四川达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．5x2+3y﹣2＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2＝1 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32 B．24 C．8 D．16 5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（　　） A．62° B．56° C．28° D．30° 6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 7．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（　　） A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102 8．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的长度为（　　） A． B．1 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 　　 ． 10．已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0的一个根，则m＝　　 ． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　　 ． 12．若a为方程x2+2x﹣5＝0的解，则3a2+6a﹣2的值为______． 13．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （3）x2﹣2x﹣5＝0； （4）x2﹣6x+8＝0． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 16．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形CODE是矩形； （2）连接OE，若AB＝10，求OE的长． 17．（9分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△EBC≌△EDC． （2）延长BE交AD于F，当CE＝BC时，求∠EFD的度数． 18．（10分）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝______，x1x2＝______； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为______． 20．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝10，直线MN恰好经过点A，则BE的长为______． 21．若实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　　 ． 22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为 　　 ． 23．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出______盒（用含x的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 25．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 26．（12分）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．将边AB绕点A逆时针旋转（0＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为______；（直接写出答案） （2）如图②，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【解答】解：A、不正确，菱形的对角线不相等； B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直； C、正确，三者均具有此性质； D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等； 故选：C． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．5x2+3y﹣2＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2＝1 【解答】解：A、5x2+3y﹣2＝0为二元二次方程，故本选项不符合题意； B、为分式方程，故本选项不符合题意； C、当a≠0时，ax2+bx+c＝0为一元二次方程，故本选项不符合题意； D、x2＝1是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2﹣2x+m＝0得1+2+m＝0，解得m＝﹣3． 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线AC＝8，则菱形ABCD的周长为（　　） A．32 B．24 C．8 D．16 【解答】解：连接BD，AC交于点O，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OCAC＝4，∠ABD＝∠CBD∠ABC＝60°， ∴∠BAO＝30°， ∴OBOA＝4，AB＝2OB＝8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝32； 故选：A． 5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为（　　） A．62° B．56° C．28° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠AOD＝124°， ∴∠DOE＝56°，∠ODC＝∠OCD（180°﹣56°）＝62°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝34°， ∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝62°﹣34°＝28°； 故选：C． 6．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+3＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且k≠0， 故选：C． 7．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则所列方程为（　　） A．x2＝102+（x﹣5﹣1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102 C．x2＝102+（x+1﹣5）2 D．x2＝（x+1）2+102 【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为： x2＝102+（x+1﹣5）2， 故选：C． 8．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的长度为（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示： ∵BC＝BE， ∴S△BCE＝S△BPE+S△BPC BC×PQBE×PRBC×（PQ+PR）BE×CM， ∴PQ+PR＝CM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，CD＝BC＝1，∠CBD＝∠CDB＝45°， ∴BD， ∵BC＝CD，CM⊥BD， ∴M为BD中点， ∴CMBD， 即PQ+PR值是． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是 　1　 ． 【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴a2+1＝2， ∴a＝±1， ∵a+1≠0， ∴a＝1． 故答案为：1． 10．已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0的一个根，则m＝　12　 ． 【解答】解：由条件可得4+8﹣m＝0， ∴m＝12． 故答案为：12． 11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于点F，若∠B＝20°，则∠DFE等于 　60°　 ． 【解答】解：由条件可知， ∴∠ECB＝∠B＝20°， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝20°， ∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°， ∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°． 12．若a为方程x2+2x﹣5＝0的解，则3a2+6a﹣2的值为 　13　 ． 【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣5＝0的解， ∴a2+2a﹣5＝0，整理得：a2+2a＝5， ∴3a2+6a﹣2＝3（a2+2a）﹣2＝3×5﹣2＝13， 故答案为：13． 13．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是　4cm ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点O为BD的中点， ∴点O为AC的中点，BD⊥AC， ∵，BD＝6cm， ∴AC＝8cm， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， 又∵点O为AC的中点， ∴， 即线段OE的长度是4cm， 故答案为：4cm． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（12分）用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣2）2＝9； （2）x（x﹣2）＝2（2﹣x）； （3）x2﹣2x﹣5＝0； （4）x2﹣6x+8＝0． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝±3， 则x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， 解得x1＝5，x2＝﹣1； （2）x（x﹣2）＝2（2﹣x）， ∴（x+2）（x﹣2）＝0， 则x+2＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝2； （3）x2﹣2x﹣5＝0， 则a＝1，b＝﹣2，c＝﹣5， ∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24， ∴， ∴，； （4）x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4． 15．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 【解答】（1）证明：∵x2+（m+3）x+m+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1） ＝m2+2m+5 ＝（m+1）2+4， ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴， 又∵x1+x2＝﹣（m+3），x1•x2＝m+1， ∴[﹣（m+3）]2﹣2（m+1）＝28， 整理得：m2+4m﹣21＝0， 解得：m1＝﹣7，m2＝3． 16．（9分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E． （1）求证：四边形CODE是矩形； （2）连接OE，若AB＝10，求OE的长． 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴平行四边形CODE是矩形； （2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝10， 由（1）可知，四边形CODE是矩形， ∴OE＝CD＝10． 17．（9分）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED． （1）求证：△EBC≌△EDC． （2）延长BE交AD于F，当CE＝BC时，求∠EFD的度数． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形 ∴AD∥BC，BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45° ∵BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°，EC＝EC ∴△EBC≌△EDC （2）∵CE＝BC，且∠ACB＝45° ∴∠EBC＝∠BEC＝67.5° ∵AD∥BC ∴∠AFB＝∠FBC＝67.5° ∵∠EFD+∠AFB＝180° ∴∠EFD＝112.5° 18．（10分）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　　 ，x1x2＝ 　　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st， ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s＝±， ∴±， ∴的值为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）*1＝0的解为x1＝1，x2＝3　 ． 【解答】解：∵a*b＝a2﹣b2， ∴（x﹣2）*1＝（x﹣2）2﹣12， 解方程（x﹣2）2﹣12＝0， （x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 20．如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD＝10，直线MN恰好经过点A，则BE的长为 　　 ． 【解答】解：根据作图可知直线MN是线段CD的垂直平分线， ∴，∠AED＝90°， ∵菱形ABCD中，AD＝10， ∴AD＝CD，CE＝ED＝5， ∴在Rt△AED中，， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝90°， ∴在Rt△BAE中，． 故答案为：． 21．若实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2+3）＝4，则x2+y2的值为 　1　 ． 【解答】解：设a＝x2+y2，则a（a+3）＝4， a2+3a﹣4＝0，即（a+4）（a﹣1）＝0， 解得：a1＝﹣4，a2＝1， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝1． 故答案为：1． 22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为 　5　 ． 【解答】解：如图，连接CE， ∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， ∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝4，OA＝OC， ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴AE＝CE， 设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x， 在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2， 即42+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝5， 即AE的长为5． 故答案为：5． 23．正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 　　 ． 【解答】解：如图，连接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3， ∴AC，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 由勾股定理得，AF2， ∵H是AF的中点， ∴CHAF2， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒． （1）设售价每盒下降x元，则每天能售出　　 盒（用含x的代数式表示）； （2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元； 【解答】解：（1）∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒， ∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒； （2）降价前，单件利润为：180﹣140＝40（元）， 设月饼每盒售价下降x元，则月饼每盒售价为（180﹣x）元，单件利润为（40﹣x）元，每天能售出盒， 由题意得：， 整理得：x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝10，x2＝6， 当x＝10时，180﹣x＝170； 当x＝6时，180﹣x＝174； 答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润为2550元． 25．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）证明四边形ADCF是菱形； （3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE和△DBE中， ∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB． ∵AD为BC边上的中线 ∴DB＝DC， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点， ∴AD＝DCBC， ∴四边形ADCF是菱形； （3）连接DF， ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF＝AB＝5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴S菱形ADCFAC▪DF4×5＝10． 26．（12分）综合与实践课上，李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究． 【问题情境】 如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．将边AB绕点A逆时针旋转（0＜θ＜180°）得到线段AE，过点E作EF⊥AE交直线BC于点F． 【猜想证明】 （1）当θ＝90°时，四边形ABFE的形状为　正方形　 ；（直接写出答案） （2）如图②，当θ＝45°时，连接DE，求此时△ADE的面积； 【能力提升】 （3）在【问题情境】的条件下，是否存在θ，使点F，E，D三点共线？若存在，请直接写出此时BF的长度；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）四边形ABFE的形状为正方形；理由如下： 如图①，四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵将边AB绕点A逆时针旋转（0°＜θ＜180°）得到线段AE，θ＝90°， ∴AE＝AB，∠EAB＝90°， ∴此时点E在AD上， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠B＝∠EAB＝∠AEF＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∵AE＝AB， ∴四边形ABFE是正方形； 故答案为：正方形； （2）如图②，作EG⊥AD于G， 由旋转得AB＝AE＝6，∠BAE＝45°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴∠AEG＝∠EAG， ∴AG＝EG， 在直角三角形AGE中，由勾股定理得：EG2+AG2＝AE2， ∴2EG2＝62， 解得：（负值已舍去）， ∴； （3）存在θ，使点F，E，D三点共线，BF的长为或．理由如下： 如图③，当点E在DF上时，连接AF， ∵∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB，AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL）， ∴BF＝EF， 设BF＝EF＝x，则CF＝BC﹣BF＝AD﹣BF＝8﹣x， 根据旋转的性质得：AE＝AB＝6， ∵EF⊥AE， ∴∠AED＝∠AEF＝90°， 在直角三角形ADE中，AD＝8， 由勾股定理得：， 在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF2+CD2＝DF2， ∴， 解得：； 如图④，当点E在DF的延长线上时， 同理， 设EF＝BF＝a，则， 在Rt△CFD中，由勾股定理得：， 解得：， 综上所述，存在θ，使点F，E，D三点共线，BF的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $