精品解析：上海市敬业中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

敬业中学2024学年第一学期10月考试高三数学试卷 (完卷时间: 120分钟 满分: 150分) 考生注意： 1. 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3. 本试卷共21道试题， 满分 150分; 考试时间120分钟. 一. 填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分) 1. 若集合，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，为自然数集， 所以. 故答案为： 2. 若复数满足（为虚数单位），则_________． 【答案】 【解析】 【分析】处理方程,即可求得 【详解】因为,所以,即 故答案为： 【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题 3. 已知圆与直线相切，则圆的半径_____． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：圆与直线相切，等价于圆心到直线的距离等于半径，所以 考点：直线与圆相切 4. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由于双曲线：中a2=7,b2=2,所以c=3, 从而它右焦点为（3,0）, 所以抛物线的方程是． 故答案为． 考点：圆锥曲线的方程． 5. 在二项式的展开式中，的一次项系数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：二项式的通项，令，此时的一次项系数为. 考点：二项式定理. 6. 已知一个圆柱的高为，底面半径，则它的侧面积的大小为________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得. 【详解】因为圆柱的高为，底面半径， 所以其侧面积. 故答案为： 7. 若为第四象限角，且 则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得. 【详解】由为第四象限角，，得， 所以. 故答案为： 8. 函数的单调递增区间为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性求法结合给定闭区间求解. 【详解】令， 得，，又， 故单调递增区间为. 故答案为: . 9. 如图：在中，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】用基底、表示向量和，然后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值. 【详解】，，. ，即，，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形中数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示问题所涉及的向量，考查计算能力，属于中等题. 10. 若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分有门相同、门相同、门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【详解】若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况； 综上可得甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为. 故答案为： 11. 设，函数，，若函数与 的图像有且仅有一个公共点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数图形交点问题转化为方程解的问题，由余弦函数图像的性质即可得到参数的取值范围. 【详解】由题意得由且只有一个解， 则，又∵， ∴有一个解， ∵ ∵，∴ ∴ 故答案为： 12. 已知，若存在定义域为的函数满足下列两个条件： ①对任意， ，②关于的方程无实数解， 则取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】通过条件分析得出且，构造一个满足其要求的函数，即可得出答案. 【详解】考虑，由关于的方程无实数解，则 ， 故且，注意此为必要条件. 同时构造出是满足条件的函数， 故. 二. 选择题(本题共有4题，满分 18分， 第13、14每题4分， 第15、16每题5分) 13. 已知、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C、D，根据不等式性质判断B. 【详解】因为、且， 对于A：当，时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为在定义域上单调递增，所以，故B正确； 对于C：当，时，满足，但是，故C错误； 对于D：当，时，满足，但是，故D错误. 故选：B 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或与相交或与异面，故B错误； 对于C：若，则都有 ，又，则使得， ∴，又，∴，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交但不垂直，故D错误. 故选：C 15. 若：（），：，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，结合充分必要条件的定义，可得答案. 【详解】当，即时，，故充分性成立； 由可得，则，故必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C. 16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ） ①存在，使得； ②对任意，都有. A. ①②都正确 B. ①正确、②不正确 C. ②正确、①不正确 D. ①②都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，从而推出，即可得到，，即可判断①；再由，即可推导，从而判断②. 【详解】由（1）可知，令，则， 不妨令，则，即，所以，故②正确； 由（2）若，则，所以， 同理可得，，，，，均属于， 故存在，使得，，所以， 所以存在，使得，故①正确. 故选：A 三. 解答题(本大题共有5题，满分78分) 17. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （Ⅰ）证明MN∥平面PAB; （Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【答案】 （Ⅰ）由已知得. 取的中点，连接，由为中点知，. 又，故，，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）． 【解析】 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）取的中点E，连结.由得，从而， 且. 以为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知， ，，，， ， ，. 设为平面 的一个法向量，则 即 可取. 于是. 【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角． 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 18. 已知 的内角的对边分别为， 已知 . （1）若 ，求 的面积； （2）若 ，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得的值，代入三角形面积公式即可的结果. （2）由正弦定理得到的关系，解出的值，分类讨论角是否为锐角，利用和差角公式计算出的值. 【小问1详解】 ∴， ∴ 【小问2详解】 ∵，由正弦定理可得 ∵，∴， ∵，可能为锐角可能为钝角，为锐角， ∴ 当为锐角， 当为钝角， ∴或 19. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 【答案】（1）双曲线C的方程为； 渐近线方程为．（2）l方程为． 【解析】 【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程； （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程，通过△＞0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2＝0，求解t即可得到直线方程． 【详解】（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c， 则c＝2，，a＝1， 所以b2＝c2﹣a2＝3， 故双曲线C的方程为．　　　　　　　　　 双曲线C的渐近线方程为．　　　　　　　 （2）设直线l的方程为y＝x+t，将其代入方程， 可得2x2﹣2tx﹣t2﹣3＝0（*） △＝4t2+8（t2+3）＝12t2+24＞0，若设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1，x2是方程（*）的两个根，所以， 又由，可知x1x2+y1y2＝0， 即x1x2+（x1+t）（x2+t）＝0，可得， 故﹣（t2+3）+t2+t2＝0，解得， 所以直线l方程为． 【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 20. 已知函数，其中是常数. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； （3）若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）非奇非偶，理由如下： 当时，，则， 所以是奇函数； 当且时，，， 且，此时是非奇非偶函数. （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，根据奇偶函数的定义和、即可判断的奇偶性； （2）根据单调函数的定义可得，即，解之即可求解； （3）由题意可得，由（1）（2），结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，有， 因此恒成立，即， 因为，，只需，即， 因此的最大值为； 【小问3详解】 ，因此，则， 由（1）（2）知是奇函数，且在、上单调递减，在上单调递增， 所以此时的值域为，所以， 又因为， 所以不等式， 由于最小值为， 所以，解得. 21. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“T性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）． 【答案】（1）不具有“”，具有，理由如下： 不具有“性质”．因为，所以； 具有“性质”．因为． （2）； （3）证明：令，因为具有“性质”， 所以，所以，所以， 法一： ①若，则是以为周期的周期函数； ②若，由得， 当时，， 这与矛盾，舍去； 综上，，所以是周期函数. 法二： 当时，，所以是周期函数． 当时，不妨令，记，其中表示不大于的最大整数（同理可得）． 若存在，则，这与矛盾． 若存在，则，这与矛盾． 若不存在，使得或，则，此时与矛盾，故舍去． 综上，，所以是周期函数． 【解析】 【分析】（1）求出导数分别计算、、即可判断； （2）根据具有“性质”，得到，从而得到对恒成立，可以通过赋值和或者利用和差化积公式，得到关于和的关系式解出、，从而得到的解析式，进而通过分析导数的正负得到在上的极小值点； （3）设，因为函数具有“性质”，所以，分和两种情况讨论，当时为周期函数，当时，由，令或，都能推出，与矛盾，从而得到为周期函数. 【小问1详解】 不具有“性质”具有“性质”，理由略； 【小问2详解】 法一：， 因为具有“性质”，所以，即， 整理得对恒成立． 令，得①；令，得②． 由得，因此，从而恒成立． 所以即有，由得，所以， 当时，令得，列表如下： 0 0 极大值 极小值 函数在的极小值点为． 法二：， 因为具有“性质”，所以，即， 整理得对恒成立． 于是，化简得， 所以且，所以（下同法一）． 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：新定义问题的处理 根据新定义得到相关解析式，从而转化成所学知识，进而解决问题. 在本题中，函数具有“T性质”是指，利用此关系解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业中学2024学年第一学期10月考试高三数学试卷 (完卷时间: 120分钟 满分: 150分) 考生注意： 1. 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3. 本试卷共21道试题， 满分 150分; 考试时间120分钟. 一. 填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分) 1. 若集合，则_______. 2. 若复数满足（为虚数单位），则_________． 3. 已知圆与直线相切，则圆的半径_____． 4. 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：的右焦点重合，则抛物线的方程是_______． 5. 在二项式的展开式中，的一次项系数为______．（用数字作答） 6. 已知一个圆柱的高为，底面半径，则它的侧面积的大小为________________ 7. 若为第四象限角，且 则的值是________. 8. 函数的单调递增区间为__． 9. 如图：在中，若，，，则__________． 10. 若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为_____. 11. 设，函数，，若函数与 的图像有且仅有一个公共点，则的取值范围是__________. 12. 已知，若存在定义域为的函数满足下列两个条件： ①对任意， ，②关于的方程无实数解， 则取值范围为__________ 二. 选择题(本题共有4题，满分 18分， 第13、14每题4分， 第15、16每题5分) 13. 已知、，若，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线，及平面，，则下列命题正确的是（　　） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 15. 若：（），：，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 已知函数的定义域为，值域为， 函数具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则.下列结论正确的是（ ） ①存在，使得； ②对任意，都有. A. ①②都正确 B. ①正确、②不正确 C. ②正确、①不正确 D. ①②都不正确 三. 解答题(本大题共有5题，满分78分) 17. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. （Ⅰ）证明MN∥平面PAB; （Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 18. 已知 的内角的对边分别为， 已知 . （1）若 ，求 的面积； （2）若 ，求. 19. 已知双曲线以为焦点，且过点 （1）求双曲线与其渐近线的方程 （2）若斜率为1的直线与双曲线相交于两点，且（为坐标原点），求直线的方程 20. 已知函数，其中是常数. （1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，且函数在严格单调减，求实数的最大值； （3）若，且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 21. 若函数的导函数是以为周期的函数，则称函数具有“T性质”． （1）试判断函数和是否具有“性质”，并说明理由； （2）已知函数，其中具有“性质”，求函数在上的极小值点； （3）若函数具有“性质”，且存在实数使得对任意都有成立，求证：为周期函数． （可用结论：若函数的导函数满足，则（常数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $