精品解析：山东省莱西市第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题（强基班）

2026级强基班国庆考试数学试题10.08 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只上交答题卡 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 要得到的图象只需把的图象向右平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 2. 角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为 A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高和体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知复数，若同时满足和，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，已知在上有且仅有3个最小值点，则（ ） A. 在上有且仅有5个零点 B. 在上有且仅有2个最大值点 C. 在上单调递减 D. 的取值范围是 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 11. 已知外接圆半径为，，为锐角，则下列错误的是（  ） A. B. 周长的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三角形的外心满足，则_____． （2017年江苏卷） 13. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则_________． 14. 已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则 的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 16. 已知函数，． （1）在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； （2）根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集． 17. 为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求； （2）若的角平分线长为，且，求的值. 19. 已知分别为三个内角的对边，满足. （1）求； （2）若的周长为，面积为，求； （3）若，点在边上，且平分内角，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级强基班国庆考试数学试题10.08 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，只上交答题卡 一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 要得到的图象只需把的图象向右平移（ ） A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用平移变换，结合诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，A错误； 对于B，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，B正确； 对于C，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，C错误； 对于D，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，D错误. 故选：B 2. 角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°. 解法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称， ∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数定义和诱导公式得到，再利用两角和的正切公式求得，然后利用弦化切可得答案. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 即，即，解得， 所以． 故选：C． 4. 如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高和体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高.再根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心， 高， 所以根据相似关系可知，三棱台的高也是. 所以棱台的体积为. 故选:C. 5. 已知复数，若同时满足和，则为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据和求出交点坐标，即可求出，再计算其模即可. 【详解】设，则，， 由和， 所以且， 即且，解得或， 所以、（或、）， 则（或）， 所以. 故选：C 6. 函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案. 【详解】因为函数，在上没有零点，所以 ，所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，因为，所以或， 当时，； 当时，， 又因为，所以的取值范围是：. 故选：C. 7. 设函数，已知在上有且仅有3个最小值点，则（ ） A. 在上有且仅有5个零点 B. 在上有且仅有2个最大值点 C. 在上单调递减 D. 的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】求出，画出的图象，得到，D正确，数形结合得到AB错误；C选项，当时，．结合，得到，故C正确. 【详解】因为，所以． 设，画出的图象如图所示， 由图象可知，若在上有且仅有3个最小值点， 则，解得，D错误； 故在上可能有5，6或7个零点，故A错误； 在上可能有2或3个最大值点，故B错误； 当时，． 因为，所以， 故在上单调递减，故C正确． 故选：C 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得， 连接，分别交，于点，，由对称性可知，， 所以所求最短距离为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中，，点F在弧AB上，且，点E在弧CD上运动，则下列结论正确的有（ ） A. B. ，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，建立以为坐标原点的平面直角坐标系，求出相关点的坐标由点坐标写出向量坐标，利用向量运算的坐标运算即可求解. 【详解】依题意，以为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示 因为， 所以， 设， 对于A， ，故A错误； 对于B，由，得， 即，解得，所以，故B正确； 对于C，，所以在方向上的投影向量为 ，故C正确； 对于D， ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值, 所以的最大值是.故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题主要是建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的坐标运算即可. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的2倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】CD 【解析】 【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角三角函数平方关系分别对选项进行检验． 【详解】由，可得， 故可设，，， 由正弦定理可得，，A错误； 由题意可知为最大角，由余弦定理可得，， 故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误； 因为最小内角为最小角，，故， 故，C正确； 由，，结合正弦定理可得， 故，D正确． 故选：CD 11. 已知外接圆半径为，，为锐角，则下列错误的是（  ） A. B. 周长的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，由余弦定理化简得，代入已知可得；选项B，由正弦定理化边为角转化为三角函数型值域求解；选项C，由，由两角和余弦公式展开化简为，由正切函数图象求值域即可. 选项D，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求函数值域. 【详解】对于A，已知外接圆半径，， 由余弦定理得，， 则，故A错误； 对于B，由正弦定理得， 解得，又为锐角，所以， 则周长为 因为，则， 则，故周长无最小值，故B错误； 对于C， 故， 所以的取值范围为，故C错误； 对于D，由正弦定理得，则， 所以， 则 ， 因为，所以， 则当. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，平方后求出，再由二倍角公式得到，最后应用同角三角函数关系求出答案. 【详解】不妨设的外接圆半径 因为，所以， 两边平方得：， 因为三角形的外接圆半径为1，所以， 故，解得：， 因为，而， 所以， 因为， 故. 故答案为： （2017年江苏卷） 13. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据正切值求出和的值，再利用两角和的正余弦公式求出B的坐标再根据列出关于m和n的方程组，进而解出m、n的值，最后算出. 【详解】以为x轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为， 由知， ，可得， ，由 可得， 即，解得， . 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便． 14. 已知在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，若，则 的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转化，得到角之间的关系，再结合三角形是锐角三角形求出角的范围，最后化简所求式子并根据角的范围确定其取值范围． 【详解】已知，根据余弦定理，可得，化简得． 由正弦定理（为三角形外接圆半径），将边化为角，即． 因为， 所以，整理得， 即． 因为是锐角三角形，所以，即．  因为是锐角三角形，所以，即，解不等式组得．  由正弦定理可得． 因为，所以． 因为，所以，则．  的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图，其直观图如图所示，已知，，，且． （1）求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，求所形成的几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法的规则还原平面图形，得到原图形为直角梯形，利用梯形面积公式求解. （2）旋转体的结构特征：该几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，分别计算圆柱底面积和侧面积、挖去的圆锥侧面积，这些面积之和即为所求. 【小问1详解】 如图所示，由斜二测的画法规则，得到原图形为直角梯形且，， ，，. 所以，. 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所形成的几何体为一个圆柱内部挖去一个同底的圆锥，如图所示： 圆柱的底面半径为3，母线长为6；圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5. 则圆柱侧面积，圆柱底面积，圆锥侧面积. 则几何体的表面积为. 16. 已知函数，． （1）在用“五点法”作函数的图象时，完成上述表格，并在坐标系中画出函数的大致图象； （2）根据（1）得到的图象，写出函数的对称轴方程和对称中心的坐标； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） 0 0 2 0 -2 0 （2）对称轴方程为：，对称中心为：， （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数“五点法”作图的取点方式，分别求出对应的x和，进而填表，结合“五点法”画出图象即可； （2）结合图象即可求解； （3）由正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图象可得： 函数的对称轴方程为：， 函数的对称中心为：， 【小问3详解】 由，可得， 由正弦函数的性质可得：， 解得， 即不等式的解集为. 17. 为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？ 【答案】沿北偏东60°方向能最快追上. 【解析】 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，， 在△ABC中，，，， 由余弦定理，得， ，由正弦定理可得， ，则与正北方向成90°角． 在中，,由正弦定理， 得， ,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学． 18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. （1）求； （2）若的角平分线长为，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，然后利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式、辅助角公式即可求解； （2）由（1）知.根据是角的角平分线、三角形面积公式及可得.在中，由余弦定理可求，最后利用正弦定理角化边即可求解. 【小问1详解】 在中，∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即. 又，∴，即， 即，即. ∵，∴， ∴，∴. 【小问2详解】 由（1）知. ∵是角的角平分线，且，∴， ∴，即， ∴. 在中，由余弦定理可知， . 由正弦定理可知，， ∴. 19. 已知分别为三个内角的对边，满足. （1）求； （2）若的周长为，面积为，求； （3）若，点在边上，且平分内角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理边角转化即可求解； （2）根据题意，结合三角形的面积公式和余弦定理即可求解； （3）根据题意，结合正弦定理、余弦定理以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由的周长为，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 【小问3详解】 如图所示，由正弦定理，， 又，，所以， 又，所以，，所以， 由余弦定理，，即， 所以，， 由，当且仅当时取等号，得， 所以，又，所以， 所以，即，当且仅当时取等号. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $