坐标是_______． 17．（本题2分）点与点关于原点对称，则的值为 _____． 18．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线，交于点M，点D，M恰好都在反比例函数的图象上，则的值为__．    19．（本题2分）已知，，满足，，则的值是___________ 三、解答题（共62分） 20．（本题6分）已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求m的值； （2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标． 21．（本题7分）已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，求这个抛物线所表示的二次函数的表达式． 22．（本题6分）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为．点的坐标为，且满足，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)___________，___________，点的坐标为___________． (2)当点移动秒时，求出点的坐标； 23．（本题7分）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 24．（本题8分）已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，抛物线上另有一点在第一象限，且使， (1)求点和点的坐标； (2)求的长及的值； (3)设直线与轴交于点，当点恰好在的垂直平分线上时，求直线和抛物线的解析式． 25．（本题8分）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出件；每降价1元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？（商品的售价为正整数） (1)设每件涨价元，利润为元． 根据题意，得． ∵，，∴． 根据上面的函数，填空： 当______时，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价______元，即定价______元时，利润最大，最大利润是______元． (2)在降价的情况下，最大利润是______元． (3)由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，直接写出最大利润． 26．（本题8分）中华人民共和国第十四届运动会于年在陕西省举办，旅游景点销售一批印有会徽以及吉祥物的文化衫，每件进价元，当每件元售出时，平均每天可售出件，在此基础上，为了扩大销售，增加盈利，景点决定采取降价措施，经过一段时间的销售发现，文化衫的单价每降元，平均每天可以多售出件． (1)设文化衫的单价为x元，每日利润为y，写出与的关系式； (2)若降价后，商场销售这批文化衫每天盈利元，单价应定为多少元？ (3)当文化衫的单价定为多少元时，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 27．（本题12分）随着生活水平的提高，人们越来越注重营养健康，有一种有机水果在市场上特别受欢迎，某大型超市以10元/千克的价格在产地收购了6000千克水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①水果的市场价每天每千克上涨0.1元； ②平均每天有10千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为300元； ④该水果最多保存110天； （1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为 元； （2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为9600元？ （3）将这批水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度初中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C B B A C C 题号 11 12 13 14 15 答案 D C A D B 1．C 【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1）不符合反比例函数的形式，是正比例函数； （2）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （3）因为，所以，，可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （4）可变形为，符合反比例函数的形式，是反比例函数； （5）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数； （6）不符合反比例函数的形式，不是反比例函数． 综上所述，是反比例函数的为（2）（3）（4）共3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义（形如的函数叫做反比例函数），牢记反比例函数的定义是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式顶点坐标为，对称轴是直线，即可求解． 【详解】抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线， 故选：C． 3．D 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系．先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】 解：由题意可得和， 解得和， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为和， 联立得，解得或， 当时，， ∴， 观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 故选：D． 4．B 【分析】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握其定义． 依据二次函数的定义回答即可． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、是一次函数，故C错误； D、是一次函数，故D错误． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．也考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、为一元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为一元二次方程，所以该选项符合题意； C、为分式方程，所以该选项不符合题意； D、对于，只有当时，它为一元二次方程，所以该选项不符合题意． 故选：B． 7．B 【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 8．A 【详解】解：将三点横坐标分别代入， 得， ， ， ∵， ∴． 9．C 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．设点，根据将点绕原点旋转后得到点，可得，易得，，然后由四边形的面积求解即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上， 可设点， ∵将点绕原点旋转后得到点， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．由于本题不确定的符号，所以应分和两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 【详解】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限，如图所示： ，与C选项符合； 当时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数经过一、三象限．如图所示： ，没有选项与之符合． 故选：C． 11．D 【分析】根据经两轮“砍价”，从63800元瓶降至3900元瓶，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．C 【分析】由开口方向确定a，由与y轴交点判c，由对称轴及a判b，结合对称轴及的点即可判a，c关系，根据交点即对称性即可判方程的根，即可得到答案； 【详解】解：由函数图象可得， ，，， 则，故①正确； ，得， ∵时，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴的两个根为，， ∴的两个根为，， ∴一元二次方程的两根分别为， ，故④正确； ∵该函数与x轴的两个交点为，， ∴该函数的解析式可以为， 当时，， ∴当对应的x的值一个小于，一个大于2， ∴若m，为方程的两个根，则且，故⑤正确； 故选：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图像判断各个式子的值，解题的关键是根据图像判断各项系数与0的关系，结合对称轴及与x轴交点确定方程的解． 13．A 【分析】时，，故方程有实数根，即可得，进而可判定①正确，根据一元二次方程根的判别式得，再根据，进而得，即可得方程必有两个不相等的实数根，可判定②正确，把代入方程，得，当时，成立，但不一定为0，可判定③错误，根据方程有两个不相等的实数根，得，当时，方程是一元一次方程，只有1个实数根，可判定④错误，即可得答案. 【详解】解：①若时，方程有实数根， ，故①正确. ②∵方程有两个不相等的实数根， ， ∵方程的判别式，且， ， ∴方程必有两个不相等的实数根，故②正确. ③将代入方程，得，整理得，当时，成立，但不一定为0，故③错误. ④方程有两个不相等的实数根，则，当时，方程变为，是一元一次方程，只有1个实数根，故④错误. 综上所述，正确的说法共2个. 14．D 【分析】根据反比例函数的定义即可得． 【详解】A、函数是一次函数，此项不符题意； B、函数是正比例函数，此项不符题意； C、函数可变形为，是正比例函数，此项不符题意； D、函数可变形为，是反比例函数，此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟记定义是解题关键． 15．B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故选：B． 16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点式方程的顶点坐标是，据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点的坐标是． 故答案是：． 17．4 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 得，， 即． 故答案为：4． 18． 【分析】设，，根据中点坐标公式得到，代入，得到，利用菱形性质，结合勾股定理，正切函数计算即可． 【详解】设，， ∵菱形的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线，交于点M， ∴，，， ∴， 代入，得 ， 解得， ∴ 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵ 解得（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，勾股定理，中点坐标公式，熟练掌握菱形的性质，反比例函数的性质，勾股定理是解题的关键． 19．4 【分析】由a﹣b=8，得出a=b+8，进一步代入ab+c2+16=0，进一步利用完全平方公式分组分解，进一步利用非负数的性质求得a、b、c的数值，进一步代入求得答案即可． 【详解】∵a﹣b=8， ∴a=b+8， ∴ab+c2+16=b(b+8)+c2+16=(b+4)2+c2=0， ∴b+4=0，c=0， 解得：b=﹣4， ∴a=4， ∴2a+b+c=4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 20．（1）m=-4；（2）（0，﹣4），（1，0）． 【分析】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m，即可求解； （2）令x=0时，则：y=﹣4，令y=0，则x2+3x﹣4=0，即可求解． 【详解】（1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4； （2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）． 令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，是二次函数基础类题目． 21． 【分析】设顶点式，然后把代入求出a即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 22．(1), ； (2) 【分析】本题考查非负数的性质、长方形的坐标特征与点的运动问题； （1）利用非负数的性质求，结合长方形坐标特征得点坐标； （2）通过路程计算与分段分析确定点位置进而确定坐标，关键是掌握非负数的性质和点的运动路径分析，易错点是点运动分段时的路程计算错误． 【详解】（1）解：因为，所以； 在长方形中，，所以点的坐标为； 故答案为； ； （2）点的移动速度是每秒个单位长度，移动秒时路程为个单位长度；先沿移动，因为，则剩余路程；再沿移动个单位长度后，横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标． 故答案为． 23．(1) (2) 解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）略 24．(1)， (2)， (3)； 【分析】（1）令抛物线中，可得出、的坐标； （2）可确定，的长；根据，可得出关于、、的比例关系式即可求出的长； （3）根据是的中点得出点的横坐标为，根据线段的长为，求点的坐标，待定系数法求一次函数解析式；将点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由， 得． ∵点在点的左边， ∴，； （2）解：如图所示， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴． ∴(负值舍去)． ∴线段的长为． ∴． （3）解：由题意得是的中点， ∴， ∵， ∴点的横坐标为． 又， 设， ∴， 解得：（负值舍去） ∴．   设直线的解析式为，过点，， 则有 ∴， ∴， 又点在抛物线上， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数点坐标的特征，相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质等，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25．(1)5，5，， (2) (3)元 【分析】（1）由题意得，根据二次函数的性质即可求解； （2）设每件降价m元，则每星期售出商品的利润w，则，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）比较（1）、（2）的最大利润即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线开口向下， 函数的对称轴为， ∴当时，的最大值为； ∴当时，最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是元； （2）解：设每件降价元，则每星期售出商品的利润元， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 函数的对称轴为， 题目要求售价是正整数，也就是降价m必须是整数， 不是整数，不能直接取， 需要验算相邻整数：和， 当时，； 当时，； 即在降价的情况下，最大利润是元； （3）解：， 故当元时，利润最大，即定价为元时，利润最大，最大利润为元． 26．(1) (2)元 (3)当定价为元时，每天的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据：每件的利润当日的销售量当日的总利润，求解即可； （2）令，然后解关于的一元二次方程，保留符合题意的根即可； （3）将二次函数化为顶点式，即可求出结果； 【详解】（1）解：根据题意可得： 化简得： 故与的关系式为： （2）解：由题意可得： 即： 解得：，（不合题意，舍） 答：当单价应定为元时，每天可盈利元． （3）解： ∵ ∴当时，有最大值，最大值为； 答：当定价为元时，每天的利润最大，最大值为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程；熟练根据题意列出二次函数表示式是解题的关键． 27．（1）；（2）这批水果存放80天后一次性出售所得利润为9600元；（3）将这批水果存放100天后一次性出售可获得最大利润为10000元 【分析】（1）根据等量关系水果的市场价格每天每千克上涨0.1元则可求出x天后这批水果的销售单价，再根据平均每天有10千克的水果损坏则可求出这批水果的销售量； （2）按照等量关系“利润＝销售总金额−收购成本−各种费用”列出方程求解即可； （3）根据等量关系“利润＝销售总金额−收购成本−各种费用”列出函数关系式并求最大值． 【详解】解：（1）若将这批水果存放天后一次性出售， 则天后这批水果的销售单价为 故答案为：； （2） 解得：或 ∵ ∴将这批水果存放80天后一次性出售所得利润为9600元； （3）设利润为，由题意得 ∵ ∴抛物线开口方向向下 ∴时， ∴当时，利润有最大值 将这批水果存在100天后一次性出售可获得最大利润为10000元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法和二次函数的最值求法等知识，注意二次函数的增减性的应用是解题关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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