江苏省宿迁市泗阳县海门实验2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2026级高一年级第一次调研测试 数学试题 满分150分 时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为 A. B. C. 3ddfbec35ded77f7d6e61dc4d0eb51d D. 2de799740dffb1ffa9c13538ba70cd4b 2.已知集合，，若，则满足条件的集合A的个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3.命题“”的否定是 A. B. C. D. 4.若集合，，则 A. B. C. D. 5.若实数a，b满足，，则 A. a的取值范围为 B. b的取值范围是 C. 的最小值是 D. 的最大值是9 6.小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是 A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 7.命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是 A.     B. C. D. 8.若关于x的不等式的解集为，则的最小值为 A. 8 B. 9 C. 3 D. 4 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分） 9.下列计算正确的是    A. B. C. D. 已知，则 10.下列命题是真命题的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，且，则 11.下列说法正确的有 A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，，且，则最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.计算：                            . 13.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为                            . 14.已知，，若关于x的不等式在时恒成立，则的最小值是                        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.13分 已知命题p：关于x的方程有实数根． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围； （2）设，，，求实数的取值范围. 16.15分 已知全集，集合，， （1）当时，求 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求 a的取值范围. 17.15分 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动。根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式为常数，若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16 万瓶。已知该产品每一万瓶需要投入成本30 万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完。设该产品的月销售利润为y万元。注：销售利润=销售收入-投入成本-广告费用 （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18.17分 已知函数 （1）对任意恒成立，求实数a的取值范围； （2）求不等式的解集. 19.17分 定义：设非空数集，若，，，则称M是一个“乘法封闭集”；若，，则称x为M的一个“完美元素”.已知集合 （1）证明：A是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”M恰有4个子集，求集合M； （3）若是集合A的一个“完美元素”，求的值. 数学试卷 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 【答案】 1. B  2. A  3. D  4. D  5. C  6. C  7. C  8. A  9. BC  10. BCD  11. AD  12.   13. 0或1或4  14.   15. (1)解：为真命题，则为假命题，即方程无实数根。 判别式由得： 解得：。 (2)解：，说明方程没有大于的实数根，分两类讨论： ① 当时，方程无实根，由(1)得：； ② 当时，方程有实根，，即或。 设，抛物线开口向上，若两根均不大于，需满足： ，联立解得：。 综合①②，取并集得：。 16. 解：时，， 或，， 所以 若“”是“”的充分不必要条件， 则， ， 若，则，符合题意; 若，则， 若，则， 若，则， 若，则， 综上，a的范围是  17. 解：由题知，时，， 于是，，解得 ， 所以，根据题意，， 即， 所以； ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当投入的广告费用为6万元时，该产品的月销售利润最大，最大利润为162万元.   18. ；   当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为  19. 解：证明：任取，，其中， 计算， 因，，故，所以A是“乘法封闭集”． 因M恰有4个子集，故M含2个元素，设， 由乘法封闭性，，，， 故等价于，故或此时 若，则或 若，，则或 若，，则或0或 所以M的其中一个元素必是0或1或， 若取0，则另一个元素是1，则； 若取1，则另一个元素是，则； 若取，则另一个元素是1，则 综上，或 因是完美元素，故， 有理化得，该式属于A，故设，均为整数， 设，则，，代入得， 因，得，又d，p，q为整数，故，即  【解析】 1. 【分析】 本题考查补集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合． 【解答】 解：依题意，集合， 而，则， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为 故选： 2. 解：，，且， 必须包含M的所有元素，且A的所有元素均属于N，； N中不属于M的元素构成集合，则A中除外的元素只能从的子集中选取，且不能同时选取2和7， 否则不符合真子集要求； 的子集共4个，分别为，排除后剩余3个有效子集，对应3个满足条件的集合A， 故选 3. 解：命题“”等价于“”，则它的否定为： 4. 解：，又， 对于A，，因与M都是集合，不能用连接，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，即C错误； 对于D，显然，故D正确. 5. 解：对于A，由，， 两式相加得，即，故A错误; 对于B，由，得， 又，两式相加得， 所以，故B错误; 对于C，D，设， 由，解得， 即 因为，所以， 又，所以，故C正确，D错误. 6. 【分析】 本题主要考查利用作差法比较代数式的大小，属于基础题. 设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答】 解：设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，即小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选： 7. 【分析】 本题考查充分不必要条件的应用，一元二次不等式恒成立问题，利用函数的单调性求最值，属于基础题. 先求出原命题为真命题的充要条件，再根据题意，找到为其范围真子集的选项即得. 【解答】 解：由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立， 当时，可得，当时，不等式可化为：， 设， ①因在上单调递减，故，则，故得； ②又因在上单调递减，在上单调递增，故， 则有，故得， 综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于， 依题意需使选项的范围是的真子集，故C正确. 故选： 8. 解：关于x的不等式的解集为， 二次项系数，且1、m是方程的两个实根， 由韦达定理得：，即，， 所以， 令，由得，则， 代入上式得：， 根据基本不等式，对任意，有，当且仅当即时等号成立， 因此，当即时等号成立，故最小值为 故选 9. 【分析】 本题考查指数幂运算，属于较易题. 根据指数幂的运算规则，根式和指数间的转化关系，逐一分析各选项即可. 解：对于A选项，，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，因为，所以， 所以，故D错误. 故选 10. 解：当，，A显然错误； 若，则，即，B正确； 若，则，C正确； ，且，则，， 所以，D正确． 故选： 由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 11. 略 12. 解：原式 13. ，若，则满足B为A的子集，此时A与B构成“全食”；若，  则若A与B构成“全食”或“偏食”，则或，解得或综上，实数a的值为0或1或 14. 解：因为，所以当时，；当时，， 要使关于x的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立． 则当时，；当时，， 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为 故答案为： 根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去b，结合基本不等式即可求解． 本题考查不等式恒成立问题，属于中档题． 15.本题考查了命题真假性的应用，属于基础题． 16. 详细解答和解析过程见【答案】 17. 本题考查利用一次、二次、分式函数模型解决实际问题，由基本不等式求最值，属于中档题. 先由已知条件求出待定系数k，写出关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； 将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 18. 函数， 由题有恒成立，即恒成立， 当时，则，解得， 当时，恒成立，符合题意； 综上可得，a的取值范围是； 由题，即， 当时，则，即，所以不等式的解集为； 当时，令，解得或， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为R， ③当时，，不等式的解集为； 当时，则，不等式的解集为， 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为 分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解； 先因式分解，再分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可． 本题主要考查一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题． 19. 详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $