精品解析：上海音乐学院附属黄浦比乐中学2026-2027学年高三上学期第一次质量监控数学试卷

2026学年第一学期第一次质量监控试卷 高三年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合补集的定义求解即可. 【详解】由解得， 所以，所以， 故答案为： 2. 若幂函数的图象经过点，则实数______. 【答案】4 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点，所以， 所以，所以， 故答案为：4. 3. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果. 【详解】由得：， 即，解得：. 故答案为：. 4. 不等式的解集为____________. 【答案】 【解析】 【详解】， 又在R上单调递增，故， 化简得，解得，故解集为 5. 已知正实数x、y满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指对互化求，再根据指数运算求解. 【详解】，所以. 故答案为： 6. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期. 【详解】因为，因此，该函数的最小正周期为. 故答案为：. 7. 已知，则曲线在处的切线方程是____________. 【答案】（或） 【解析】 【详解】，则，又， 所以曲线在处的切线方程是，即. 8. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ 【答案】. 【解析】 【分析】由 得的最小值，转化为解关于a的一元二次不等式. 【详解】由题意知，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， 故答案为： . 9. 若正数x，y满足，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将变形为，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，，所以， 则， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 10. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式. 【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为, 所以,即, 所以,此时, 因为对称轴为, 故有:, 即, 因为, 所以, 故. 故答案为: 11. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数值域满足，结合正弦函数的图象可知时满足题意，得解. 【详解】，令， ,, ，作出函数的图象，如图， 由图可知，以为中心，当变大时，若，函数最大值，最小值，不满足，若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为，所以当时，即时， 函数值域为，满足，当时，函数最小值，此时不满足， 综上. 故答案为：. 12. 已知，若方程与均恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题知恰有两个不同的实数根，记为（不妨设），进而得，，再根据均恰有两个不同的实根得，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：因为恰有两个不同的实数根，记为（不妨设）， 所以，令， 即 所以，，， 因为均恰有两个不同的实根， 所以和中共有两个不相等的实数根， 当时，即， 整理得①， 当时，即， 整理得② 由 所以，①②没有公共实数根， 因为 所以方程①无实数根，②有两个实数根， 所以， 不等式， 故当，不等式显然成立， 当时，，解得 所以，的解集为； 不等式， 故当时，，不等式恒成立， 当时，，解得， 所以，的解集为， 所以，的解集为 故答案为： 二、选择题：（共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项. 【详解】解:由题知,则同号, 当时,有, 当时,有, 故能推出, 当成立时,又, 对不等式两边同时乘以可得, 故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 14. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A、B、D项，即可求解. 【详解】由题意，函数， 因为，即函数的图象过点，可排除A、B项； 又因为，可排除D项， 故选：C. 15. 若实数x,y满足，则（ ）成立． A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】运用基本不等式，对条件代数式变形，逐项求解. 【详解】由 和基本不等式 （当 时等号成立）， ，当 时，有 ，当 时， ，A错误； 由 （当 同号时等号成立）得： ， ，B正确； ， （当 时等号成立） ， ，C，D错误； 故选：B. 16. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足． （1）求角B的大小； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求即可； （2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 因为， 由（1）得，当且仅当时取等号， 所以， 面积 所以三角形面积的最大值为． 18. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2）且 【解析】 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； 【小问2详解】 图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围. 【答案】（1）（）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数可得，然后利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦定理及二倍角的余弦公式可得，再利用三角函数的性质即得. 【小问1详解】 由题知 ， 由（）， 解得 ， 所以单调递增区间为（）； 【小问2详解】 依题意，由正弦定理，， 因为在三角形中，所以， 即， 当时，， 当时，，， ∴，， 由于，所以，则，则， 又， 所以，由， 所以的取值范围是. 20. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且. （1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式； （2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）. 【答案】（1） 设直线EF与AD，BC分别交于点M，N， 若设百米，则，所以， 又因为， 所以. 若设，则，， ， 则，解得，又因为， 所以， 所以）. （2）18.39百米 【解析】 【分析】（1）若设百米，运用勾股定理表示、，进而写出y与x的关系式； 若设，运用三角函数表示、、，进而写出y与x的关系式； （2）运用导数研究函数的最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ，令，可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值（最小值）（百米）. 所以步道的最短总长度约为18.39百米. 设）， ，令，可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值（最小值）（百米）， 所以步道的最短总长度约为18.39百米. 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，函数的单调递增区间为． 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可； （2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可； （3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可. 【小问1详解】 若是函数的驻点，则，可得，即得． 【小问2详解】 函数的定义域为， ， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，， 此时，函数的单调递增区间为． ②当，即时， 令，得或， 令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. ③当，即时，令，得或；令，得， 此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 由，可得，即，其中， 令，，若存在，使得不等式成立，则，，，令，得， 当时，，当时，， ∴函数在上严格递增，在上严格递减， ∴函数在端点或处取得最小值． ∵，∴， ∴，∴， 因此，实数的取值范围是 【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论： （1）存在； （2）存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次质量监控试卷 高三年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 一、填空题（满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知全集，集合，则__________. 2. 若幂函数的图象经过点，则实数______. 3. 方程的解是________． 4. 不等式的解集为____________. 5. 已知正实数x、y满足，，则______． 6. 函数的最小正周期为______． 7. 已知，则曲线在处的切线方程是____________. 8. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______ 9. 若正数x，y满足，则的最小值为________． 10. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 11. 已知函数在区间上的值域为，且，则的值为______． 12. 已知，若方程与均恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 二、选择题：（共4小题，13、14题每题4分，15、16题每题5分） 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 若实数x,y满足，则（ ）成立． A. B. C. D. . 16. 设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足． （1）求角B的大小； （2）若，求的面积的最大值． 18. 函数 （1）当时，是否存在实数c，使得为奇函数； （2）若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围. 20. 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且. （1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式； （2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）. 21. 已知函数f(x)＝－2aln x－，g(x)＝ax－(2a＋1)ln x－，其中a∈R. （1）若x＝2是函数f(x)的驻点，求实数a的值； （2）当a >0时，求函数g(x)的单调区间； （3）若存在x[，e2 ]（e为自然对数的底），使得不等式f(x) g (x)成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $