精品解析：江苏苏州工业园区星港学校2026-2027学年第一学期九年级10月数学练习试卷

2026－2027学年第一学期10月单元练习试卷 九年级数学学科 一．选择（每题3分） 1. 有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为( ) A. 2 B. 4 C. D. 7 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ） A. B. C. D. 4. 对抛物线的描述，其中说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为5 D. 当时，随的增大而增大 5. 已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空（每题3分） 9. 已知一组数据：1，3，3，4，6，则这组数据的众数是________． 10. 甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击．若甲射击成绩的平均数是8环，方差是1环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环，则__________的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”） 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 12. 将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 13. 已知点P在函数y＝（x＞0）的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为_____． 14. 已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内一点，则代数式的值为________． 15. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________． 16. 如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 三．解答题（共52分） 17. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是________选项的人数，正确的应该是________人； （2）这名同学每天睡眠时间的众数是________小时； （3）请计算这名同学每天的平均睡眠时间． 18. 已知抛物线与轴的一个交点为． （1）求的值； （2）求此抛物线与轴另一个交点的横坐标． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）连结，，求四边形的面积． 20. 已知二次函数（，，是常数，），其中两个变量与的部分对应值如下表所示： … 1 … … 0 0 … （1）则________； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，则的取值范围是________． 21. 如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． （1）求的值； （2）过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 22. 如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． （1）直接写出________，________； （2）根据图像直接写出不等式的解集为________； （3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 新定义：如果函数的图象与直线相交于点和点，那么我们把叫做函数在直线上的“截距”． （1）求双曲线在直线上的“截距”； （2）若双曲线与直线交于点和点，若双曲线在直线上的“截距”为，且，求的值． 24. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． （1）求的面积； （2）连接，当轴时，求的面积； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期10月单元练习试卷 九年级数学学科 一．选择（每题3分） 1. 有一组数据：2，2，4，5，7这组数据的中位数为( ) A. 2 B. 4 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用中位数定义解题即可 【详解】该组数据共5个数，中位数为中间的数：4 故选B 【点睛】本题考查中位数定义，一组数据从小到大排列，位于中间位置的数 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 3. 将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度可得抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，即可得解. 【详解】平移后的抛物线为 故答案为A. 【点睛】此题主要考查抛物线平移的性质，熟练掌握，即可解题. 4. 对抛物线的描述，其中说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数的最小值为5 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口向下；对称轴为直线，进而逐项分析判断，即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】由二次函数，可知图象的开口向下；对称轴为直线；函数的最大值为 ；当时，随的增大而增大． 故选：C． 5. 已知点，都在反比例函数的图像上，且当时，，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．由反比例函数的图象和性质，可得，解不等式即可得的取值范围． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，且当时，， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知二次函数图象上三点，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案． 【详解】∵， ∴二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴在对称轴的右侧随的增大而减小， A点关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 8. 如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 二．填空（每题3分） 9. 已知一组数据：1，3，3，4，6，则这组数据的众数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数，根据众数定义进行求解即可． 【详解】解：∵1，3，3，4，6中，3出现次数最多，出现2次， ∴这组数据的众数是3， 故答案为3． 【点睛】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 10. 甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击．若甲射击成绩的平均数是8环，方差是1环；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.2环，则__________的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的含义是解题的关键：方差是反映一组数据的波动大小的量，方差越大，则这组数据的离散程度越大，稳定性越差；反之，则这组数据的离散程度越小，稳定性越好． 比较两人的方差大小即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴甲的成绩比较稳定， 故答案为：甲． 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 【答案】x=-1 【解析】 【详解】试题分析：二次函数的对称轴为直线x=-=-1. 考点：二次函数的对称轴 12. 将抛物线的图象向右平移个单位，则平移后的抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线顶点坐标为． 13. 已知点P在函数y＝（x＞0）的图象上，PA⊥x轴、PB⊥y轴，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【详解】本题考查的是反比例函数图形的性质 过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即． 设P点坐标为，则 14. 已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内一点，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象和一次函数图象的交点问题，联立解析式，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∵一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内一点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 已知函数（），当和时函数值相等，则当时的函数值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当和时函数的值相等，得出，根据，，得出，把代入函数求值即可． 【详解】解：∵当和时函数的值相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， 当时． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的函数值，因式分解，掌握二次函数的函数值，因式分解是解题关键． 16. 如图，点，在的负半轴上，点在的正半轴上，连接，以，为边作平行四边形，边与轴交于点，反比例函数的图象经过点．若，，则的值为________． 【答案】20 【解析】 【分析】连接，先根据平行四边形的性质得到，，易证，再根据，推出，进而推出，由，求出，再求出，从而求出，由点D在反比例函数图象上，即可求出k的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，点A，B在x轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数图象上，且， ∴， ∴． 三．解答题（共52分） 17. 为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机对名学生进行问卷调查，问卷选项如下：A．7小时；B．8小时；C．9小时；D．小时．将调查结果绘制成如下图的扇形统计图和条形统计图．已知扇形统计图是正确的，条形统计图有一个选项的人数是错误的． （1）条形统计图中错误的是________选项的人数，正确的应该是________人； （2）这名同学每天睡眠时间的众数是________小时； （3）请计算这名同学每天的平均睡眠时间． 【答案】（1）D，2 （2）8 （3）小时 【解析】 【分析】（1）总人数人，结合扇形图百分比分别算出A、B、C、D选项的人数，对比条形图发现D的人数画错，正确的应该是2人； （2）众数是出现次数最多的数据，B选项8小时对应的人数最多，所以众数为8小时； （3）用每组睡眠时间乘对应人数，求和之后除以总人数，算出平均睡眠时间． 【小问1详解】 解：由扇形统计图得A选项的人数为人， B选项的人数为人， C选项的人数为人， D选项的人数为人， 故条形统计图中错误的是D选项的人数，正确的应该是2人； 【小问2详解】 解：选项人数最多， 这名同学每天睡眠时间的众数是8小时； 【小问3详解】 解：（小时）， 答：这名同学每天的平均睡眠时间为小时． 18. 已知抛物线与轴的一个交点为． （1）求的值； （2）求此抛物线与轴另一个交点的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把交点坐标代入抛物线解析式，解方程即可求出的值； （2）将求出的代入抛物线，得到完整解析式，令解一元二次方程，得到方程两个根，除去已知根，剩下即为另一个交点横坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 将代入解析式： ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：把代入抛物线解析式： ， 令，则， 因式分解:， 解得：， 已知一个交点横坐标是， 抛物线与轴另一个交点的横坐标为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴相交于点，与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求点的坐标； （3）连结，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知顶点优先用顶点式求解析式； （2）令求与轴交点，不规则四边形用分割法拆成两个三角形，以坐标轴上的线段为底、对应点的横纵坐标为高分别求面积，再相加． 【小问1详解】 解：已知顶点，设顶点式． 把代入： ， ， ， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：令，则 解得，． ∵在左侧， ，． 【小问3详解】 解：如图所示，连接，把四边形分割为和： ， ， ． 20. 已知二次函数（，，是常数，），其中两个变量与的部分对应值如下表所示： … 1 … … 0 0 … （1）则________； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，则的取值范围是________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由二次函数对称性，先求对称轴，再计算的值； （2）利用交点式代入已知点，求解二次函数表达式； （3）结合抛物线开口方向、对称轴与区间的位置，求最值确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象过点和， ∴对称轴为直线， ∵和时的函数值相等， ∴ 这两点关于对称轴对称， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设二次函数的表达式为（）， 将点代入得： ， 即， 解得 ， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最小值，， 当时，； 当时，， ∵， ∴ 当时，的最大值为， ∴的取值范围是． 21. 如图，为反比例函数（其中）图像上的一点，在轴正半轴有一点，．连接，，且． （1）求的值； （2）过点作，交反比例函数（其中）的图象于点，连接交于点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第问作底边上的高，用三线合一和勾股定理求出点坐标，代入反比例函数求； 第问由得点横坐标，求出坐标与直线解析式，利用构造相似三角形，把线段比转化为对应线段与的比． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于,与相较于点,与相交于点． ，等腰三角形三线合一， ． 在中： ． 把代入： 解得：． 【小问2详解】 解：，， 点横坐标为． 把代入，得，． 设直线解析式为，代入： 解得： 直线：． 把代入，得， 与交点． ，，． （平行线得相似）． 22. 如图，直线与双曲线交于点．并分别与轴、轴交于点、． （1）直接写出________，________； （2）根据图像直接写出不等式的解集为________； （3）若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、构成的三角形与相似？若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），5 （2）或 （3）存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把交点分别代入直线解析式和反比例函数解析式，直接列方程求出b，m的值； （2）先联立直线与反比例函数方程求出两个交点横坐标，结合函数图像，找到直线在双曲线下方对应的x范围，注意反比例，写出不等式解集； （3）先求出B、C坐标，算出线段长度，识别是对应等角，分两组不同顶点对应关系列相似比例式求出长，结合D在x正半轴求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：直线与双曲线交于点， ，， ，； 【小问2详解】 解：令， 两边同时乘得， 因式分解得， 解得或， 的解集为或； 【小问3详解】 解：令得， 令得，解得， ，， ， ， ， ， ， ， 要使点、、构成的三角形与相似， 则有， 当时，，， 此时，点的坐标为； 当时，，， 此时，点的坐标为， 综上所述，存在以点、、构成的三角形与相似，点的坐标为或． 23. 新定义：如果函数的图象与直线相交于点和点，那么我们把叫做函数在直线上的“截距”． （1）求双曲线在直线上的“截距”； （2）若双曲线与直线交于点和点，若双曲线在直线上的“截距”为，且，求的值． 【答案】（1）双曲线在直线上的“截距”为 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）两个解析式组成方程组，可求交点坐标，即可求解； （2）先根据双曲线与直线有两个交点判断，然后求出，再根据双曲线在直线上的“截距”为求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 即， 整理得， 解得，， ， 双曲线在直线上的“截距”为． 【小问2详解】 解：∵双曲线与直线交于点和点， ∴， 根据题意可得， 即， ∵， ∴整理得， 解得或， ∴， ∵双曲线在直线上的“截距”为， ∴， ∴． 24. 如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，点是上方抛物线上的一点，过作的平行线，交于点． （1）求的面积； （2）连接，当轴时，求的面积； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先令求得点C的坐标，再令求得点A和点B的坐标，然后求得的面积； （2）先由轴求得点D的坐标得到线段的长度，然后结合得证，再利用相似三角形的性质得到的面积； （3）过点D作轴交于点F，过点E作于点H，然后由可知的度数不变，由轴可知的度数不变，从而知道在点D的移动过程中的形状保持不变，即有当最大时，的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出的长度，得到取最大值时的点D的坐标，即可得到直线的解析式，最后联立直线的解析式和直线的解析式求得点E的坐标，进而得到长的最大值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴，则， 当时，由解得：或， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵，轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点D作轴交于点F，过点E作于点H， ∵，， ∴，，则， ∴的度数不变，的度数不变， ∴在点D的移动过程中的形状保持不变， ∴当最大时，的长度也最大， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标，则点F的坐标， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，此时，点D的坐标为， ∴直线是由直线向右平移3个单位所得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式，得，解得：， ∴点E的坐标为， ∴的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $