精品解析：江苏省南通市海安市城南实验中学2025-2026学年上学期八年级数学第二次阶段调研

城南实验中学2025-2026学年度第一学期第二次阶段调研 八年级数学 （时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知点M与点关于x轴对称，那么点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解题即可. 【详解】解：点M与点关于x轴对称， ∴点M的坐标为， 故选：A. 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称，掌握对称变换的特点是解题的关键. 2. 一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此问题可求解． 【详解】解：数字0.0000078用科学记数法表示为； 故选C． 3. 在下列多项式的乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，根据平方差公式，找出符合此形式的选项即可． 【详解】解：A、 ，设， 则原式，符合平方差公式； B、，为完全平方的相反数，不符合题意； C、，项不同，不符合题意； D、，m与n不一定相等，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知∠DAB=∠CBA，添加下列条件不一定使△ABD与△BAC全等的是（ ） A. BD=AC B. AD=BC C. ∠D=∠C D. ∠DBA=∠CAB 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、BD=AC，AB=BA，∠DAB=∠CBA，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项符合题意； B、AB=BA，∠DAB=∠CBA，AD=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项不符合题意； C、∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，AB=BA，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项不符合题意； D、∠DBA=∠CAB，AB=BA，∠DAB=∠CBA，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 5. 下列分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义可进行求解． 【详解】解：A、，不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，不是最简分式，故不符合题意； D、，不是最简分式，故不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键． 6. 如图，在中，，，根据图中的尺规作图痕迹，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据尺规作图的痕迹可得，垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，即可得出结论． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，垂直平分， ∴，，， 不能得出，故D符合题意． 故选：D． 7. “五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游玩的同学为人，根据题意得：． 故选：D． 8. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0，解分式方程，得到含m的解，根据“该分式方程的解是负数”，得到两个不等式，解之，即可得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 解得：， ∵该分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， ∴，且， 解得：，且， 故选：C． 9. 如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．连接，根据三角形的面积公式即可得，结合题意求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 10. 已知满足，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值10 C. 最大值2 D. 最大值10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握因式分解是解题的关键；由给定方程解出b，代入得到关于a的多项式，然后通过配方求最大值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 配方：， ∵， ∴，当时取等号， ∴有最大值10； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使代数式有意义，应该满足的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于零，进而问题可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴被开方数，解得． 故答案为． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；因此此题可根据提公因式及乘法公式可进行分解因式． 【详解】解：原式； 故答案为． 13. 如图，的周长为18，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵的周长为18， ∴， ∵是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 14. 当时，代数式的值是____． 【答案】2047 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及实数的运算，熟练掌握完全平方公式及实数的运算是解题的关键；通过完全平方公式将代数式变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴原式； 故答案为2047． 15. 如图，在中，，平分，过点作于点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；过点F作于点G，由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点F作于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16. 通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为__________． （2）如图，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别为3和8，则四边形面积的最小值为__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和乘法公式的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质； （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）设，已知，，则由等高三角形可得，所以，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）设， ∵，，和均以为底，和均以为底， ∴由等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴四边形面积的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查乘法公式及二次根式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据乘法公式可进行求解； （2）根据二次根式的乘除运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 18. （1）先化简，再求值：，再从1、2、3中选取一个合适的数作为代入求值； （2）解分式方程：． 【答案】（1），；（2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值及分式方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先根据分式的混合运算进行化简，然后再代值求解即可； （2）根据分式方程的解法进行求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； ∵，，， ∴，，， ∴当时，则原式； （2） ， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）在轴上找出一点，使最小； （3）请用无刻度的直尺，在轴负半轴上找出一点，使． 【答案】（1） 如图所示 （2） 如图所示，作点关于轴的对称点，再连接，，与轴的交点即为点； （3） 如图所示，作，连接，得到等腰，再延长与轴的交点即为点． 【解析】 【分析】本题主要考查作图，轴对称变换以及最短路线问题，解题关键是根据轴对称变换正确画出图形，利用轴对称性质求解； （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小； （3）作，连接，得到等腰，再延长与轴交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 【答案】 已知：如图，△ABC中，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE∥AB， 求证：△ABC是等腰三角形 证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE=∠ECD， ∵CE∥AB， ∴∠A=∠ECA，∠ECD=∠B， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴△ACB是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据题意作图，然后写出已知、求证，最后证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 21. 如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）10 【解析】 【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． 22. 某班举行演讲比赛，准备购买毛笔和笔记本作为奖品．在商场上了解到要购买的笔记本的单价比毛笔的单价少4元，且用30元买这种笔记本的数量与用50元买这种毛笔的数量相同 （1）求这种毛笔和笔记本的单价； （2）该班计划用100元购买这种毛笔和笔记本，毛笔和笔记本都买，且100元刚好用完，请求出所有购买方案． 【答案】（1）这种毛笔每枝10元，本子每本6元； （2）有三种方案： ①购买这种毛笔7支，购买本子5本； ②购买这种毛笔4支，购买本子10本； ③购买这种毛笔1支，购买本子15本． 【解析】 【分析】（1）首先设这种毛笔每枝x元，则本子每本为（x﹣4）元，根据“用30元买这种本子的数量＝用50元买这种毛笔的数量”即可列出方程，解方程并检验后可得答案； （2）设恰好用完100元，可购买这种毛笔m支和购买本子n本，根据“毛笔的单价×m+本子的单价×n＝100”可得关于m、n的方程，再求出其整数解即可． 【详解】解：（1）设这种毛笔每枝x元，则本子每本为（x﹣4）元，由题意得： ＝，解得：x＝10， 经检验：x＝10是分式方程的解，则x﹣4＝6． 答：这种毛笔每枝10元，本子每本6元； （2）设恰好用完100元，可购买这种毛笔m支和购买本子n本， 由题意得：10m+6n＝100，整理得：m＝10﹣n， ∵m、n都是正整数， ∴n＝5时，m＝7；n＝10时，m＝4；n＝15，m＝1； 【点睛】本题考查了分式方程的应用和二元一次方程的整数解等知识，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 23. 已知，其中． （1）__________（用含的式子表示）； （2）求的值； （3）若是整数，是正整数，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，完全平方公式及算术平方根，熟练掌握多项式乘以多项式，完全平方公式及算术平方根是解题的关键； （1）根据多项式乘以多项式可进行求解； （2）由（1）可知，，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，进而根据算术平方根可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， 又∵m是正整数， ∴m的最小值是6． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 观察与发现： （1）请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式； 运用与探究： （2）根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； 实践与拓展： （3）将两个正方形如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和， ， ； （2）解：由上可得，， ∴； （3）解：设两个正方形边长分别为， ∴，． ∴． ∴； ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 25. 已知：如图1，在中，，，点在边上，且，在上取一点，使．过点作交于点． （1）直接写出、和的大小（分别用含的代数式表示）： （2）用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． （3）如图2，连接交于点，若，，，求的长． 【答案】（1），， （2） ， 证明：延长至点M，使，连接， ∵， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，，， ∴ （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出、的度数，根据平行线的性质求出和的度数即可； （2）延长至点M，使，连接，根据等边对等角得出，结合对顶角的性质和（1）中，可得出，根据证明，得出，根据三角形的内角和定理求出，进而求出，根据等角对等边可得出，然后根据线段的和差关系即可得证； （3）取的三等分点M、N，过M作交于G，过N作交于H，过G作交于K，过H作交于P，连接，，则，证明，得出，，证明，得出，，同理可证，则，，同理可证，则，，同理可证，则，，然后根据线段的和差关系可得出，，进而得出，结合已知求出，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的三等分点M、N，过M作交于G，过N作交于H，过G作交于K，过H作交于P，连接，， 则， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 同理可证，则，， 同理可证，则，， 同理可证，则，， 又，， ∴，， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城南实验中学2025-2026学年度第一学期第二次阶段调研 八年级数学 （时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知点M与点关于x轴对称，那么点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列多项式的乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠DAB=∠CBA，添加下列条件不一定使△ABD与△BAC全等的是（ ） A. BD=AC B. AD=BC C. ∠D=∠C D. ∠DBA=∠CAB 5. 下列分式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，根据图中的尺规作图痕迹，下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 7. “五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，已知的面积为28，，点为边上一点，过点分别作于点，于点，若，则长为（ ） A. B. C. D. 6 10. 已知满足，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值10 C. 最大值2 D. 最大值10 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 要使代数式有意义，应该满足的条件是_____． 12. 分解因式：_____． 13. 如图，的周长为18，的垂直平分线交于点D，垂足为E，若，则的周长是_______． 14. 当时，代数式的值是____． 15. 如图，在中，，平分，过点作于点，若，则_____． 16. 通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：通过学习《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为__________． （2）如图，四边形的对角线，相交于点，，的面积分别为3和8，则四边形面积的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）先化简，再求值：，再从1、2、3中选取一个合适的数作为代入求值； （2）解分式方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的． （2）在轴上找出一点，使最小； （3）请用无刻度的直尺，在轴负半轴上找出一点，使． 20. 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 21. 如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 22. 某班举行演讲比赛，准备购买毛笔和笔记本作为奖品．在商场上了解到要购买的笔记本的单价比毛笔的单价少4元，且用30元买这种笔记本的数量与用50元买这种毛笔的数量相同 （1）求这种毛笔和笔记本的单价； （2）该班计划用100元购买这种毛笔和笔记本，毛笔和笔记本都买，且100元刚好用完，请求出所有购买方案． 23. 已知，其中． （1）__________（用含的式子表示）； （2）求的值； （3）若是整数，是正整数，求的最小值． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形如图1，拼成如图2的“回形”正方形和正方形． 观察与发现： （1）请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式； 运用与探究： （2）根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； 实践与拓展： （3）将两个正方形如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，，求图中阴影部分面积和． 25. 已知：如图1，在中，，，点在边上，且，在上取一点，使．过点作交于点． （1）直接写出、和的大小（分别用含的代数式表示）： （2）用等式表示三条线段之间的数量关系，并证明． （3）如图2，连接交于点，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $