精品解析：江苏南通市海安市十三校联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级数学 （试卷总分150分 测试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为(　　) A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27 3. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 8. 如图，中，，利用圆规在、上分别截取、，使，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，，P为上一动点，则取最小值时的长是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 9. 平面直角坐标系中，点，，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 4个 10. 如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共6题，共22分；第11-12题每题3分，第13-16题每题4分） 11. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是_________． 12. 小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是_____． 13. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________（“真”或“假”）命题． 14. 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 15. 已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 16. 如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. 如图，点、、、在直线上，点、在直线异侧，已知，，． （1）求证：； （2）求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求的面积． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 20. 如图，点在上，点在上，与交于点，，． （1）求证：； （2）求证：过点的直线垂直平分线段． 21. 如图，在中，、的平分线相交于点O，过点O与、分别相交于、，且． （1）求证：； （2）若，，试求的周长． 22. 如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，、是等腰直角三角形，，，，连接、．试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 24. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点返回点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）试说明：； （2）写出线段的长（用含的式子表示）； （3）连接，当线段经过点时，求的值． 25. “一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） （1）如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． （2）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （试卷总分150分 测试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分） 1. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴对称点横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 2. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为(　　) A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据①11是腰长时，三角形的三边分别为11、11、5，②11是底边时，三角形的三边分别为11、5、5，由三角形的三边关系判断是否可以构成三角形即可． 详解：①11是腰长时， 三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形， 周长=11+11+5=27； ②11是底边时， 三角形的三边分别为11、5、5， ∵5+5=10<11， ∴不能组成三角形， 综上所述，三角形的周长为27. 故选C. 点睛：本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形. 3. 国产人工智能模型、豆包等横空出世，迅速吸引了大众的眼球．以下四款人工智能的图标中，其图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，则此项符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 5. 如图所示是4个相同的小正方形，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据证明，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于D点，交于E点，若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵在中，的垂直平分线交于D点，交于E点， ∴， ∴的周长． 7. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 8. 如图，中，，利用圆规在、上分别截取、，使，分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，，P为上一动点，则取最小值时的长是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点G作于点H，由作图方法可知，平分，则，证明，得到，则，再由垂线段最短可得，当时，有最小值，此时点P与点H重合，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H， 由作图方法可知，平分， ∵，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时点P与点H重合， ∴取最小值时的长是1． 9. 平面直角坐标系中，点，，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】此题应该分情况讨论．以为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有2个，若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个，共有4个 【详解】解：（1）若作为腰时，有两种情况， ①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，共有1个即； ②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以为半径的圆与x轴的交点，有2个即，； （2）若是底边时，P是的中垂线与x轴的交点，有1个即． 以上4个交点没有重合的．故符合条件的点有4个． 故选D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 10. 如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断⑤正确；证明，根据，得出，判断②正确；证明，得出，判断④错误． 【详解】解：过点A作于点N，如图所示： ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵在和中， ∴， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的有4个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 二、填空题（共6题，共22分；第11-12题每题3分，第13-16题每题4分） 11. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 12. 小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了镜面对称，镜面对称的两个图形左右正好相反，据此特点求解即可． 【详解】解：小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是， 故答案为：． 13. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________（“真”或“假”）命题． 【答案】 假 【解析】 【分析】先交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解：原命题“全等三角形的面积相等”中，条件是两个三角形全等，结论是两个三角形面积相等， 交换条件和结论，得到逆命题：面积相等的三角形是全等三角形， 举反例：第一个三角形底为，高为，面积为；第二个三角形底为，高为，面积为， 这两个三角形面积相等，但边长不对应相等，不全等，说明存在面积相等但不全等的三角形，因此逆命题是假命题． 14. 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ， ，是等腰三角形， 分情况讨论：①时，， ，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ； ③时，， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 15. 已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________. 【答案】2.5<BD<12.5 【解析】 【分析】延长BD到E，使BD=DE，连接AE，可证明，根据全等三角形的性质可得AE=BC=15，在中利用三角形三边关系可求得BE的范围，可求得BD的取值范围． 【详解】解：如图，延长BD到E，使BD=DE，连接AE， ∵D为AC的中点， ∴AD=CD， 在和中， ∵ ∴（SAS）， ∴AE=BC=15， 在中，由三角形三边关系可得， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了添加辅助线，全等三等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，辅助线——中线倍长是本题的关键． 16. 如图，在中，和的外角平分线、交于点P，于点E．若的周长为12，，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点P分别作，连接，由角平分线的性质定理可得，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：过点P分别作，连接，如图所示： ∵和的外角平分线、交于点P，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共9题，共98分） 17. 如图，点、、、在直线上，点、在直线异侧，已知，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由得，再根据判定定理即可求证； （2）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）解：如图所示，即为所求，由图可知，，，； （2） 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质画出图形即可； （）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 19. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数． 【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【解析】 【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 20. 如图，点在上，点在上，与交于点，，． （1）求证：； （2）求证：过点的直线垂直平分线段． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴点都在的垂直平分线上， ∴过点的直线垂直平分线段． 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）证明，得到，再根据线段垂直平分线的判定即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，、的平分线相交于点O，过点O与、分别相交于、，且． （1）求证：； （2）若，，试求的周长． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ． （2）11 【解析】 【分析】（1）利用角平分线定义和平行线的性质，通过角度等量代换即可推出，再根据等角对等边即可证明． （2）利用第（1）问相同的方法证明，通过线段等量代换即可求出的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ． ， 由（1）可知，已知条件，， ． 22. 如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点．过点作于，于，其中在边上，在的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分，于，于， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，再证明即可求证； （）证明，得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 如图，、是等腰直角三角形，，，，连接、．试探究、的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】数量关系，位置关系． 理由如下： ， ， ， ，， ， ． 设与的交点为，如图所示， 由可知， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】利用角度等量代换推出，根据边角边证明，即可推出，再结合三角形内角和以及对顶角相等即可求出，从而证明． 【详解】略 24. 如图，与相交于点，，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，，两点同时出发．当点返回点时，，两点同时停止运动．设点的运动时间为． （1）试说明：； （2）写出线段的长（用含的式子表示）； （3）连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】（1） 解： ，，， ， ， 所以． （2）线段的长为或 （3）当线段经过点时，的值为1或2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定及一元一次方程的应用等知识，证明三角形全等是正确解题的关键． （1）由证明，得，根据平行线的判定定理即可得出结论； （2）由得到，分两种情况列代数式即可得答案； （3）先证明，得，分两种情况列方程并解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况：①当时，； ②当时，， ． 综上所述，线段的长为或． 【小问3详解】 解： ，，， ， ． 分两种情况：①当时，，解得； ②当时，，解得． 综上所述，当线段经过点时，的值为1或2． 25. “一线三垂直”属于“一线三等角”模型的特例，特点是三个相等的角都是直角，对应有三组边相互垂直．若该模型内有一组对应边相等，则一定能找到一对全等三角形．（如图：） （1）如图，在等腰直角中，，．过点作直线，于，于．若，， ①求证：； ②求的长． （2）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． ①连接、，则是等腰直角三角形吗？请判断，并说明理由． ②第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）①证明：∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ② （2）①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ，即， ∴是等腰直角三角形； ②存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（）利用余角性质可证，再根据判定定理“”即可求证；②由全等三角形的性质得，，再根据线段的和差关系解答即可； （）①过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，，进而得到，即可求证；②分三种情况，分别画出图形，同理（）①证明三角形全等，再根据全等三角形的性质并结合点的坐标解答即可． 【小问1详解】 略 ②∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 ②解：第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，分三种情况： 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵， ， ∴，， ∴，， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴； 当，时，如图，分别过点、点作轴的垂线，交过点与轴平行的直线于点， 同理（）①得：， ∴， ， 设， ∵，， ∴，，，， ∴， 解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点，使为等腰直角三角形，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $