精品解析：四川渠县静边镇初级中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

静边镇流江初级中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 内容：北师大版九上第1-2章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题：①一组邻角相等的平行四边形是矩形；②如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 用配方法解方程x2－x+1=0正确的解法是（ ） A. （x－）2=，x=± B. （x－）2=－，原方程无解 C. （x－）2=，x1=+，x2= D. （x－）2=1，x1=，x2=－ 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点E的运动不断改变；④的值是定值．以上结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 12. 若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 13. 如图，在中，，．点是的中点，，过点作交于点，则的长度为______ ． 14. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到与相交于点E，则的长是_____ ． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 18. 已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： （1）； （2）四边形是矩形． 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 20. 如图，在中，，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当的边或角满足：________（填一个条件）时，四边形是正方形？请说明理由． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 23. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 24. 【特例感知】 （1）在矩形中，设，，则对角线和a，b的数量关系为______． （2）【规律探究】如图（1），在中，设，，猜想对角线和a，b的数量关系，并证明你的猜想． （3）【知识应用】如图（2），在四边形中，，，，，，点M为的中点，求的长． 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． （1）【特例感知】 如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 ； （2）【类比探究】 如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静边镇流江初级中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 内容：北师大版九上第1-2章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列命题：①一组邻角相等的平行四边形是矩形；②如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中假命题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的相关定理， 根据矩形的判定方法对①进行判断即可；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据三角形中位线性质和菱形的判定方法对③进行判断；根据平行四边形的判定方法对④进行判断． 【详解】①一组邻角相等，且根据平行四边形的性质，可得它们都为直角，从而推得矩形，故该命题是真命题，选项不符合题意； ②因为正方形既是菱形又是矩形，菱形的四边相等，矩形的对角线相等，所以当一个菱形的两条对角线相等时，这个菱形一定是正方形，故该命题是真命题，选项不符合题意； ③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形四边的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题是真命题，选项不符合题意； ④一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，故该命题是假命题，选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 3. 如图，在中，是斜边上的中线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，理解“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可得，从而在等腰中利用三角形内角和求出． 【详解】解：是直角三角形，是斜边上的中线， ， ， ． 故选：． 4. 根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ） 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.06 -0.02 0.03 0.09 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 【详解】令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 5. 依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 6. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式判断一元二次方程的根的情况，再利用根与系数的关系，即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项符合题意； C、∵， ∴无实数根，故选项不符合题意； D、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项不符合题意． 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 用配方法解方程x2－x+1=0正确的解法是（ ） A. （x－）2=，x=± B. （x－）2=－，原方程无解 C. （x－）2=，x1=+，x2= D. （x－）2=1，x1=，x2=－ 【答案】B 【解析】 【详解】首先移项得：x2－x=－1，然后配方得：x2－x+（）2=－1+（）2， 即（x－）2=－，方程无解. 故选B. 点睛：若x2为负数，则x无解. 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H， ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 10. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点E的运动不断改变；④的值是定值．以上结论正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】作于M，于N，利用正方形的性质得出相等的边和角，证明和，逐项进行判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形，故②正确； ∵正方形和正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，是定值，故③错误， ∴， 又∵， ∴是定值．故④正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵菱形的周长为，面积为， ，， ∵分别作点到直线的垂线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4.8． 12. 若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求出和，再对二次三项式因式分解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴，， 解得，， ∴． 13. 如图，在中，，．点是的中点，，过点作交于点，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质、勾股定理解答即可 【详解】 解：连接， 在中， ∵，，，点是的中点 ∴， ， ∵点是的中点，， ， 设，则， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】 14. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 2027 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求多项式降次，再结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， 对所求式子变形得：， 将代入得： 原式 ． 15. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到与相交于点E，则的长是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点G，连接，利用矩形的性质、轴对称的性质以及勾股定理求出相关线段的长度，证明，得出对应边成比例，列出方程即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点G，连接， 由折叠可知，， 在矩形中，， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长是． 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 配方，得： ， 即：， 开平方，得：​， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，． 17. 如图，，，连接． （1）尺规作图：在上作点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法．） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 证明：∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，即 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出的平分线与的交点即为点； （2）先根据平行线+角平分线证明，然后进行等量代换结合平行证明四边形是平行四边形，再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： （1）； （2）四边形是矩形． 【答案】（1）证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的一元二次方程（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）求出即可证明； （2）根据根与系数的关系得出，，结合已知等式得出关于k的一元二次方程，解方程可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：，． 20. 如图，在中，，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）当的边或角满足：________（填一个条件）时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：当再具备条件时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． ，， ， 矩形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合可证平行四边形是矩形，再证明，即可证明矩形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接．设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形； （2）当t为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积 【答案】（1） （2） （3）15， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定可得：当时，四边形为矩形，进而可得关于t的方程，即可求解； （2）当时，四边形为菱形，进而可得关于t的方程，即可求解； （3）求出菱形的边长，再计算周长和面积即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴， 由已知可得，， 在矩形中，， 当时，四边形为矩形， ∴，得， 故当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当，即时，四边形为菱形 即时，四边形为菱形，解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 当时，， 则周长为； 面积为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键． 23. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是； 第2个方程：，方程的两个根分别是； 第3个方程：，方程的两个根分别是； 第4个方程：，方程的两个根分别是； …… （1）请按此规律写出两个根分别是的一元二次方程：_____________； （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”． ①请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； ②已知关于x的方程是“邻根方程”，求m的值． 【答案】（1） （2）①是“邻根方程”；②或 【解析】 【分析】（1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）①先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义．②根据“邻根方程” 的定义，建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 两根和为，两根积为， 一元二次方程为； 【小问2详解】 解： ①， 解得． ， 是“邻根方程”． ②， ． ∵关于的方程是“邻根方程”， 或． 解得或． 24. 【特例感知】 （1）在矩形中，设，，则对角线和a，b的数量关系为______． （2）【规律探究】如图（1），在中，设，，猜想对角线和a，b的数量关系，并证明你的猜想． （3）【知识应用】如图（2），在四边形中，，，，，，点M为的中点，求的长． 【答案】（1） （2）猜想：， 证明如下：过点作于，过点作，交延长线于． 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，． 由勾股定理： ， ， 将两式相加，代入、， 得： ， 又在中，， 代入，得． （3）． 【解析】 【分析】（1）因为矩形对角线相等且内角为直角，所以用勾股定理表示两条对角线的平方和，整理得到结果． （2）过点作于，过点作，交延长线于，将对角线放在直角三角形中，用勾股定理分别表示两条对角线的平方，再相加，结合平行四边形对边相等的性质，整理得到数量关系． （3）首先连接，因为，所以用勾股定理求出的长度；再延长到点E使，连接，构造平行四边形，利用（2）得到的平行四边形对角线平方和与边长的关系，代入已知边长计算的长． 【小问1详解】 解：矩形的内角为直角，由勾股定理得： ， 同理，因此． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：延长到点，使，连接、、． ∵，，， ∴由勾股定理得对角线， 即（负值舍去）． ∵是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形． 对平行四边形套用（2）的结论： ， 代入已知数值，，， 得， 计算得， ∴（负值舍去）， ∵， ∴．​ 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． （1）【特例感知】 如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 ； （2）【类比探究】 如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得，得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得，即可得出答案； （3）连接交于点，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【小问1详解】 解：， 连接，如答图1所示． ∵ ， ∴菱形是正方形． 又∵， ∴点为正方形对角线的交点． ∴，，． ∵菱形与菱形形状、大小完全相同， ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴ ． 【小问2详解】 解：如答图2所示，过点作 ，交于点G． ∵四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ∴，． ∴和均为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴ 是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：连接，连接交于点，如答图3所示． ∵四边形是菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 当点在线段上时，如答图3所示，则． ∴． 由（2）可知． ∴． ∴， ∴． 当点在线段上时，连接，如答图4所示， 则． ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $