精品解析：江苏泰兴市济川初级中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

济川中学初二作业检测数学习题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意：考生须将答案写在答题卡上，写在草稿纸、试卷上一律无效． 一、选择题（每题3分，合计18分） 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键． 2. 在实数中，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先化简含根号的数，逐一判断各数是否为无理数，统计个数． 【详解】解：，是无理数， 是无理数， ，，均为有理数， ∴无理数共有2个． 3. 下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有平方根；③的算术平方根是4；④一定是负数；其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】需先化简再求其算术平方根，结合平方根、算术平方根、立方根的定义逐一判断． 【详解】解：①64的平方根是，立方根是4，故①错误； ②负数没有平方根，故②正确； ③，4的算术平方根是2，故③错误； ④当时，；当时，，故不一定是负数，④错误． 综上所述，正确的说法共1个． 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高线的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线）进行判断即可，正确理解三角形的高线的定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 5. 如图，在中，D，E分别是上的点，将沿折叠，使点C落在的内部点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，结合平角的定义和折叠的性质求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿折叠， ∴， ∴ 6. 如图，Rt中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 【答案】D 【解析】 【分析】过点I作的垂线，交的延长线于点K，证明，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：过点I作的垂线，交的延长线于点K，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积，即只需给出条件的长度． 二、填空题（每题3分，合计30分） 7. 长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将该数据精确到的数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将数据精确到即保留一位小数，需看百分位上的数字，根据四舍五入法则求解即可． 【详解】解：将精确到，观察百分位数字为，，需向十分位进． ∵ 十分位数字为，，需向个位进，十分位写占位， ∴ ． 8. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，可知三角形两个内角的大小，然后利用三角形内角和，即可求解． 【详解】解：如图， ∵两个三角形全等， ∴， 在中，． 9. 已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证． 【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB； ∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO， ∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB ∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO． ∴图中共有3对全等三角形． 故答案为3． 10. 如图，在中，，点在上，且．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角及三角形外角的性质，三角形内角和列式求解即可． 【详解】设， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据三角形的边的关系，转化为角之间的关系，从而得出最后结论． 11. 如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点C表示数，可得E点表示的数． 【详解】解：∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：， ∵点C表示数， ∴点表示的数是， 故答案为：． 12. 如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴． 13. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段交于点F，若，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定．如图，证明，得到，根据三角形外角的性质及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD,∠A＝∠ABD．若AC＝9,BC＝5，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，根据等腰三角形的判定和性质易得CE=BC=5，然后可求出AE=BE=4，进而得到BD=2，最后利用勾股定理计算即可. 【详解】解：延长BD交AC于点E， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴CE=BC=5， ∵∠A＝∠ABD， ∴AE=BE， ∵AC＝9， ∴AE=AC-CE=4， ∴BE=4， ∴BD=2， ∴， 故答案为. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，通过作辅助线构造出等腰三角形是解题关键. 15. 如果实数、满足，且恰好是直角三角形的两边长，则的斜边长是_____． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出、的值，再分两种情况讨论：当、均为直角边，以及当为斜边、为直角边，分别计算斜边长即可． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， 解得 ，， ∵ ，是直角三角形的两边长，分两种情况讨论： 当，均为直角边时， 由勾股定理得斜边长为 ， 当为斜边，为直角边时， 斜边长为， 综上，的斜边长是4或5． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设交于，连接，作于，于，可证，可得，，即得，进而得到，，即得，得到，再求出的面积即可求解． 【详解】解：设交于，连接，作于，于，如图所示， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即平分， ∵于，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角中，， ∴， ∴， 即两个三角形重叠部分的面积为． 三、解答题（102分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知的立方根是4，的算术平方根是6． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的立方根是4，的算术平方根是6， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，； ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 19. 如图，已知，．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】连接，通过证明得到． 【详解】略 20. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 【答案】证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据题意可得，再根据列式证明即可． 【详解】略 21. 证明：直角三角形角所对的边是斜边的一半． 已知：如图，中，___________； 求证：___________， 证明： 【答案】已知：中，，， 求证：， 证明：如图， 延长到D，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】先画图，延长到D，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】略． 22. 利用网格画图并填空； （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． （3）若正方形网格的边长为2，则点到的距离为_____． 【答案】（1）如图所示，点即为所作， （2）解：如图所示，点即为所作， （3） 【解析】 【分析】（1）如图，由网格线知格线，格线，，可得，得到，即为 的角平分线，角平分线与的交点即为所求的点； （2）如图，由网格均为边长为1格线和5格线的直角三角形的斜边，可得这两个三角形全等，利用全等的性质可得，又因为在上，所以点即为所求； （3）网格小正方形边长为 2，算出，，利用面积法，，列方程求出点到的距离为． 【小问1详解】 解：∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴ 作的角平分线，交于点，点即为所求． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由网格可知，以一格长度为 2， 占竖直方向 6 格，占水平方向 4 格， ，， 为直角三角形，， ． ∵ 平分，设点到、的距离都为， ，． 又， ， ， ， ． ∴ 点到的距离为． 23. 如图，中，，且点为的中点，于于． （1）求证：平分； （2）探究、和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，且点为的中点， ∴， ∵， ∴,, 在和中， ∴, ∴, 在和中， ∴, ∴ ∴平分； （2）； 由（1）可知, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直平分线的性质可知，可证,,根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有， 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： （1）当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示；_____，_____； （2）利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； （3）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或12 【解析】 【分析】（1）将等式右侧完全平方展开，对比左右两边有理部分、无理部分，即可得到、关于m，n的表达式． （2）把等式右侧展开，对应系数列等式，先求出，再计算． （3）先展开完全平方式，对应系数得到关系式，再根据m，n是正整数，枚举所有符合条件的正整数组合，求出． 【小问1详解】 解：， ，； 【小问2详解】 解：， ，， ，； 【小问3详解】 解：， ，，化简得， 均为正整数， ，或，； 当，时，； 当，时，； 的值为28或12． 25. 如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 、分别是、边上的高，是的中点， ，， ， 又为中点， ； （2）∠DME=180°-2∠A；证明如下： 在中，， ， ∴，， ， ， ， ， ； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：如图， 同理（1）可知：，故结论（1）正确； ， ∴，， 在中，， ， ，故结论（2）不正确． 【解析】 【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算； （3）仿照（2）的计算过程解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 26. 按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【答案】（1） （2）①③ （3）证明：延长到点，使，连接． ∵ 是中点， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∴ ， ∴ ． ∵ 与互补， ∴ ． 又∵ 周角为， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． （4） 【解析】 【分析】（1）采用倍长中线法延长至使，证得到，结合，利用三角形三边关系求出，再换算得到． （2）倍长到使得，先证，再证，推出，，选出正确序号①③． （3）倍长到使，证明得到和平行关系，结合、互补推出，再证，得到，完成证明． （4）沿用第三问结论得到，推导出，代入、算出面积为 60，再由全等面积转化得到面积等于 60． 【小问1详解】 解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ． 在中，由三角形三边关系： ， ∵ ，， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． ∵ 是中线， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 综上，①③正确． 【小问3详解】 略． 【小问4详解】 解：由（3）得，，，． ∵ ，与互补， ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由全等转化面积可知， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济川中学初二作业检测数学习题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意：考生须将答案写在答题卡上，写在草稿纸、试卷上一律无效． 一、选择题（每题3分，合计18分） 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 2. 在实数中，无理数的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 下列说法：①64的平方根是，立方根是；②负数没有平方根；③的算术平方根是4；④一定是负数；其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 如图，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 5. 如图，在中，D，E分别是上的点，将沿折叠，使点C落在的内部点处．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，Rt中，，分别以三角形的三边向三角形的外侧作正方形，正方形，正方形，连接，若要求的面积，只需给出条件（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 二、填空题（每题3分，合计30分） 7. 长江江豚是国家一级重点保护野生动物，有一头成年长江江豚体重为，将该数据精确到的数为_____． 8. 如图所示的两个三角形全等，则的度数为_____． 9. 已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有___对全等三角形． 10. 如图，在中，，点在上，且．则______． 11. 如图，长方形中，，，，在数轴上，点表示数，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___． 12. 如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 13. 如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段交于点F，若，则的度数为_________． 14. 如图，已知点D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD,∠A＝∠ABD．若AC＝9,BC＝5，则CD的长为______． 15. 如果实数、满足，且恰好是直角三角形的两边长，则的斜边长是_____． 16. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，则两个三角形重叠部分的面积为________． 三、解答题（102分） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 18. 已知的立方根是4，的算术平方根是6． （1）求的值； （2）求的平方根． 19. 如图，已知，．求证：． 20. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 21. 证明：直角三角形角所对的边是斜边的一半． 已知：如图，中，___________； 求证：___________， 证明： 22. 利用网格画图并填空； （1）在上找一点，使点到和的距离相等； （2）在射线上找一点，使． （3）若正方形网格的边长为2，则点到的距离为_____． 23. 如图，中，，且点为的中点，于于． （1）求证：平分； （2）探究、和的数量关系，并说明理由． 24. 善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如．于是小汇进行了以下探索： 设（其中均为整数）， 则有， 由均为整数，可得．故． 这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题： （1）当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示；_____，_____； （2）利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值； （3）若，且均为正整数，求的值． 25. 如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 26. 按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 （1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 （3）如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $