3.1.1函数值域分层专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数值域作业 基础题 提高题 易错题 知识点总结 函数值域的四种求法 ① 直接法 ② 换元法 ③ 分离常数法 ④ 不等式法 一次/反比例函数： 根式型：令 分式型 型 基本不等式 （a,b>0） 利用图象与单调性 求出新元 t 的取值范围 变形为 常数 + 分式 口诀：一正、二定、三相等 二次函数：配方+对称轴 化为关于 t 的二次函数 结合反比例函数性质 配凑出定值形式 关键：先看定义域限制 换元勿忘新元范围！ 分母不为 0 要检验 必须验证等号成立 通法提醒：求值域三部曲 —— ① 定义域优先　② 据结构选方法　③ 检验端点与等号 基础题 （一）单选题（本大题共 6 小题） 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 4．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域是（ ） A． B． C． D． 6．函数的值域是（     ） A． B． C． D． （二）多选题（本大题共 1 小题） 1．下列关于函数值域的结论中，正确的有（　　） A．函数的值域为(-∞,4]. B．函数的值域为[2,+∞). C．函数的值域是[-2,+∞) D．函数的值域为. （三）填空题（本大题共 2 小题） 1．函数的值域为________ 2．函数的值域为___________； （四）解答题（本大题共 1 小题） 1．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)； (4)， 提高题 （一）单选题（本大题共 3 小题） 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共 2 小题） 1．函数的值域为__________. 2．已知，则函数的值域为_____________. （三）解答题（本大题共 1 小题） 1．求函数的值域. 易错题 1．函数的值域是__. 【易错点】使用基本不等式时忽视“三相等”，须验证等号成立条件：当 ，即 时取等号；且要注意前提 。 2．已知函数的定义域为，则函数的值域为_________． 【易错点】容易漏掉 ，误得 ；使用 时须注意 的前提，应分段讨论。 3．函数的值域为___________. 【易错点】换元 后易忽略 的情形，直接对 使用基本不等式会丢掉 ，误得 。 基础题 （一）单选题 1．B 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 2．B 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 3．A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 4．A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 5．C 【分析】整理可得，根据结合分式分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得，即， 所以的值域为. 故选：C. 6．C 【分析】将函数分离常数后可直接求解. 【详解】，从而可知函数的值域为. 故选：C （二）多选题 1．ABC A． 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： B． 【分析】设，则，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出． 【详解】解：设，则，则，即， ， 故函数的值域为，， 故答案为， 【点睛】本题考查了函数值域的求法，换元法是常用的方法，属于中档题 C． 【分析】设，用换元法转化为求二次函数在某个区间的值域． 【详解】设，则，所以， 因为 ，所以当时，，所以函数的值域是. 故答案为： D 错误：该函数的值域应为 ，并非 ；详细求解过程参见「提高题（二）填空题第 1 题」。 （三）填空题 1． 【分析】根据题意，由二次函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，则当时，，当时，，则函数值域为. 故答案为： 2． 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. （四）解答题 1．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可； （2）利用二次根式的意义求出值域； （3）利用二次函数的性质求出值域； （4）根据不等式性质运算求解即可． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为． （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为． （3）函数图象的对称轴为， 当时，， 所以函数的值域为． （4）因为，则，可得， 所以在的值域为 提高题 （一）单选题 1．C 【分析】对分离常数，结合反比例函数的性质，可求出的值域. 【详解】∵，且，∴， ∴函数的值域为. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的值域，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．D 【分析】利用函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近， 所以的值域为. 故选：D. 3．D 【分析】分离常数可得，进而可得函数的值域. 【详解】， ∴原函数的值域为， 故选：D. （二）填空题 1． 【详解】令，则， 换元可得函数的解析式：， 二次函数开口向上，对称轴为， 结合二次函数的性质可得函数的最小值为：， 综上可得，函数的值域为. 2． 【解析】令可得，结合二次函数可得值域. 【详解】令，所以， 所以， 当时，； 当或时，， 所以值域为. 故答案为：. （三）解答题 1． 【分析】令，则，得，当时，得，当时，得，再利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以定义域为， 令，则， 得， 当时，得， 当时，得， 则， 得，或，等号成立时，分别对应和， 因为， 则，或， 得，或， 则，或， 综上知，函数的值域为： 易错题 1． 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 2． 【分析】当时，，利用对勾函数的单调性求得的值域，进而求在上的值域，最后结合进而得解． 【详解】由，定义域为，且， 当时，， 令，， 由对勾函数的单调性知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增， 所以，即， 所以当时，，又， 所以当时，函数的值域为． 故答案为：． 3． 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $